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(共22张PPT)
平面一般力系平衡问题
的求解——基本计算
平面一般力系平衡问题的求解——平衡条件、平衡方程
平衡条件
平衡方程
表达式
表达式
SFX = 0
SFY = 0
各力在x、y轴上的
投影代数和为零
F′R=0
不能移动
F′R
平移
合成
平衡
条件
∑M
各力对任一点的
力矩代数和为零
SMO = 0
平面一般力系
不能转动
图2-33 平面一般力系平衡问题演绎图
平面一般力系平衡问题的求解——平衡方程：三种形式
方程类型
基本形式
方程式
限制条件
SFX = 0
SFY = 0
SM O = 0
无
SFX = 0
SM A = 0
A、B二点连线不垂直X轴
二力矩式
三力矩式
SM B = 0
SM A = 0
SM B = 0
SMC = 0
A、B、C三点不共线
平面一般力系平衡问题的求解——思路及关键点
思路
关键点
研究对象：构 件
未 知 力：设正法
选研究对象，画受力图
矩心：取未知力的交点
方程：多用力矩方程
选适当矩心，列平衡方程
求解未知力，标实际受力
校核验算
杆件：受拉、受压
支座反力：标箭头
SF = 0
常用

Y
图2-34 一般力系平衡问题的求解思维导图
平面一般力系平衡问题的求解——基本计算
例2-13，如图2-35(a)所示为某框架结构中的阳台挑梁、已知q=28kN/m，F=20kN，求挑梁根
部A处约束力。
解：选挑梁AB为研究对象，受力图如图2-35(b)所示，
由一般力系平衡方程得到：
SFX = 0
SFY = 0
FAX = 0
FAY -qL- F = 0
L
SMA = 0
M - qL - FL = 0
eA
(a)
(b)
2
图2-35
F = 0 F = 66kN（ ） M = 76kN × m
（ ）
AY eA
解得：
AX
平面一般力系平衡问题的求解——基本计算
例2-14：如图2-36(a)所示为刚架受力图，已知q=10kN/m，F=8kN，求A、B处支座反力。
解：取刚架AB为研究对象，受力图如图2-36(b)所示，
由一般力系平衡方程得到：
SF = 0 F cos 60°+ F = 0
X
AX
SM = 0 - F cos 60° 2-q 2 1+ F 2 = 0
A
NB
SM = 0 -F 2-Fcos 60° 2+Fsin 60° 2+q 2 1=0
E
AY
解得：
F = -4kN（ ） F =14kN（ ） F =12.93kN（ ）
AX
NB
AY
(a)
(b)
SF = F + F -q 2- F sin 60°
校核计算：
Y
AY
NB
图2-36
=12.93+14 -10 2 -8 0.866 = 0
计算正确
平面一般力系平衡问题的求解——小结
（1）基本形式
1.平衡方程
（2）二力矩式 可求3个未知力
（3）三力矩式
一般力系
平衡问题
2.求解方法：平衡方程法（常用二力矩式）
平面一般力系平衡问题
的求解——叠加法
平面一般力系平衡问题的求解——叠加法：简化计算
叠加法：运用叠加原理计算梁支座反力的方法称为叠加法。
叠加原理：由几组荷载共同作用引起的支座反力等于荷载单独作用时产生的支座反力的代数和。
(1)对角分配法
(2)杠杆平衡法
(3)转盘平衡法
F
FAY
FNB
（b）
（c）
（a）
2-37
Me
F
F = （ ）
a
F = b（ ）
AY
F = F（ ）
L
AY
L
AY
L
a
Me
F
F = (1+ )F（ ）
F = （ ）
F = a（ ）
NB
NB
NB
L
L
L
平面一般力系平衡问题的求解——叠加法：求简单梁的支座反力
例2-15：用叠加法计算图2-38(a)所示外伸梁的支座反力。
荷载
+
分解
(b)
(c)
(a)
支座反力12
12
支座
反力
6 2 1
2 = 4kN( )
4 = 8kN( )
= 2kN( ) 2+ 6 2 =14kN( )
8-2=6kN(↑) 4+14=18kN(↑)
6
6
6
叠加
图2-38 叠加法求梁支座反力
平面一般力系平衡问题的求解——叠加法：求简单梁的支座反力
例2-16：用叠加法计算图2-39(a)所示外伸梁的支座反力。
12KN
12KN
6KN.m
6KN.m
荷载
分解
+
FAY1
FNB1
(a)
(b)
(c)
支座
反力
6
6
6
6
12 2
支座反力
叠加
=1kN( )
=1kN( )
= 4kN( ) 4 +12 =16kN( )
-1- 4 = -5kN( ) 1+16 =17kN( )
6
图2-39 叠加法求梁支座反力
平面一般力系平衡问题的求解——叠加法：求简单梁的支座反力
例2-17：用叠加法求图2-40(a)所示外伸梁的支座反力。
32KN
16kN.m
16kN.m
12KN
12KN
4kN/m
4kN/m
A
A
荷载
分解
A
+
+
A
C
B
B
B
C
B
C
C
FNB2
FAX
=
+
+
FAY1 (b)
FAY2
FAY3
F
NB3
FNB1
(c)
(d)
FAY
FNB
(a)
图2-40 叠加法求梁支座反力
解：把组合荷载分解成图示三个简单的荷载，利用叠加法求解如下：
FAX = 0
1
16 12 2
F = 4 8- -
=11kN（ ）
AY
2
8
8
1
16 12 2


