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专题4 用导数研究函数性质的参数问题
【典例1-1】
（22-23高二下·浙江·期中）
1．已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（23-24高二上·浙江宁波·期中）
2．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
【题后反思】已知函数单调区间求参数问题，即已知导数的零点求参数，结合基本初等函数相关知识求解并检验即可.
【举一反三】
（22-23高二下·广西·期中）
3．若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
（22-23高二下·北京海淀·期中）
4．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ；若在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 .
【典例2-1】
（22-23高二下·山东济宁·期中）
5．若在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】
（22-23高二下·山东淄博·期中）
6．已知当时，恒成立，则m的取值范围是
【题后反思】函数在某个区间上单调求参数的范围
1.数形结合：对于基本初等函数、分段函数，可结合函数图象列不等式，求参数的取值范围；
2.借助导数：转化为导函数在这个区间上恒大于等于0或者恒小于等于0，借助不等式恒成立的解法即可求出参数的范围.
【举一反三】
（22-23高二下·四川巴中·期中）
7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
（22-23高二下·福建漳州·期中）
8．已知函数.
(1)当时，求函数的单调递减区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
【典例3-1】
（22-23高二下·北京·期中）
9．已知函数，当（ ）时，在处有极小值.
A．0 B．-1
C．1 D．-2
【典例3-2】
（22-23高二下·河南·期中）
10．若函数有两个极值点，则非负实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【题后反思】已知极值点求参数
已知函数的极值点求参数，往往是通过列方程来求解：
1.求参数的值：①导函数在极值点处的函数值等于0；②极值也是函数值，函数在极值点处的函数值等于极值；
2.验证：极值点都是导函数方程的解，但导函数方程的解不一定是极值点，要使导函数方程的解是极值点，必须满足函数在这个解左右两边的单调性正好相反，因此求出参数后，需带入原函数验证.
【举一反三】
（2023高二下·山东临沂·期中）
11．函数在时有极小值0，则（ ）
A．7 B．6 C．11 D．4
（22-23高二下·湖南邵阳·期中）
12．已知函数．
(1)若曲线在处的切线斜率为，求的值；
(2)若函数（其中是的导函数）有两个极值点、，且，求的取值范围．
【典例4-1】
（22-23高二下·江西九江·期中）
13．若函数存在两个极值，则实数的取值范围是 .
【典例4-2】
（22-23高二下·吉林白城·期中）
14．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是 ．
【题后反思】已知函数的最值求参：一般先求出函数在给定区间上的最值（含参数），根据最值列方程组或不等式组求参数的范围.
【举一反三】
（22-23高二下·四川遂宁·期中）
15．已知函数，若，则的最小值为 .
（22-23高二下·福建龙岩·期中）
16．已知函数在处取得极值1.
(1)求、b的值；
(2)求在上的最大值和最小值.
【典例5-1】
（22-23高二下·吉林长春·期中）
17．已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求在区间的最小值.
【典例5-2】
（22-23高二下·四川绵阳·期中）
18．已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，函数在上的最大值为，求实数的值．
【题后反思】讨论的角度：
①讨论最高次幂的系数是否为0；
②讨论导函数是否有变号零点；
③若导函数有变号零点，讨论变化零点是否在函数定义域或指定区间内；
④讨论导函数的变号零点之间的大小关系．
【举一反三】
（22-23高二下·河南周口·期中）
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)证明：．
（22-23高二下·辽宁沈阳·期中）
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的不等正数，且，总有，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BD
【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解.
【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，
即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
令，则，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即，
故选：BD
2．
【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.
【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.
故答案为：
3．
【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．
【详解】，等价于在有解，即在有解，
即在有解，所以，
令，
则，即在上是增函数，
∴，所以.
故答案为：.
4．
【分析】函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；
在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.
【详解】因为，，
在区间内单调递增，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立，
，，因为在，
，则的取值范围是：.
若在上存在单调递增区间，则在上有解，
即在上有解，，
又，.则的取值范围是：.
故答案为：；.
5．D
【分析】由单调性可知在上恒成立，结合二次函数性质可得，由此可得的取值范围.
【详解】在上单调递增，在上恒成立，
在上单调递增，，解得：，
的取值范围为.
故选：D.
6．
【分析】构造函数，根据其单调性，分离参数得在上恒成立，再求出右边的最大值即可.
【详解】因为，
所以，
构造，
因为，
所以，
因为，所以在上是减函数.
因为，所以，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
构造，显然在上单调递增，
所以，即.
故答案为: .
7．C
【分析】求导，根据导函数在上恒成立即可求解.
