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2023-2024学年度第二学期高一数学期中检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z=,则=（ ）
A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i
2.已知=5，则=（ ）
A．1 B． C． D．
3.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为(　 　)
A．(＋1)∶2 B．∶2
C．1∶2 D．(＋1)∶4
4.在△ABC中，AB = 4，AC = 2，点O满足，则的值为（　　　）
A.﹣8 B.6 C.﹣6 D.8
5.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于
y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，
则原平面图形A′B′C′D′的面积为(　　 )
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
6.已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　 　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
7.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
8.赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》
一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到
的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的
图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等
边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为( )
A. B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.设复数z满足＝i，则下列说法错误的是(　 　)
A.z为纯虚数 B.z的虚部为－i
C.在复平面内，z对应的点位于第二象限 D.|z|＝
10.已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　 )
A.|a＋b|＝2 　　 B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为 　　 D.|a－b|＝1
11.如图，正方体ABCD - A1B1C1D1棱长为，P是A1D直线上的一个动点，则下列结论中正确的（ ）
A.BP的最小值为.
B.存在P点的某一位置，使得P，A，B1，C四点共面
C.PA+PB的最小值为
D以点B为球心，为半径的球面与面A1DC1的交线长为.
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
13.已知向量，，若，则 ．
14.已知向量，满足，，则______．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，
求a的取值范围．
16.（本题满分15分）
已知平面向量＝(1，x)，＝(2x＋3，－x)，x∈R.
⑴若⊥，求x的值；
⑵若∥,求|－|.
17.（本题满分15分）
已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
18.（本题满分17分）
如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证：⑴EF∥平面ACD；
⑵平面EFC⊥平面BCD.
19.（本题满分17分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2＋c2－a2＝bc.
⑴已知________，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题(1)补充完整，并作答．
⑵求cos B＋cos C的最大值．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z=,则=（ ）
A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i
【答案】B.
【解析】z==1-2i,=1+2i．故选B.
2.已知=5，则=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】=1,故选A.
3.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为(　　)
A．(＋1)∶2 B．∶2
C．1∶2 D．(＋1)∶4
【答案】D.
【解析】由题意，得圆锥的表面积S1＝πR2＋×R×2πR＝(1＋)πR2，圆柱的表面积S2＝2πR2＋π×2R×R＝4πR2，所以圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为(＋1)∶4.故选D.
4.在△ABC中，AB = 4，AC = 2，点O满足，则的值为（　　　）
A.﹣8 B.6 C.﹣6 D.8
【答案】C.　
【解析】∵点O满足，∴点O为BC中点,
∴,,
=-6,故选C.
5..用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于
y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，
则原平面图形A′B′C′D′的面积为(　　 )
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
【答案】C.
【解析】依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.
6.已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　 　)
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
【答案】A.
【解析】由题意得解得a＝－1.
则z＝－1＋i.故选A.
7.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,,∴,,
∴,,=2,
则,故选B．
8.赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为( )
A. B．
C． D．
【答案】D.
【解析】设AF=x，则DF=3x，BD=AF=x，AD=4x，∠ADB=120°，
在△ABD中，根据余弦定理得，
，
∴，
，
∴，
∴图中阴影部分与空白部分面积之比为.故选D.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.设复数z满足＝i，则下列说法错误的是(　 　)
A.z为纯虚数 B.z的虚部为－i
C.在复平面内，z对应的点位于第二象限 D.|z|＝
【答案】AB
【解析】∵z＋1＝zi，设z＝a＋bi，则(a＋1)＋bi＝－b＋ai，
∴解得
∴z＝－－i.
∴|z|＝，复数z的虚部为－.故选ABC.
10.已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　 )
A.|a＋b|＝2 　　 B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为 　　 D.|a－b|＝1
【答案】BC
【解析】|a＋b|＝＝，故A错误；
因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误；
cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确.故选BC.
11.如图，正方体ABCD - A1B1C1D1棱长为，P是A1D直线上的一个动点，则下列结论中正确的（ ）
A.BP的最小值为.
B.存在P点的某一位置，使得P，A，B1，C四点共面
C.PA+PB的最小值为
D.以点B为球心，为半径的球面与面A1DC1的交线长为.
