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霍邱县2023—2024学年度九年级模拟考试数学试卷
温馨提示：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120 分钟．
2．本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．“试卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列选项中，比小的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a3÷（﹣a2）＝﹣a B. （a+1）2＝a2+1
C. （﹣2a）2＝﹣4a2 D. a2+a＝a3
3. 预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为（ ）
A. 3.85×106 B. 3.85×105 C. 38.5×105 D. 0.385×106
4. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）
A. B. C. D.
5. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，直线，，，那么度数是（ ）
A B. C. D.
7. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法正确的是（　　）
A. 方差是3.6 B. 众数是10 C. 中位数是3 D. 平均数是6
8. 如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：________．
12. 分解因式：=____.
13. 如图，将圆形纸片折叠后，弧恰好经过圆心O，则的度数为_______．
14. 已知抛物线 ，其中为实数．
（1）若抛物线经过点，则_____________；
（2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式.
16. 观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：_______________；
（2）写出第个等式：________________，（用含代数式表示）并证明．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形．
（2）以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，请画出．
18. 合肥徽园，融省内各地精粹，成“安徽之窗”．徽园最大特色，就是不出合肥，看遍安徽．徽园景区中振风塔，可不是安庆迎江寺内的那个，而是景区仿照安庆振风塔设计建造的，春季，杨柳依依，远远望去，确有几分相似之处．
活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到，参考数据：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．
（1）求，及点坐标；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）若是轴上一点，且满足的面积等于，求点坐标．
20. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21. 为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：
分组 时间x（时） 人数
A 5
B 16
C a
D b
E 4
（1）分别写出a、b的值并补全条形统计图；
（2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人
（3）学校需要深入了解影响作业时间因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少
七、（本题满分12分）
22. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，且点E在线段上，连接．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）连接，当为等腰直角三角形时，求的值．
八、（本题满分14分）
23. 如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）当时，二次函数的最大值是15，求a的值；
（3）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？霍邱县2023—2024学年度九年级模拟考试数学试卷
温馨提示：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120 分钟．
2．本试卷包括“试卷”和“答题卷”两部分．“试卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列选项中，比小的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小是解题的关键．
根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．
【详解】解：，
比小的数是，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. a3÷（﹣a2）＝﹣a B. （a+1）2＝a2+1
C. （﹣2a）2＝﹣4a2 D. a2+a＝a3
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的运算规则计算各选项结果是否正确即可．
【详解】A、原式＝﹣a，符合题意；
B、原式＝a2+2a+1，不符合题意；
C、原式＝4a2，不符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的运算规则是解题的关键．
3. 预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为（ ）
A. 3.85×106 B. 3.85×105 C. 38.5×105 D. 0.385×106
【答案】B
【解析】
【分析】先将385000写成a×10n，其中1＜|a|＜10，n为将385000写成a小数点向左移动的位数．
【详解】解：385000=3.85×105．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n、确定a和n的值是解答本题的关键．
4. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从物体左面看，左边2个正方形，右边1个正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
5. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程判别式时，方程没有实数根，列不等式求出的取值范围，即可得答案．
【详解】解：∵关于的方程没有实数根，
∴，
解得:，
∴个选项中，只有D选项符合题意，
故选：D．
6. 如图，直线，，，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法正确的是（　　）
A. 方差是3.6 B. 众数是10 C. 中位数是3 D. 平均数是6
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
【详解】解：平均数为；
方差为；
数据中5出现2次，所以众数为5；
数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
8. 如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点作于点，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过点作于点，
平分，
，
又，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解答本题的关键．
9. 已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a，b，c和0的大小关系，从而判断二次函数的图像走向即可.
【详解】一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限
，，
二次函数的图像开口向上，与y轴交于正半轴，，对称轴在y轴左侧
其中一个交点的横坐标为
，即
二次函数的图像与x轴有一个交点为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断a、b、c和0的大小关系；得到三者的相关特性是判断二次函数图像走势的关键.
错因分析 中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限得出a、b、c和0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为 得出a、b、c三者之间的关系.
10. 如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键．
连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值．
【详解】解：如图所示，
连接交于O，以，邻边作平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
即的最小值是
故答案为：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：________．
【答案】##1.5##
【解析】
【分析】原式根据算术平方根的意义以及零指数幂的运算法则化简各数后，再进行加法运算即可．
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根以及零指数幂的运算，熟练掌握算术平方根的意义以及零指数幂的运算法则是解答本题的关键．
12 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】．
故答案为：
13. 如图，将圆形纸片折叠后，弧恰好经过圆心O，则的度数为_______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，解直角三角形，设点的对称点为，连接，交与点，根据折叠的性质，得到垂直平分，得到，等边对等角，求出的度数即可．
【详解】解：设点的对称点为，连接，交与点，
由折叠的性质可知：垂直平分，
∴，
由题意，得：，
在中，，
∴，
∴，
∴的度数为；
故答案为：．
14. 已知抛物线 ，其中为实数．
（1）若抛物线经过点，则_____________；
（2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为__________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
（1）将点代入解析式求解即可；
（2）将代入抛物线，可得，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进行讨论分析求解即可．
【详解】解：（1）将点代入解析式可得：
，
解得：，
故答案是：5；
（2）将代入抛物线，
可得，则，
∵抛物线与线段有交点，
∴在对称轴上，在对称轴右侧．
当时，如图所示：
，
此不等式无解；
当时，如图所示：
，
解得：，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式.