F = 4 8+ +
+12 = 33kN（ ）

÷
NB
2
8
8
è

平面一般力系平衡问题的求解——叠加法小结
思路
关键点
分解
组合荷载
单个荷载
单个荷载：F、q、Me
单个荷载 产生 支座反力
支座反力：基本计算法
FY = F
组合荷载
支座反力
单个荷载
支座反力
Yi
代数和
FN = FNi
图2-41 叠加法求简单梁支座反力思维导图
平面一般力系平衡问题
的求解——提升训练
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：平衡方程的选用
例2-18：如图2-42(a)所示，已知q=10kN/m，求杆件AB作用力及C处约束力。
解法1 取BC杆为研究对象，画出受力图如图2-42(b)所示，
由平面一般力系平衡方程得：
SFX = 0
SMC = 0
SM B = 0
F - F cos 30° = 0
AX
NBA
(a)
-q 4 2+ FNBA 4 sin 30° = 0
- FAY 4+q 4 2 = 0
FRB
FAX = 3 4.6kN（ ）
解得：
FAY = 20kN（ ）
FNBA = 40kN（拉力）
(b)
图2-42
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：平衡方程的选用
例2-19：如图2-43(a)所示，已知q=10kN/m，求杆件AB作用力及C处约束力。
解法2 取BC杆为研究对象，根据三力汇交定理，受力图如2-43(b)所示，
根据平面汇交力系平衡方程可得：
SFX = 0
SFY = 0
解得：
F cos 30°- F cos 30° = 0
(a)
RC
RB
F sin 30°+ F sin 30°- q 4 = 0
RC
RB
FRB
FRB = 40kN（拉力）
FRC = 40kN
（
FRC
30°）
(b)
图2-43
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：平衡方程的选用
例2-20，如图2-44(a)所示为简单拔桩装置，绳ED、BC分别与水平、垂直夹角为α，绳DB、BA
分别为水平与垂直方向，A为桩，已知α=0.1rad，在D处向下拉力F=1kN，求绳AB作用于桩上的拉力。
解法1 (1) 取D点为研究对象，其受力图如图2-44(b)所示，
由汇交力系平衡方程得：
SFX = 0
SFY = 0
F - F cosa = 0
TDB
TDE
- F + FTDE sina = 0
(a)
解得： FTDB = Fc tana
(2) 取B点为研究对象，其受力图如图2-44(c)所示，
由汇交力系平衡方程得：
FTDB
SFX = 0
SFY = 0
F sina - F = 0
TBC
TBD
F cosa - F = 0
(b)
TBC
TBA
(c)
把 FTDB = Fctana代入解得
180
图2-44
2
2
F = Fc tan a =1 ctan (0.1
) =100kN(拉 力)
TBA
3.14
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：平衡方程的选用
例2-21：如图2-45(a)所示为简单拔桩装置，绳ED、BC分别与水平、
垂直夹角为α，绳DB、BA分别为水平与垂直方向，A为桩，已知
α=0.1rad，在D处向下拉力F=1kN，求绳AB作用于桩上的拉力。
解法2: 取绳BD为研究对象，画出受力图如图2-45(b)所示，
由一般力系平衡方程得：
SM = 0 F L ctana - F L tana = 0
H
Hk
TBA
Hk
180
2
