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力的投影
力的投影——定义
力的投影：把代表力F大小的线段，分别向坐标轴X、Y轴作正投影后得到的线段
长度，加上正负号称力F在坐标轴X、Y轴的投影，用FX、FY表示。
1.“±”号规定：投影的指向（从起点到终点）与
坐标轴的正方向一致时取“+”号，反之取“-”号。
Y
B
b′
2．线段长度：由直角三角形公式计算。
F = Fcosα，F = Fsinα
F
Fy
a′
α
X
Y
注：“α”为力F与坐标轴的夹角，且0≤α≤90°
A
本图中如果力F的方向从B指向A,则其投影又如何？
X
Fx
a
b
请同学们思考？
图2-1
力的投影——性质
力的投影性质
性质
具体内容
投影
Y
为零性
力垂直坐标轴，α＝90°
FX=0
X
｜FX｜=F
等值性 力平行坐标轴，α＝0°或180°
Fx=±Fcosα
Fy=±Fsinα
力平行移动，α、F不变
F 、F 不变
不变性
X
Y
图２-2
思路
关键点
A
作直角三角形
作力F为斜边的直角三角形，
Y
F
投影的指向与坐标轴的正方向相
FY
判别“±”号
计算力的投影
同时为“+”，反向为“-”。
α
B
Fx
X
Fx=-Fcosα
Fy=-Fsinα
图２-4 力的投影计算思维导图
图２-3
力的投影——计算：基本训练
例2-1：如图2-5所示，已知各力均为10kN，计算各力在X、Y轴上的投影。
解：
F1x
F1x=－10×sin30°= －5kN
Y
F1y=10×cos30°=8.66kN
30° F1y
F1
F2
F2x=－10kN
F2x
F =0
2y
F3x=－10×cos45°= －7.07kN
F3x
X
F4x
4
F3y= －10×sin45°= －7.07kN
45°
3
135°
F3y
F4y
4
F3
F4
F =10×cosα =10× =8kN
5
4x
4
α
3
3
F = －10×sinα=－10 × =－6 kN
5
5
4y
图2-5
力的投影——计算：拓展训练
例2-2：如图2-6所示，力F作用于O点，其投影为F =20kN，F =－20kN，试求出该力F。
X
Y
解：（1）力F的大小：
Y
2
2
2
2
F = F + F = 20 + (-20) = 28.28kN
X
Y
X
FX
（2）力F的方向：
O
α
F - 20
|=| |=1
tana =|
Y
FX
20
FY
F
a = 45° 第四象限
图2-6
力的投影——小结
X
F
α
1.定义（看图说意）
Y
（1）FX=±Fcosα
（2）FY=±Fsinα
（α：为力F与X坐标轴的夹角，
且0≤α≤90°。）
力的投影
2.计算公式
（1）为零性
3.三性质
（2）等值性
（3）不变性
平面汇交力系平衡问题的求解——平面力系分类:按力作用线分类
FRCB
FAX
平面力系是各力作用线都在同一平面内的力系。
F1
F2
FAY
1.平面汇交力系：各力作用线全部汇交于一点的平面力系，如图2-7a。
2.平面平行力系：各力作用线相互平行的平面力系，如图2-7b。
3.平面一般力系：各力作用线既不全汇交一点，也不全相互平行的平面力系，如图2-7c。
FT
C
F
FRCB
FTCB
FAX
FAY
FTCA
FYA
FNB
F1
F2
(b)
(a)
(c)
图２-7
平面汇交力系平衡问题的求解——平衡条件、平衡方程
平衡方程
平衡条件
FT
F =0
∑FX=0
力的平行 二力平
合力投
RX
FR=0
（合力为零）
四边形法则 衡公理
F =0 影定理 ∑ F =0
RY
Y
FT3
图２-8 汇交力系平衡问题演绎图
平面汇交力系的平衡条件：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
∑FX=0
平面汇交力系的平衡方程：
∑ FY=0
平面汇交力系平衡问题的求解——解析法：思路及关键点
思路
关键点
研究对象：力汇交点
未 知 力：设正法
选研究对象，画受力图
选择坐标轴，列平衡方程 未知力：落在坐标轴上
求解未知力，标实际受力 实际受力：拉力、压力
