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专题01 对顶角、邻补角、垂线、平移之七大题型
对顶角、领补角的定义理解 例题1：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）
1．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）
2．下列图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
（2023下·河南郑州·七年级校考期中）
3．下列图形中，表示和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河北唐山·七年级统考期中）
4．下面四个图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C．D．
垂线及性质、画垂线、点到直线的距离
例题：（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）
5．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（　　）
①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【变式训练】
（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）
6．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是 ．
（2023下·河南许昌·七年级校考期中）
7．如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；
(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
（2023下·河北唐山·七年级统考期中）
8．如图，在直角三角形中，．
(1)点B到的距离是 ；点A到的距是 ．
(2)画出表示点C到的距离的垂线段．
(3) （填“＞”“＜”“＝”），理由是 ．
利用对顶角、领补角性质求角
例题：（2023下·山西吕梁·七年级统考期中）
9．如图，直线，相交于点O，，平分．

(1)的对顶角为______________，的邻补角为______________；
(2)若，求的度数．
【变式训练】
（2023下·云南曲靖·七年级校考期中）
10．如图，直线、相交于点O，于点O，平分，．

(1)求的度数；
(2)在的内部画射线，若，那么是的平分线吗？请说明理由．
（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）
11．已知：直线、相交于点，于点，．

(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，过点画出直线的垂线，请直接写出图中所有与互补的角．
生活中的平移现象
例题：（2023下·广西南宁·七年级校考期中）
12．下图是德胜中学的校徽，将它通过平移可得到的图形是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练】
（2023下·四川广元·七年级校联考期中）
13．下面生活中的现象可以看成平移的是（ ）
①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）
14．如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
利用平移的性质求解
例题：（2023下·四川成都·八年级校考期中）
15．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为 ．

【变式训练】
（2023上·云南昆明·八年级校考期中）
16．如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．

（2023下·贵州铜仁·八年级校考期中）
17．在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．

利用平移解决实际问题
例题：（2023下·河北沧州·七年级校考期中）
18．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元．
AI
【变式训练】
（2023下·江西南昌·七年级校考期中）
19．如图，是一块长方形的场地，长，宽．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ．

（2023下·黑龙江鸡西·七年级期中）
20．春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为 ．

平移作图
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）
21．如图，的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上，请将先向下平移三个单位长度后再向右平移四个单位长度后得到．
(1)画出平移后的图形；
(2)在（1）的条件下，连接、，直接写出三角形的面积为______．
【变式训练】
（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）
22．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，将向上平移4个单位长度得到，使点A、B、C分别对应点D、E、F，再将平移得到，使点D、E、F分别对应点M、N、P．

(1)分别画出两次平移后的三角形；
(2)顺次连接点C、F、N，请直接写出的面积为_____．
（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）
23．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使C点的对应点为．

(1)请在图中画出三角形；
(2)过点画出线段的垂线，垂足为O；
(3)直接写出三角形的面积为________平方单位．
一、单选题
（2023下·山东济南·七年级统考期中）
24．下列四个图中，一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）
25．如图，，，则点到的距离是线段（ ）的长度

A． B． C． D．
（2023上·河南新乡·九年级校考期中）
26．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C． 比 D．曲
（2023下·江西吉安·八年级校考期中）
27．如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是16cm，四边形的周长是20cm，那么平移的距离是（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
（2023下·河南郑州·七年级校联考期中）
28．如图，直线，相交于点，下列说法中错误的是（ ）

A． B．和互余 C．与互补 D．与互余
二、填空题
（2023下·河南周口·七年级统考期中）
29．如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则 ．

（2023下·广东中山·七年级统考期中）
30．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”）
（2023下·河南安阳·七年级校考期中）
31．为持续推进儿童友好公园建设，郑州市园林绿化部门计划在2023年新建绿地面积300万平方米以上．如图，在长为103米，宽为60来的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为3米，其他部分计划种植花草，则种植花草的面积为 平方米．

