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2023-2024 学年第二学期福州市部分学校教学联盟期中联考
数学试题参考答案及评分标准
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答
科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题所给出的的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C C C B
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。每小题有多个选项是符合题目要求的，全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。）
注意：全部选对的得 3分，选对一个得 2分，选对两个得 4分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BCD ACD ACD
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。）
1 9
12．2 13． 4,0 14． ,
2 16
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本题满分 13分，第一小题 6分，第二小题 7分）
2 6
3 i 1 3i
解：（1） i2021 ( 2 2i)8
1 3i 1 3i
=i+16(1 i)8 i2 ( 1 3i )6
2
i 16( 1 3i 2i)4 1 ( )3
2
i 256 1 1 256 i；
（2）由 x2 xi m (2 3i) 0
设m bi（b 0），
可得 x2 3b (x 2b)i 0 ，
3
x2 3b 0 x 2 x 0
，可得x 2b
或 （舍）
0 b 3 b 0
4
3
所以纯虚数m = - i .
4
1
{#{QQABKQaQggCAAJIAABgCEQEQCACQkAACAAoOgEAIMAAByBNABAA=}#}
16．（本题满分 15分，第一小题 6分，第二小题 9分）
解：（1）因为acos B C acos B C 2 3csinBcosA
所以 acosBcosC asinBsinC a cosBcosC sinBsinC 2 3csinBcosA ，.
即 asinBsinC 3csinBcosA，由正弦定理得 sinAsinBsinC 3sinCsinBcosA，
显然sinC 0,sinB 0，所以 sinA 3cosA，所以 tanA 3，
π π
因为 A 0, ，所以 A
2 3
.
a b c
a b c 4
（2）由正弦定理得 4 sinA sinB π sinA sinB sinC ，即 sin π
，
B
3
则b 4sinB,c 4sin
B π ,
3
.

a π b c 2 3 4sinB 4sin B 3
2 3 4sinB 4 sinBcos
π
cosBsinπ
3 3
2 3 4 3sin B π 6 ，.

0
π
B
2 π π π 2π
因为 ，解得 B
π
B ,
2π π ，得6 2 6 3 3
，
0 B
3 2

所以sin
B π 3

,16 2 ，
得 a b c 6 2 3,6 3 .
17．（本题满分 15分，第一小题 4分，第二小题 5分，第三小题 6分）
解：（1）
如右图所示，
BAC 30 ， ABC 60 ， AB 30，
AC BD时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为 AC ABcos30 15 3海里，
15 3
海轮航行的距离为 BC 15海里，故航行时间为 小时，
20 4
v 15 3 3 20 3所以小艇的航行速度 海里/时；
4
（2）如图所示，
设小艇与海轮在点D处相遇，
经过 2小时后海轮航行的里程为 20 2 40海里，
即 BD 40，
2
{#{QQABKQaQggCAAJIAABgCEQEQCACQkAACAAoOgEAIMAAByBNABAA=}#}
则在△ABD中，由余弦定理得 AD2 AB2 BD2 2AB BD cos ABD 302 402 2 30 40cos60 1300 ，
所以小艇航行的里程 s AD 10 13海里，
s
故小艇的航速v 5 132 海里/时；
（3）如图所示，
因为 AC BC，且小艇的最高航速为10 6 海里/时，
AC 3 2
BC 3 3 2， ，故小艇与海轮不可能于 B，C及之间的任意位置相遇，
10 6 4 20 4 4
CAD 0 设在D点相遇， 2
，

AD 15 3则 ， BD 15 15 3tan ，
cos
15 3 15 15 3tan
，
vcos 20
v 20 3 20 3 10 6
整理得 cos 3sin 2sin ， 6
2 π π 3π
从而 sin

，所以 ，
6 2 4 6 4
,

12 2 ，
故

时，即 cos cos



cos
cos sin sin 1 2 3 2 2 6 ，相遇时间最短，
12 12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4
t 15 3
3 3 1
为
10 6 6 2
2 小时，
4
π 180 3 3 1
综上当小艇的航行方向为北偏西 15 ，航速为10 6 海里/时，小艇能以最短时间 小时
12 π 2
和海轮相遇.
18．（本题满分 17分，第一小题 4分，第二小题 5分，第三小题 8分）
（1） f x 2 sin x cosx 2 cos 2x 2
2
2 sin2x 2 1 cos2x 2
2 2 2
2
sin2x 2 cos2x sin 2x
π