【答案】x>2
【解析】
【分析】先去分母、去括号、移项得到2x-3x<6-8，然后合并后把x的系数化为1即可；
【详解】去分母得2(4+x) 6<3x，
去括号得8+2x 6<3x，
移项得2x 3x<6 8，
合并得 x< 2，
系数化为1得x>2；
故答案为x>2
【点睛】此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键
16. 观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：_______________；
（2）写出第个等式：________________，（用含代数式表示）并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后利用分式的混合运算法则证明即可．
【详解】解：（1）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
∴第5个等式：；
（2）由题意可得，
第n个等式：，
证明：
=
=
=
=1
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形．
（2）以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，请画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）将点A，B，C分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得，，，顺次连接即得所求；
（2）根据网格图特点，图中，,,,于是,线段绕点C逆时针方向旋转，点A至格点；同理，线段绕点C逆时针方向旋转，点B至格点，即得所求．
【小问1详解】
解：如图，将点A，B，C分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得，，，顺次连接三点得即为所求．
【小问2详解】
解：如图，线段绕点C逆时针方向旋转，点A至格点，线段绕点C逆时针方向旋转，点B至格点，顺次连接，，C得即为所求．
【点睛】本题考查图形平移，旋转，理解平移、旋转的定义及性质是解题的关键．
18. 合肥徽园，融省内各地精粹，成“安徽之窗”．徽园最大特色，就是不出合肥，看遍安徽．徽园景区中振风塔，可不是安庆迎江寺内的那个，而是景区仿照安庆振风塔设计建造的，春季，杨柳依依，远远望去，确有几分相似之处．
活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到，参考数据：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．延长交于点，如图，则，，，，设米，先在中，利用正切的定义表示出的长为，再在中利用正切的定义表示出，接着利用列方程，然后解方程求出，最后计算即可．
【详解】解：延长交于点，如图，则，，，
，
设，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
，
解得，
．
答：文峰塔的高度为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．
（1）求，及点坐标；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）若是轴上一点，且满足的面积等于，求点坐标．
【答案】（1），，
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题是一次函数与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，求一次函数图象与反比例函数图象的交点，第（3）关键是根据面积列出方程，利用了数形结合思想．
（1）把点代入即可求得m的值，然后根据待定系数法即可求得a，解析式联立，解方程组即可求得B的坐标；
（2）观察图象即可求得；
（3）设点P的坐标为，根据的面积是5，列出m的方程解答便可．
【小问1详解】
解：一次函数经过点，
，
，
点A在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数为 ，
由题意得 ，
解得 或 ，
的坐标为；
【小问2详解】
解：由图象可知：或；
【小问3详解】
解：设点P的坐标为，
在中， 令， 得，
点D的坐标为，
，
或，
点P的坐标为或.
20. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，只要证明，即可证明是的切线；
（2）作于G，证明，求得，，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可．
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
小问2详解】
解：作于G，则，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
在中，，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图、表：
分组 时间x（时） 人数
A 5
B 16
C a
D b
E 4
（1）分别写出a、b的值并补全条形统计图；
（2）若该校有学生1000人，估计每天完成书面作业的时间不足小时的学生约有多少人
（3）学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少
【答案】（1），，图见解析
（2）人
（3）
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，列表法或树状图法求随机事件的概率，理解频数之和等于样本容量以及列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．
（1）直接由表格中的数据求得a、b的值，据此可补全条形统计图；
（2）根据样本估计总体即可求解；
（3）结合题意画出树形图，可得共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，由此结合概率定义，便可以得到概率．
【小问1详解】
解：由图形知，
则，
补全图形如下：
【小问2详解】
解：(人)，
答：估计每天完成书面作业的时间不足1.5小时的学生约有820人；
【小问3详解】
解：将七、八、九年级的学生分别记作七1、八1、九1、九2，画树形图如图所示：
共有12种等可能情况，其中抽取的两名学生都来自九年级的有2种情况，
∴抽取的两名学生都来自九年级的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，且点E在线段上，连接．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）连接，当为等腰直角三角形时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题考查四边形的综合题，考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质．
（1）由等腰三角形性质及旋转的性质可得，即可得出结论；
（2）根据证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）先证明，可得．再进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
，
∴，
由旋转性质可得：，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴当为等腰直角三角形时，，
，
，
八、（本题满分14分）
23. 如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）当时，二次函数的最大值是15，求a的值；
（3）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论；
（3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
二次函数的对称轴为直线，
把代入得，
点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
∵二次函数对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小
∴二次函数 的最大值是15，即
解得，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵在抛物线上，
∵，
当 时，m的值最小，最小值是 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键．

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