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专题5 导数与构造函数问题
【典例1-1】（22-23高二下·福建龙岩·期中）
1．是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【典例1-2】（2023·广东佛山·一模）
2．若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题后反思】常见的同构变形：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
（8） （9）
【举一反三】
3．若，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·江苏南通·二模）
4．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-1】
5．下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）
6．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题后反思】（1）最常见的构造比大小函数：型函数

函数极值点：
此函数定义域为，求导，
当时，，故为增函数，
当时，，故为减函数，
当时，取得极大值为，
且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较；
（2）其他形式比大小：根据各个数字的特征，利用共同特征构造函数求解单调性进行判断.
【举一反三】
（22-23高二下·河南周口·期中）
7．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·辽宁·期中）
8．设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-1】
9．已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（22-23高三上·广东潮州·期末）
10．已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（ ）
A． B．
C．在处取得极小值 D．无极大值
【题后反思】1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
【举一反三】
（22-23高二下·四川成都·期末）
11．记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二下·上海·阶段练习）
12．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．BC
【分析】由题可得单调性，.A选项，通过取可构造反例；B选项，由题可得，结合单调性可判断选项；C选项，当时，显然正确；当时，在时，，则此时，后结合单调性可判断选项；D选项，通过取可构造反例.
【详解】构造函数.则，
当时，；
时， .
即在上单调递减，在上单调递增.
又由题.
A选项，取，则，因在上单调递增，
则满足题意，但此时，故A错误；
B选项，若，，则，又由题可知，
且在上单调递增，则，故B正确；
C选项，若，当时，，满足题意；
当时，构造函数，注意到当时，
，又，则.
又因，则.因，在上单调递增，
则.综上，若，则，故C正确；
D选项，取，则，又在上单调递减，
则满足题意，但此时，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点精：本题涉及证明不等式，常需通过观察找到题目中的相同结构，进而构造出需要的函数，此外此题作为选择题，找到合适的反例可帮助我们快速解决问题.
2．AC
【分析】依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再令，利用导数说明，即，从而得到，当且仅当时取等号，即可判断.
【详解】解：因为，所以，
因为，所以，则，
令，，则，
所以在上单调递增，
由，可得，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，
又，所以，当且仅当时取等号，
当时或，
结合与的图象也可得到
所以或.
故选：AC
3．C
【分析】AB选项一组，CD选项一组，分别构造函数，利用函数的单调性进行比较即可
【详解】对于AB选项:；
构造函数，A项可变成；B项可变为
求导得，令即
所以，函数单调递减；，函数单调递增，
因为，且，所以无法判断的大小关系，故AB错误
对于CD选项：;
构造函数，C项变为；D项变为
求导得，令即
所以，单调递增；，单调递减；
因为，根据单调性可得，即
故选：C
4．ABD
【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D.
【详解】由，可得，
，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，即，
由知，A正确；
由可得，可得（时取等号），
因为，所以，B正确；
时，，则，
，C错误；
，
令，则，
，
在单调递增，，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可.
5．AC
【解析】构造函数，利用导数分析其单调性，然后由、、、得出每个选项的正误.
【详解】令，则，令得
易得在上单调递增，在上单调递减
所以①，即，即，故A正确
②，即，所以可得，故B错误
③，即，即
所以，所以，故C正确
④，即，即，即
所以，故D错误
故选：AC
【点睛】本题考查的是构造函数，利用函数的单调性比较大小，解题的关键是函数的构造和自变量的选择，属于较难题.
6．C
【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断.
【详解】因为，
构造函数，则，
令，解得；当时，令，解得；
可得在上单调递减，在上单调递增；
且，所以，即.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小.
7．AC
【分析】根据给定条件，构造函数，，再借助导数探讨函数单调性并证明恒成立的不等式作答.
【详解】令函数，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，即，
设，则，
当且仅当时取等号，而函数在上递增，，，
则函数在上存在零点，取，因此，即，A正确，B错误；
设，由，得，当时，，当且仅当时取等号，
于是，
则有，即有，
取，因此，即，C正确，D错误．
故选：AC
【点睛】思路点睛：涉及实数大小比较，可根据给定条件构造函数，利用导数并探讨函数单调性，再赋值即可判断作答.
8．C
【分析】构造函数研究其单调性来比较，构造函数研究其单调性来比较即可.
【详解】由，
设，，
∴，
当时，
∴在上单调递减，
∴，即
所以；
由
设，则，
所以，
当时，，
所以，
所以在单调递减，
又，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
故选：C.
9．C
【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】构造函数，
在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
10．BCD
【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断.
【详解】设，则，
可设，则，解得，
故，即，
令，则，故在上单调递增，
∴，即，则，A错误；
∵，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
∴，在处取得极小值，无极大值，
B、C、D均正确
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：
（1）形式，联想到；
（2）形式，联想到.
11．B
【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
12．
【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解.
【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．
令，则,为奇函数．
．
当时，不等式．
，在单调递增．
函数在上单调递增．
对，不等式恒成立，
,
即
．
当时，，
则，
则；；
故在单调递减，在单调递增；
可得时，函数取得极小值即最小值，
．
当时，，则，则
则的取值范围是.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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