【答案】ACD
【解析】如图，连接A1B，BD，△BA1D是边长为等边三角形，∵P是A1D直线上
的一个动点，∴当P是A1D中点时，BP的值最小，最小值为,
选项A正确；∵A，B1，C三点确定的平面是平面AB1C，A1D∥B1C，∴A1D∥平面AB1C，
又∵P是A1D直线上的一个动点，∴P不可能与A，B1，C共面，选项B错误；
显然在△A1AD中，PA的最小值为，即当P是A1D中点时，PA+PB的最小值为，选项C正确；连接A1C1，DC1，设A1D，A1C1，DC1的中点分别为E,F,G，由前面计算可知BE=BF=BG=，∴以点B为球心，为半径的球面与面A1DC1的交线为△EFG的外接圆，而△EFG是边长为的等边三角形，它的外接圆半径为，△EFG的外接圆的周长就为，选项D正确.故选ACD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
【答案】2
【解析】∵(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，其实部为0，故a＝2.
13.已知向量，，若，则 ．
【答案】.
【解析】∵,,
∴=0,
∴,,
∴
.
14.已知向量，满足，，则______．
【答案】.
【解析】方法1：∵,即,
. ∴,整理得，
又∵,即,
∴,.
方法2：设,则,
由题意可得 ,
则,整理得,
∴.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，
求a的取值范围．
【答案】.
【解析】∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，＝a－2＋i，
∴＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|=,
∵(1＋i)z1＝－1＋5i，∴=,
又∵|z1－2|<|z1|，∴,
即,解得1∴a的取值范围是(1,7)．
16.已知平面向量＝(1，x)，＝(2x＋3，－x)，x∈R.
⑴若⊥，求x的值；
⑵若∥,求|－|.
【答案】⑴x＝0或x＝－2； ⑵2或2．
【解析】⑴若⊥，则＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
⑵若∥,则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，＝(1,0)，＝(3,0)，
∴－＝(－2,0)，|－|＝2；
当x＝－2时，＝(1，－2)，＝(－1,2)，
∴－＝(2，－4)，∴|－|＝＝2.
综上所述，|－|为2或2.
17.已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
【答案】货轮无触礁危险.
【解析】. 如图所示，在△ABC中，
依题意得BC＝20(海里)，
∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
由正弦定理，得＝，
所以AC＝＝10(－)(海里)．
故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°
＝10(－)×＝(15－5)(海里)．
因为15－5>8，所以货轮无触礁危险．
18.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证：⑴EF∥平面ACD；
⑵平面EFC⊥平面BCD.
【答案】⑴详细证明见解析; ⑵详细证明见解析.
【解析】证明：⑴∵E，F分别是AB，BD的中点，
即EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，
∵EF 平面ACD，AD 平面ACD，
∴EF∥平面ACD.
⑵∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，
∴BD⊥平面EFC.
∵BD 平面BCD，
∴平面EFC⊥平面BCD.
19.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2＋c2－a2＝bc.
⑴已知________，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题(1)补充完整，并作答．
⑵求cos B＋cos C的最大值．
【答案】⑴详见解析；⑵.
【解析】⑴∵b2＋c2－a2＝bc，
∴由余弦定理知cos A＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
选择①②：
∵b2＋c2－a2＝bc，
∴4＋c2－7＝2c，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1(舍去)，
则△ABC的面积S＝bc·sin A＝×2×3×sin ＝；
选择①③：
由正弦定理知＝，
∵sin C＝2sin B，∴c＝2b①，
∵b2＋c2－a2＝bc，
∴b2＋c2－7＝bc②，
联立①②构成方程组，解得b＝，c＝，
则△ABC的面积S＝bc·sin A＝×××sin ＝.
选择②③：
由正弦定理知＝，
∵sin C＝2sin B，∴c＝2b＝4，
则△ABC的面积S＝bc·sin A＝×2×4×sin ＝2.
⑵由(1)知，A＝，
∴B＋C＝，
∴cos B＋cos C＝cos B＋cos
＝cos B－cos B＋sin B＝sin，
∵0＜B＜，∴B＋∈，
∴sin∈，
故cos B＋cos C的最大值为1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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