2
F = Fc tan a =1 c tan (0.1 ) =10 0kN（拉力）
解得：
TBA
3.14
图2-45
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：物体系统的平衡
例2-22：如图2-46(a)所示，求A、C、E的支座反力。
16kN.m
12kN
4kN/m
解：1）取DE为研究对象，受力图如2-46(b)所示，由平面一般力
A
E
B
C
系平衡方程得：
D
3m
3m
2m
4m
∑M =0 － × ×
4 4 2 + F
×
解得：FNE=8KN(↑)
2=0
D
NE
(a)
4kN/m
FDX
2）取整体为研究对象，受力图如2-46(C)所示，由平面一般力
E
D
系平衡方程得：
FDY
FNE
4m
SFX = 0
F =0
(b)
AX
12kN
SM A = 0
－12×3 + F ×6+16－4×4×10+F ×12=0
NC
NE
16kN.m
4kN/m
FAX
A
E
－F ×6 + 12×3+16－4×4×4+F ×6=0
SMC = 0
AY
NE
B
C
FNE
D
FNC
FAY
FNC=14KN(↑)
把F =8KN代入解得： F =6KN(↑)
3m
3m
2m
4m
NE
AY
(C)
故A、C、E的支座反力：F =0；F =6KN(↑)
AX
AY
图2-46
FNC=14KN(↑)
FNE=8KN(↑)
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：物体系统的平衡
例2-23：如图2-47(a)所示，已知Me=4Fa，求A、B支座反力。
解：取整体为研究对象，因BC杆为二力杆、F 与F 构成力偶，
RA
RB
受力图如图2-47(b)所示，由平面力偶系平衡方程得：
SMei = 0
- M + F 2a = 0
(a)
e
RA
把Me=4Fa代入解得：
FRA = 2 2F
（
（
）
45°
FRB = 2 2F
）
45°
(b)
图2-47
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：物体系统的平衡
例2-24：如图2-48(a)所示，已知q=10kN/m，求A、B支座反力及铰C处的约束力。
解：1.取整体为研究对象，其受力图如图4-8(b)所示，
根据对称性得：FAX = FBX
1
F = F = 10 12 = 60kN（ ）
AY
BY
2
2.取AC杆件为研究对象，其受力图如图2-48(c)所示，
(a)
F －q×6+F ＝0
列平衡方程：SFY = 0
AY
CY
- q 6 3+ FCX 4 = 0
SM A = 0
SM = 0 - F 6+ F 4+q 6 3= 0
C
AY
AX
FAX = 45kN（ ）
F = 0
解得： FCX = 45kN
CY
F = F = 4 5kN( )
BX
AX
(b)
FAY = 60kN（ ）
FBY = 60kN（ ）
(c)
故A、B处支座反力为：FAX = 45kN（ ）
FBX = 45kN（ ）
图2-48
C处约束力为： F = 45kN F = 0
CX
CY
平面一般力系平衡问题的求解——提升训练：小结
平面力偶系
抓住关键
把握重点
∑Mei=0
平
X 面
平
面
平
行
力
系
∑F =0
∑FY=0
∑MA=0
一
∑MA=0
平衡方程
般
力
系
∑MB=0
∑FX=0
∑FY=0
灵活运用
平面汇交力系
图2-49 平面一般力系平衡问题求解的思维导图

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