（2023下·山西大同·七年级大同一中校考期中）
32．如图，将直角三角形沿边方向平移到三角形的位置，连接．若，，则的长为

（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）
33．如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 ．
三、解答题
（2023下·湖南永州·七年级校考期中）
34．如图，在方格纸内将水平向右平移6个单位得到，再向上平移4个单位长度得到．

(1)画出和；
(2)连接、，则线段、的位置关系是 ，线段、的数量关系是 ．
（2023下·山东济南·七年级统考期中）
35．如图，的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每个小方格的边长都为1.请在方格纸上画图并回答下列问题：

(1)过C点画直线的垂线，垂足为点E；
(2)过A点画射线，交直线于点F；
(3)点C到直线的距离为线段___________的长度；
(4)比较大小：线段___________线段（填“>”、“”或“=”）．
（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）
36．作图题
(1)如图，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方开始挖渠。才能使水渠的长度最短？请画出图形，并说明理由．

答：在__________开始挖掘 理由：____________________．
(2)在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处．
①在给定方格纸中，平移，使点与点对应，请画出平移后的；
②线段与线段的关系是__________．
（2023下·江西吉安·七年级统考期中）
37．如图所示，直线与相交于点．

(1)图中的余角是_________；（写一个即可）
(2)_________；（写一个即可）
(3)如果，那么根据________，可得________；
(4)如果，求的度数．
（2023下·天津津南·七年级校联考期中）
38．如图，直线，相交于点，．
(1)若，，则_______；
(2)若，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，求和的度数．
（2023下·江西南昌·七年级南昌市第三中学校考期中）
39．平面内两条直线 ，相交于点，，恰好平分．
(1)如图①，若，求 的度数；
(2)在图①中，若，请求出 的度数用含有的式子表示，并写出 和 的数量关系；
(3)如图②，当， 在直线 的同侧时其他条件不变，请直接写出和 之间的数量关系．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；
B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
2．C
【分析】邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且两个角的和为，由此即可求解．
【详解】解：、不是邻补角，原选项不符合题意；
、是对顶角，原选项不符合题意；
、是邻补角，原选项符合题意；
、不是邻补角，原选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查邻补角的概念及识别，理解并掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．
3．D
【分析】两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角，由此可得出正确答案．
【详解】解：根据对顶角的定义可得都不是对顶角，只有选项符合对顶角的定义，
故选：．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，属于基础题，要求熟练掌握对顶角的定义．
4．C
【分析】根据邻补角的定义作答即可．
【详解】解：由题意知，C中与是邻补角，
故选：C．
【点睛】本题考查了邻补角的定义．解题的关键在于熟练掌握两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
5．C
【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：∵于点B，
∴线段的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵，
∴线段的长度是A点到直线的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在三条线段中，最短，故③正确；
故选：C．
6．垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可．理解垂线段最短的意义是正确解答的关键．
【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，
故答案为：垂线段最短．
7．(1)图见解析
(2)，，，垂线段最短
【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为；
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．

（2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知，，
故答案为：，，，垂线段最短．
【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．(1)4，3
(2)见解析
(3)＞，垂线段最短
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）过C点作的垂线，垂足为D；
（3）根据垂线段最短进行判断．
【详解】（1）点B到的距离是，点A到的距离是；
故答案为4；3；
（2）如图，为所作；
（3），理由是垂线段最短．
故答案为：＞；垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．
9．(1)；，
(2)
【分析】（1）根据对顶角的定义（有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角）和邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得，然后根据垂直的定义即可得．
【详解】（1）解：的对顶角为，
的邻补角为，，
故答案为：；，．
（2）解：平分，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了对顶角和邻补角的定义、与角平分线有关的计算、垂直，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．
10．(1)
(2)是的平分线．理由见解析
【分析】（1）根据与是对顶角得到，再利用，求出，最后利用角平分线的定义求即可；
（2）分别求出与，再根据角平分线的定义判定即可
【详解】（1）解：∵与是对顶角，
∴．
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴
（2）是的平分线．理由：
根据题意，画图如下：

∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．
11．(1)
(2)、、
【分析】本题主要考查了垂线，互余和互补的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）由平角的性质，得到，进而得出，即可求出的度数；
（2）利用互余和互补的性质，分别得到、、、的度数，再根据与互补的角的度数为，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
与互补的角的度数为，
与互补的角有、、．
12．C
【分析】根据平移前后，图形的形状，大小，方向均不变，进行判断即可．
【详解】A、校徽左右交换位置得到，故选项错误，不符合题意；
B、向下旋转得到，故选项错误，不符合题意；
C、是通过平移得到，故选项正确，符合题意；
D、顺时针旋转故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了图形的平移，解题的关键是熟知图形平移的性质．
13．C
【分析】根据平移的定义，平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项进行判断即可．
【详解】解：平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，生活中也很多物体存在平移现象，
②水平传输带上物品的运动，③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）是平移，
①转动的指针，④随风摆动的旗帜都改变了方向，不是平移，
故选：．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键．
14．D
【分析】图形平移前后的大小，形状都不变化，据此判断即可．
【详解】解：A、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意；
B、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意；
C、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意；
D、能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平移的性质，熟练掌握图形平移前后的大小，形状都不变化，只是位置变化是解题的关键．
15．7
【分析】根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出．
【详解】解：根据平移可得，，，
，，
，
，
，
即平移的距离为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质，的对应边是，求出的长度，，则是直角三角形，是直角，则是梯形的高，根据的长度求出的长度，利用梯形的面积公式求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵是梯形高
．
故答案为：．
17．
【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积．
【详解】解：设矩形花园的宽，
根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键．
18．450
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移构成一个长方形，根据题意这个长方形的长与宽分别为米，米，
∴地毯的长度为：（米），
地毯的面积为：（平方米），
故买地毯至少需要：（元）．
故答案为：450．
【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，利用平移的性质，把所要求的的所有线段平移到一条直线上进行计算是解本题的关键．
19．2000
【分析】本题要看图解答．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积．
【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为，这个长方形的宽为：，
因此，草坪的面积平方米．
故答案为：2000．
【点睛】此题主要考查了平移的性质的应用，有一定的思维含量，得出草坪正好拼成长方形是解题的关键．
20．8
【分析】根据图形利用平移的性质，将图中空地平移后，种花的正好组成一个长为4，宽为2的长方形，然后求出结果即可．
【详解】解：根据题意可知，种花的面积和为：
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据平移得出种花的正好组成一个长为4，宽为2的长方形．
21．(1)作图见解析；
(2)的面积为．
【分析】（）根据平移的性质作图即可；
（）利用三角形面积公式计算即可；
此题考查了作图——平移，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，
的面积为．
22．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了作图﹣平移变换、三角形的面积．
（1）根据平移作图即可得，再向右平移5个单位，再向下平移1个单位，画出即可得；
（2）直接利用直角三角形的面积公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：分别画出两次平移后的和，如图所示．

（2）解：的面积为．

故答案为：6．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】本题考查了平移的性质，
（1）根据平移的性质，找到对应的、然后画出即可；
（2）根据垂线的定义作图即可；
（3）根据平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图为所作图形；