2 2 4
3
{#{QQABKQaQggCAAJIAABgCEQEQCACQkAACAAoOgEAIMAAByBNABAA=}#}
π
令 2kπ 2x
π π
2kπ k Z
2 4 2 ，
π kπ x 3π得 kπ k Z
8 8
∴函数 f x
π 3π
的单调递增区间为 kπ, kπ

k Z 8 8
π π
（2） g x f x f x f x f

x

4 4
sin 2x π π π π 4
cos 2x sin 2x 4 4
cos 2x
4
令 sin
π π
2x cos 2x

t t 2sin2x 2, 2 ，
4 4
sin 2x π cos 2x π t
2 1
则
4 4 2
g x 1 h t t 2 t 1 1 t 1 2 1
2 2 2
2
可得，当 t 1即 sin2x 时， g x 1
2 max
；
当 t 2即 sin2x 1时， g x 2
1

min 2
∵存在 x1, x2 R，对任意 x R ，有 g x1 g x g x2 恒成立，
∴ g x1 为 g x 的最小值， g x2 为 g x 的最大值，
∴ sin2x1 1， sin2x
2
2 ，2
2x 2x 3π 3π 3π∴ 1 2 min 2 4 4 ，
x 3π∴ 1 x2 min .8
2 π π
（3）令F x f x a f
x 2 3 0，
8 8
2 sin22x 4 7
方程可化为a sin 2x 3 7 sin2 x 2 4，
sin2x 2 sin2x 2 sin2x 2
7
令 sin2x 2 m m 1,3 ，则 a 4 m m 1,3 ，
m
当 a 4 8时，m 1， sin2x 1，此时函数 F x 在 0,nπ n N 上有n个零点，
∴ a 4，n 2023适合题意；
a 4 16当 ,
11 11
,8

时，m在 1, 2
2, 7
3 2 2 3 内有一解，
1
sin2x在 1,0 或 0, 内有一取值，则此时函数 F x 在 0,nπ n N 上有2n3 个零点，不适合题意；
11
当 a 4 时，m 2,sin2x 0，此时函数 F x 在 0,nπ n N 上有 2n 1个零点，2
3
∴ a ，n 10122 适合题意；
4
{#{QQABKQaQggCAAJIAABgCEQEQCACQkAACAAoOgEAIMAAByBNABAA=}#}
a 4 16 7 1当 时，m 3或 ， sin2x 1或 ，则此时函数 F x 在 0,nπ n N 3 3 上有3n个零点，不适合题意；3
当a 4

2 7,
16 7
时，m在 , 7
7,3 1 和 内各有一解， sin2x 在 , 7 2 3 3 3 和 7 2,1 内各有一取值，
则此时函数 F x 在 0,nπ n N 上有4n个零点，不适合题意；
当 a 4 2 7时，m 7， sin2x 7 2，则此时函数 F x 在 0,nπ n N 上有2n个零点，不适合题意.
3
综上所述， a 4，n 2023，或 a ，n 10122 .
19．（本题满分 17分，第一小题 4分，第二小题 4分，第三小题 9分）
2 2 2
2
解：（1）由正弦定理得 2bcsinA 3 b c2 a2 sinA 3·b c a即
2bc
由余弦定理有 sinA 3cosA，若cosA 0，等式不成立，则 cosA 0，所以 tanA 3，
π
因为 A 0, π ，所以 A 3 .

（2）①设 a x1, y1 ,b x , y a

2 2 ，由 b | a || b | cos a
,b ，得 | a b | | a ||b |，
2
从而 x1x2 y
2
1y2 x1 y
2
1 x
2 2
2 y2 ，即 x1x2 y y 2 21 2 x1 y1 x22 y22
AB 4 BC AC
T c 4a b c
2 4a2 b2
② PD PE PF PD PE PF c PD a PE b PF .
S 1又 PAB c PD ,S
1 1
PBC a PE ,S PAC b PF ,S PAB S PBC S2 2 2 PAC
S ABC ,
c PD a PE b PF 2S ABC .
c2 4 22 b2 (b c 4)2 2(b c 4)2
由三维分式型柯西不等式有T c PD a PE b PF 2S .ΔABC 3bc
1 2 1
当且仅当 PD PE PF 即 PE 2 PD 2 PF 时等号成立.
2
由余弦定理 a2 b2 c2
(b c) 4
2bccosA得 4 b2 c2 bc，所以 (b c)2 4 3bc即bc ，
3
2(b c 4)2 2 3(b c 4)2 T 2 3t
2 2 3
则T ，令 t b c 4 ，则 2 12 8 .
3bc (b c)2 4 (t 4) 4 t 2
1
t
2 2
bc
(b c) 4 b c

因为 3 2 ，得 2 b c 4 ，当且仅当b c时等号成立，

b c a 2
1 1 1
所以6 t 8，则 ，
8 t 6
12 8 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1
令 y 2 1 12 ；则 y 12 t t t 3 3 t 3
在 t
,
8 6 上递减， 3
1 1 y 3当 即b c 2 32 3时， 有最大值16，此时T有最小值 .t 8 3
5
{#{QQABKQaQggCAAJIAABgCEQEQCACQkAACAAoOgEAIMAAByBNABAA=}#}2023-2024 学年第二学期福州市部分学校教学联盟期中联考
考试时间：4 月 17日 完卷时间：120分钟 满分：150 分
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题所给出的的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的）
5
1．复数 z 1 2i（
i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列结论正确的是（ ）
A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形
B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

