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专题6 三角形中最值与范围问题
【典例1-1】（22-23高一下·福建福州·期中）
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22-23高一下·云南保山·期中）
2．已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题后反思】在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏南通·期中）
3．在中，内角所对的边分别为，，垂足为（在边上且异于端点），设，且满足.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
（湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题）
4．记的内角，，的对边分别为，，，且边上的高.
(1)若，求；
(2)已知中角和是锐角，求的最小值.
【典例2-1】（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）
5．已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【典例2-2】（22-23高一下·江苏连云港·期中）
6．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题后反思】本类题型需要根据题意选择方法，范围问题多转化为三角函数值域问题，最值问题可以用基本不等式直接求解.同时，需要注意三角形中一些基本的性质，例如两边之和大于第三边，大边对大角等.
【举一反三】
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
7．三内角，，所对边分别是，，.若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（22-23 高一下·新疆·期中）
8．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量 画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-1】（21-22高一下·浙江·期中）
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 ．
【典例3-2】（22-23高一下·浙江·期中）
10．已知，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点．若，则 ，的取值范围是
【题后反思】中线问题多采用中线向量公式并结合平面向量的平方转化法；角平分线问题多转化为两个三角形面积和等于大三角形面积，通过两个等角与公共边进行联系；高的问题多采用等面积法或图形求解法（在图形中找出高，结合已知角或自变量在直角三角形中表示高的长度）.
【举一反三】
（22-23高一下·广东汕头·期中）
11．在中，角 的对边分别为，若，且
(1)求；
(2)求边上高的最大值.
（22-23高一下·江西·期末）
12．记的内角的对边分别为的面积.
(1)若，求；
(2)已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值.
①为的平分线；②为边上的中线.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【典例4-1】（22-23高一下·山东青岛·期中）
13．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．
【典例4-2】（22-23高二下·河南开封·期中）
14．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．16 D．
【题后反思】牢记三角形的面积公式：
（1）（为三角形的底，为对应的高）
（2）.
此外，面积求最值时往往通过余弦定理的表达式进行整理，再利用基本不等式直接得到最值.
【举一反三】
（22-23高一下·贵州遵义·期中）
15．已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（21-22高一下·浙江嘉兴·期中）
16．在锐角中，内角对应的边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-1】（22-23高一下·江苏南通·期中）
17．正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】（22-23高一下·广东佛山·期中）
18．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为
【题后反思】平面向量+三角形问题，出现直角多采用坐标法，常规图形采用平面向量运算的定义法与转化法.此类题型一定要数形结合寻找一些题目隐藏的条件与关系，从而达到简化计算量的目的.
【举一反三】
（2023·江苏扬州·模拟预测）
19．在中，，，，则的取值范围是 ．
（22-23高一下·吉林·期中）
20．莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为 .
【典例6-1】（22-23高一下·湖南长沙·期末）
21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
(1)求B及a，c；
(2)若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值.
【典例6-2】
22．已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
【题后反思】对于外接圆相关的范围与最值问题，可以通过正弦定理联系三角形基本量与外接圆半径，列出表达式后统一化为角或统一化为边，结合不等式或函数求解答案；对于内切圆相关问题，可以通过面积拆分法联系内切圆半径与三角形基本量，结合三角形等面积法即可得到相关关系.
【举一反三】
（22-23高一下·黑龙江双鸭山·阶段练习）
23．已知的三个内角的对边分别为，且，．
(1)求的最大值；
(2)若的内切圆半径为，求的最大值．
（22-23高一下·山东淄博·期末）
24．如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.

(1)判断四边形是否有外接圆 若有，求其半径；若无，说明理由，
(2)求内切圆半径的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由题设可得，根据余弦定理有，利用基本不等式求角的范围，即可确定最大值.
【详解】由，则，
所以，，
所以，故的最大值为.
故选：B
2．A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化简表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，由正弦定理得：，化简得：，
由余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，从而可得为锐角，
所以：，得：，则：，
所以：，
所以：的最大值为，故A项正确.
故选：A.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用面积公式、余弦定理及条件得到，再利用正弦、余弦的倍角公式即可得到结果；
（2）利用条件和余弦定理得，过点作，使得，连接，再利用几何条件得到，从而得到，进而得出结果.
【详解】（1）在中，可得，所以，又，由余弦定理可得，
即，所以，又，所以，故，
所以，得到.
（2）由，结合（1）可得，
所以，
如图，过点作，使得，连接，
取的中点，易得且，所以，故，
在中，，又,
即，解得，则，所以，所以的最小值为.