（2）解：如图线段为所作图形；

（3）解：的面积为，根据平移的性质，可得的面积也是6．
24．B
【分析】根据对顶角的性质、互补的定义和角在图形中的位置逐项判断即可.
【详解】解：A、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意；
B、图形中的是对顶角，所以，故本选项符合题意；
C、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意；
D、图形中的与是邻补角，不能判断是否相等，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了对顶角的性质和互补的定义，正确识别图形、熟知对顶角相等的性质是解题关键.
25．A
【分析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”．根据点到直线的距离的定义即可得．
【详解】解：，
∴点到的距离是线段的长度，
故选：A．
26．C
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，
C是利用图形的平移得到．
故选：C．
27．B
【分析】根据平移的性质结合已知条件求解即可．
【详解】解：∵将向左平移得到，
∴，，
则，
∵的周长的周长是16cm，
∴的周长是16cm，即cm，
∵四边形的周长（cm），
∴cm，即平移的距离是2cm；
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移前后对应线段相等是解题关键．
28．D
【分析】根据对顶角、邻补角的概念判断即可．
【详解】解：A．与是对顶角，
，故本选项说法正确，不符合题意；
B．，
，
和互余，故本选项说法正确，不符合题意；
C．，
与互补，故本选项说法正确，不符合题意；
D．与相等，不一定互余，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角，掌握对顶角的性质、邻补角的概念是解题的关键．
29．##54度
【分析】根据垂线的定义，由，垂足为，得．由，根据对顶角的定义，得，即可求得．
【详解】解：，垂足为，
．
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂线、对顶角，熟练掌握垂线的定义、对顶角的定义是解决本题的关键．
30．不是
【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可．
【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角．
故答案为：不是．
31．5700
【分析】可以根据平移的性质，种植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积，据此求解即可．
【详解】解：由平移的性质可知，植花草的面积相当于一条横向长为米与一条纵向长为米的长方形面积，
∴种植花草的面积．
故答案为：5700．
【点睛】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键．
32．4
【分析】根据平移的性质，得，求出即可得出答案．
【详解】解：由平移的性质，得，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握性质，求出．
33．11
【分析】本题考查平移的性质，根据平移性质得到，，然后计算出阴影部分周长为的周长即可求解．利用平移的性质得到，是解答的关键．
【详解】解：∵将沿方向平移，得到，
∴，，
∴阴影部分的周长为
，
故答案为：11．
34．(1)见解析
(2)平行，相等
【分析】（1）根据平移的性质画出点的对应点及，再顺次连接即可得到和；
（2）由平移的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，和即为所作；
；
（2）解：如图，
，
由平移的性质可得：线段、的位置关系是平行，线段、的数量关系是相等，
故答案为：平行，相等．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，平移的性质，经过平移后，对应点所连接的线段平行且相等，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
35．(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据网格的特点作图即可；
（2）根据网格的特点作图即可；
（3）根据点到直线的距离的概念解答；
（4）根据垂线段最短解答．
【详解】（1）如图，直线即为所作；

（2）如图，射线即为所作；
（3）点C到直线的距离为线段的长度；
故答案为：；
（4）根据垂线段最短得：线段线段；
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用网格作图、垂线段最短以及点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
36．(1)点H，垂线段最短
(2)①见解析；②平行且相等
【分析】（1）过点P作于点H，根据垂线段相等，得到点H即为开挖点；
（2）①找到点A、C平移后的对称点，顺次连接，即可得到；
②根据平移的性质即可得到线段与线段的关系．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作于点H，在点H开始挖掘，理由是垂线段最短，
故答案为：点H，垂线段最短
（2）①如图所示，即为所求，
②根据平移的性质可知，线段与线段的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等
【点睛】此题考查了垂线段最短、平移的作图与性质等知识，熟练掌握平移的作图和性质是解题的关键．
37．(1)
(2)或
(3)对顶角相等，
(4)
【分析】（1）根据余角的定义、性质，可得答案；
（2）根据同一个角的余角相等的性质，可得答案；
（3）根据对顶角相等即可求得．
【详解】（1）图中的余角有，，；
（2）∵，，
∴．
或者根据（1），的三个余角均相等：；
（3）根据对顶角相等，可得．
（4）∵，
且，
∴，
求得：．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角，利用余角的性质，对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
38．(1)
(2)，理由见解析
(3)，
【分析】（1）利用垂直定义求出的度数，进而求出的度数，最后利用平角定义即可求出的度数；
（2）由垂直定义可知，通过等量代换得，然后根据垂直定义即可得出结论；
（3）结合和可求的度数，进而求出的度数，利用对顶角的性质和角的和差关系即可求出的度数．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴；
（2）解：．
理由：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算，分清角之间的对应关系是解题的关键．
39．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（3）根据（1）（2）解答即可．
【详解】（1），
，
平分，
，
，
，
；
（2），
，
平分，
，
，
，
；
；
（3）不变，
设，
，
平分，
，
，
，
；
；
【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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