图２-9 汇交力系平衡问题求解思维导图
平面汇交力系平衡问题的求解——解析法：工程应用
例2-3：如图2-10a所示，起吊构件情形，已知W=10kN，α=45°，求构件匀速上升时钢丝绳的拉力。
Y
解：取吊钩C为研究对象，画出受力图，
建立坐标轴如图2-10 (b)所示，
FT
C
由汇交力系平衡方程得到：
45°
45° X
SF = 0， F cos 45°- F cos 45° = 0
X
TBC
TAC
FTBC
FTAC
SF = 0， - F sin 45°- F sin 45°+ F = 0
Y
TBC
TAC
T
(a)
(b)
把FT=W =10k N代入解得：
W
10
图２-10
F = F =
=
= 7.07kN（拉力）
TAC
TBC
2 sin 45° 2 0.70 7
[问题探讨] ：
吊装时，如果钢丝绳与水平线的夹角变小，钢丝绳受到的拉力怎样变化？
平面汇交力系平衡问题的求解——解析法：工程应用
例2-4：如图2-11a所示为三角形支架，已知W=10kN，求AC、BC两杆受到的作用力。
解法一：取铰C点为研究对象，画出受力图，
Y
FRAC
60°
建立坐标轴如图2-11(b)所示，
由汇交力系平衡方程得到：
C
30°
X
SFX = 0，
－F .cos60°－F . cos30 °＝0
RAC
RBC
FRBC
FT
SF = 0， F .sin60°－F . sin30°－F ＝0
RAC
RBC
T
Y
(a)
(b)
把FT=W =10k N代入解得：
FRAC = 8.66kN（拉力）
图２-11
FRBC = -5kN（压力）
平面汇交力系平衡问题的求解——解析法：工程应用
解法二：取铰C点为研究对象，画出受力图，
建立坐标如图2-12(b)所示，
Y
FRAC
由汇交力系平衡方程得到：
X
SFX = 0，
SFY = 0，
- F - F cos 60° = 0
C
RBC
T
FRBC60°
F - F sin 60° = 0
FT
RAC
T
把FT=W =10k N代入解得：
(b)
(a)
图２-12
F = -5kN（压力） F = 8.66kN（拉力）
RBC
RAC
本题通过选择坐标轴与未知力平行或垂直，可简化平衡方程及解题过程。
平面汇交力系平衡问题的求解——几何法：合成法
例2-5：用几何法求图2-13(a)所示AC、BC两杆受到的作用力。
合成法：将未知力合成合力与已知力组成一对平衡力，通过计算
解法1
FR
30°
C
求得未知力的方法。
取铰C为研究对象，铰C点受到向下拉力F 及两杆作用力F 、
FRAC
60°
FRBC
T
RAC
F 作用，图2-13(b)将F 、F 合成一个合力F ，与F 组成
RBC
RAC
RBC
R
T
平衡力，且F =F =W=10KN，通过直角三角形计算公式解得：
FT
R
T
F = F cos 30° =10 0.866 = 8.66kN（拉力）
(b)
RAC
R
(a)
F = F sin 30° =10 0.5 = 5kN（压力）
图２-13
RBC
R
平面汇交力系平衡问题的求解——几何法：分解法
例2-6：用几何法求图2-14(a)所示AC、BC两杆受到的作用力。
分解法：将已知力按未知力方向进行分解成二个未知力，
解法2
通过计算求得未知力的方法。
C
取铰C点为研究对象，铰C点受到的向下拉力FT，根据作用效果
将F 分解成离开AC杆的拉力F 和指向CB杆的压力F ，如
FRBC
60°
30° FRAC
T
RAC
RBC
图2-14(b)，且FT=W=10KN，通过直角三角形计算公式解得：
FT
(b)
F = F cos 30° =10 0.866 = 8.66kN（拉力）
(a)
RAC
T
F = F sin 30° =10 0.5 = 5kN（压力）
图２-14
RBC
T
平面汇交力系平衡问题的求解——小结
1.平衡条件：
合力FR为零
∑ FX=0
∑ FY=0
（可求解2个未知数）
2.平衡方程
平面汇交力系平衡问题
（1）解析法：平衡方程法
3.求解方法

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