【详解】，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．在上恒成立，
而在区间上单调递减，．
故选：C
8．(1)
(2)
【分析】（1）求定义域，求导后令，求出单调递减区间；
（2）根据题意得到在上恒成立，分离参数后，构造，，求出最值，得到答案.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，
当时，，
由得，故的单调递减区间是．
（2）由题意得，
，
因为在上单调递增，则在上恒成立，
即，故在上恒成立，
设，．
在恒成立，故在单调递减，
∴在上，，
∴，故实数a的取值范围是.
9．C
【分析】求导得到导函数，讨论，，三种情况，根据单调性计算极值得到答案.
【详解】，则，
①当时，和时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
故函数在处取得极大值，不满足；
②当时，，函数无极值，不满足；
③当时，和时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减，
故函数在处取得极小值，满足；
综上所述：.
故选：C.
10．D
【分析】利用导数分析的单调性，画出两段函数的图象，结合图象分析即可求解.
【详解】对于，，
令，可得.
当时，，所以为增函数，
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以在处有极大值为，
在处有极小值为，
所以在同一坐标系中作出的图像，如图所示：
若有两个极值点，则或.
故选：D
11．C
【分析】求出导函数，根据已知列出关系式，求解得出或.分别代入导函数，得出函数的单调区间，检验即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为在时有极小值0，
所以有，即，
解得或.
当时，恒成立，所以，在R上单调递增，此时没有极值点，舍去；
当时，.
由可得，或.
由可得，，所以在上单调递减；
由可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.
所以，，.
故选：C.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义可得，计算得解；
（2）根据题意，两个极值点、是的两根，可得，，得，且，代入化简得，构造函数利用导数求出最值得解.
【详解】（1）因为的定义域为，而，
所以，可得：，
解得.
（2），
则的定义域为，，
若有两个极值点、，且，
则方程的判别式，且，
，得，且．
所以
，，
设，
则在上恒成立，
故在单调递减，
从而，，
所以的取值范围是．
13．
【分析】求出函数的导函数，依题意可得方程有两不相等实数根，则，即可求出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
因为函数存在两个极值，所以即有两不相等实数根，
即，解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】由题意，求导确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数的取值范围．
【详解】由题意，，
令，解得或，令，解得，
故在，上是减函数，在上是增函数，
作其图象如下图，
所以当时，取得最大值为，
令，解得，或，
则结合图象可知，
，
解得，,．
故答案为：．
15．
【分析】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可.
【详解】设，即，解得，
所以，令，则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：对于双变量的范围问题，往往转化为一个变量（解方程、主元法等），构造函数后利用导数研究函数的单调性，进一步求出函数的值域即可.
16．(1)，
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）由题意，根据极值点、极值的含义得，可求出、的值，再利用导数与函数极值点之间的关系验证即可；
（2）利用导数求出函数在区间上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值.
【详解】（1）因为，该函数的定义域为，
则，
因为函数在处取得极值1，
则，解得，，则，
所以，，令，可得，列表如下：
1
+ 0
增 极大值 减
所以，函数在取得极大值，合乎题意，故，.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又因为，，
因为，
所以，故.
17．(1)，
(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；
（2）求导函数，分，，讨论可得结果；
（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.
【详解】（1）当时定义域为R，
且，
所以当或时，当时，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，；
（2）函数定义域为R，则，
令，解得或，
①当时，则当或时，，
当时，，
所以的单调增区间为，，单调减区间为；
②当时，恒成立，所以在R上单调递增；
③当时，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；
当时在R上单调递增；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，
若，即时在上单调递减，
所以在上的最小值为，
若，即时，在单调递减，在单调递增，
所以在的最小值为，
所以.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出的导函数，对分类讨论分析导函数的符号，可得函数的单调性；
（2）由题意，令，利用的单调性可得，从而在上单调递减，即可确定在上的最大值，从而得解.
【详解】（1）由题意得，
当时，在上恒成立，故函数在上单调递增；
当时，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在单调递增，上单调递减．
（2）由题意，，
，
令，，
当时，，单调递减，则，
则，则在上单调递减，
故在上的最大值为，
所以.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的定义域，以及，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（2）当时，分析函数的单调性，分析可得，即可得出，于是得出，即为，综合可得出结论.
【详解】（1）解：的定义域是，，
当时，在时恒成立，此时，函数的增区间为；
当时，令，得，令，得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）证明：当时，，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，，即，则，
所以，，即，
综上可得．
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，将不等式转化为在上单调递增，然后构造函数
，分离参数，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1），，，
∴，
①当时，，单调递增，
②当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减，综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在单调递增．
（2）在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，，
则在上恒成立，∴，
令，，则，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
∴，∴，∴，
即实数的取值范围为．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数极值问题，难度较大，解决问题的关键在于，将问题转化为在上单调递增，然后利用导数研究，分离参数，转化为极值问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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