4．(1)或；
(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式，结合正弦定理边化角得，再把代入，利用二倍角公式求出作答.
（2）利用（1）的信息，利用和角的正弦化简变形，再利用均值不等式求解作答.
【详解】（1）因为边上的高，则，
由正弦定理得，而，则，
当时，，即有，即，
显然，即，有，于是或，
所以或.
（2）在中，由，得，而和为锐角，
即，于是，
显然，从而，
因此
，当且仅当时取等号，
所以当时，的最小值.
【点睛】思路点睛：涉及三角形中的三角函数等式求最值问题，可以利用三角恒等变形结合三角形内角和定理，化成含某个角或某两个角的等式，再借助三角函数性质或均值不等式求解即可.
5．C
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.
【详解】由余弦定理可得
，
所以，，即，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故选：C.
6．C
【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，且，又由外接圆半径为，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理的
又因为，可得，
所以，
即，
因为，可得，可得，即，
解得或（舍去），
因为，所以，则，
又因为外接圆半径为，所以，
又由
，
因为为锐角三角形，且，所以且，
解得，可得，所以，
所以.
故选：C.
7．C
【分析】由已知及余弦定理可得，再应用正弦定理有，，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.
【详解】因为，由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，，
所以，而，
则
，且，
又，当时的最大值为.
故选：C
8．D
【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
9．
【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得cosA，设AD＝x，由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围．
【详解】因为，
由正弦定理可知：，
又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB，
则2cosAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
所以cosA，因为A∈(0,π)，所以，
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分别有：cos∠ADB，cos∠ADC，
又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，，即，
因为b2+c2≥2bc，所以，从而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得，（当且仅当b＝c时等号成立），
所以BC边上的中线AD长度的最大值为，
故答案为：．
10．
【分析】利用正弦定理边角互化可得出的值，设，利用三角形的面积关系可得出，利用余弦定理得出，进而得出，利用基本不等式可求得角的取值范围，由此可得出的取值范围.
【详解】解：已知，由正弦定理得．
又因为为的角平分线，可得面积关系为，
记，则有，
可得，
由余弦定理，
得，即．
又，即，
所以，，此时，即．
故答案为：；.
11．(1)；
(2).
【分析】（1）利用替换等式中的“2”，由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求解；
（2）的面积，要求边上高的最大值，即求的面积最大值，利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求解的面积最大值.
【详解】（1）因为，由正弦定理
得 ，即，
故，
因为，故.
（2）因为的面积，所以要求边上高的最大值，即求的面积最大值.
由余弦定理得，即，则，
当且仅当时取等号，
故的面积，
所以边上高的最大值为.
12．(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，由余弦定理和三角形的面积公式即可得到，再由正弦定理即可得到结果；
（2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由，再结合余弦定理与基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，所以，
由三角形的面积公式可得，所以，
所以，又，所以.
因为，所以为锐角，，
所以
，
由正弦定理得，即，
所以.
（2）选择条件①：
在中由余弦定理得，即，
即，故，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
选择条件②：
由点为的中点得，
平方得，
在中由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时等号成立，
故有
，
从而，故的最大值为.
13．B
【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值.
【详解】因为，所以，
所以，
由正弦定理得，又，所以
，
所以当即时，面积的最大值为.
故选：B
14．B
【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式结合面积公式求解最值即可
【详解】由，，
所以，即，
所以，因为，所以．
因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以．
故选：B．
15．A
【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可.
【详解】由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
，即面积的最大值为.
故选：A.
16．D
【分析】根据锐角三角形的条件，求出的范围，然后利用正弦定理将另两边表示出来，最后借助于面积公式，将所求表示为角的三角函数，求值域即可．
【详解】解：设边的对角为，由锐角，结合得：，
解得，又，由正弦定理得，又，
所以，所以，，
故①，
因为，故，所以，故，
所以①式的取值范围是．
故选：D．
17．D
【分析】设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可得解．
【详解】解：设为外接圆的圆心，
因为，所以，
当弦的长度最短时，，
在中，由正弦定理知，外接圆半径，即，
所以，
因为，即，
所以，
因为点为线段上的动点，
所以当点与点重合时，；
当点与点重合时，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
综上，，
所以．

故选：D．
18．
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，即可根据平面向量数量积的坐标表示求出，再根据三角函数的值域求法即可解出．
【详解】如图所示：以点为原点建立平面直角坐标系，设，，，所以，
，
而，所以，即．
故答案为：．
19．
【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围．
【详解】根据正弦定理得，即，
，
，
，，所以，
，
即的取值范围．
故答案为：．
20．
【分析】因为点为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点在哪一条弧上.每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角或，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值.
【详解】当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，
设，，
原式
其中，，
又，，
原式取最小值.
当点落在圆弧上时，根据对称性同理可得原式取最小值.
当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，
设，，
原式
又
，∴当时，原式取最小值.
，故原式取最小值.
故答案为：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题得，再结合三角形面积公式和余弦定理即可得到答案；
（2）设内切圆的圆心为，半径为，根据内切圆半径公式得，代入数据有，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）由，得，又
，解得,
，或
由余弦定理，
得，
当时，，又，所以，，
当时，，矛盾
所以，，
（2）设△内切圆的圆心为，半径为，由（1）知：△ABC为等边三角形，
则，
从而（其中指的周长），
，
，
，则
，
又，当且仅当等号成立
，
，当且仅当时等号成立，.
即内切圆半径的最大值为
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用三角形内切圆半径公式，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合条件，进行边角转化即可得出结果；
（2）利用正弦定理，将边转角，再结合条件得到，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因为为钝角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的图像与性质知，所以
23．(1)
(2)
【分析】（1）化简已知等式，结合余弦定理可求得，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可整理得到，由正弦型函数最值可求得结果；
（2）利用面积桥和余弦定理可将表示为，代入所求式子，结合正弦定理边化角和三角恒等变换知识可得到，由正弦型函数值域的求法可求得最大值.
【详解】（1）由得：，
整理可得：，，
又，，
由正弦定理得：，，，
（其中，），
，，
当时，取得最大值.
（2），即，；
由余弦定理得：，，
，
，
由（1）知：；
，，，
，则的最大值为.
24．(1)有，；
(2).
【分析】（1）利用数量积的定义及三角形面积公式求出角D，再由正余弦定理求出角B，结合圆内接四边形的判定作答.
（2）利用三角形面积建立三角形内切圆半径的函数，再求出函数值域作答.
【详解】（1）在中，，则，
由，得，于是，而，因此，
在中, ，解得，
在中，由正弦定理，得 ，整理得，
由余弦定理，得，又，因此，有，
于是四点共圆，且四边形外接圆的半径就等于外接圆的半径，
所以四边形有外接圆，圆半径.
（2）由（1）知：，则，即有，
由，得，
又，由，故不是正三角形,又，则，
于是，又，解得，，
则，
所以内切圆半径的取值范围是.
【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c，内切圆半径，则.
答案第1页，共2页
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