3．在平行四边形 ABCD中，点 P是线段 AC上一点，且满足 AP 2PC，点 E是边BC的中点，则 PE （ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A． AB AD B． AB AD C． AB AD D． AB AD
3 6 6 3 6 3 3 6
4．cos10 cos20 cos80 cos70 等于（ ）
3 3 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
5．若 sin(
π 3 5π ) ，则 cos( ) （ ）
6 5 3
4 4 3 3
A． 5 B．

5 C．
- D．
5 5
6．如图所示，梯形 A B C D 是平面图形 ABCD用斜二测画法得到的直观图，
A D 2B C 2， A B 1，则平面图形 ABCD的面积为（ ）
A． 2 B．2 2 C．3 D．3 2
7．原核生物大肠杆菌会导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状。已知大肠杆菌是以简单的二分
裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为 2个）需要约 24 分钟，那么在适宜条件下 1个
大肠杆菌增长到 1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据： lg2 0.3）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
8．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 B在同一平面内的两个
观测点 C与 D，现测得 CDB 37 ， BCD 68 ，CD 37.6米，在点 C处测得塔顶 A
的仰角为64 ，则该铁塔的高度约为（ ）
（参考数据： 2 1.4， 6 2.4， tan 64 2.0， cos37 0.8）
A．42 米 B．47 米 C．38 米 D．52 米
数学试卷 第 1 页 （共 4 页）
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二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。每小题有多个选项是符合题目要求的，全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。）
9．已知函数 f x Asin x A 0, 0,
π

2 的部分图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
π 1
A．若 x ,0 ，则函数 f x 的值域为 1, 2 2
π , 0 B．点 是函数 f x 3 的图象的对称中心
π
C．函数 f x 在区间 ,02 上是增函数
π
D．将函数 f x 的图象向右平移12个单位长度后形成偶函数
10．复数 z 1 2i（ i为虚数单位）， z 为 z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A． z z 5 B． z 的虚部为 2i
C．复数 z是方程 x2 2x 5 0的一个虚根 D．若复数 z1满足 z1 1，则 z z1 5 1max
1 2 3 2
11．已知 a,b均为正数，且满足 a ,b ，则下列各选项正确的是（ ）
a b a b
a b 4 a b 2 2A． B．ab 3 2 C． D．a2 b2 3 2 6
ab 2
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。）

12．已知向量 a 1, 2 ，b m, 4 ，则 a 2b ∥ 2a b ，则实数m .

13．已知 a 6，b (3, 0)， a b 12，则a在b 方向上的投影向量是 .

x
1
,0 x 1
14．已知函数 f (x)
x
，若存在0 a b 24 ，使得
f x 在 a,b 上单调，且 f x 在 a,b 上的
x 5,1 x 2
x
值域为 ma,mb ，则 m的取值范围为 .
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13 分）
2 6
2021 （1）计算 i ( 2 2i)8
3 i 1 3i
1 3i
；
1 3i
（2）已知关于 x的方程 x2 xi m (2 3i) 0 有实数解，求纯虚数m.
数学试卷 第 2 页 （共 4 页）
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16．（15 分）
已知锐角 ABC的内角 A,B,C，所对的边分别为 a,b,c，且acos B C acos B C 2 3csinBcosA.
(1)求角A；
(2)若a 2 3，求 ABC的周长的取值范围.
17．（15 分）
位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏
东30 且与该港口相距30海里的 B处，并正以 20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线
方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与海轮相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？
(2)若经过 2小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？
(3)假设小艇的最高航行速度只能达到10 6 海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大
小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.
18．（17 分）
已知函数 f x 2 sin x cosx 2 cos 2x 2 .
2
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
g x f x f x π π(2)若 f x f x ，存在 x1, x2 R，对任意 x R ，有 g x1 g x g x2 恒成立，
4 4
求 x1 x2 的最小值；
2 π π
(3)若函数F x f x a f x 2 3在 0,nπ n N 内恰有 2023 个零点，求 a与n的值.
8 8
数学试卷 第 3 页 （共 4 页）
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19．（17 分）
在 ABC中， A, B, C对应的边分别为 a,b,c, 2sinAsinBsinC 3 sin2B sin2C sin2A
(1)求A；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy，1789 年-1857 年），法国著名数学家．柯西在
数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公
式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
2
①用向量证明二维柯西不等式： x1x2 y1y2 x2 y2 x2 21 1 2 y2
2 2
y , y , y R , x1 x2 x
2
3 x1 x
2
②已知三维分式型柯西不等式： 2
x3 x1 x2 x3
1 2 3 ，当且仅当 y y y y
时等号成
1 y2 y3 y1 y2 y3 1 2 3
AB 4 BC AC
立．若a 2,P是 ABC内一点，过 P作 AB,BC , AC垂线，垂足分别为D,E,F，求T PD PE PF 的最
小值．
数学试卷 第 4 页 （共 4 页）
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