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松北区2024年初中升学调研测试（一）
数学试卷
1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．答题前，考生先将自己的个人信息在答题卡上填写清楚．
3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡上各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效．
4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效．
5．保持答题卡表面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. -4的相反数是（ ）
A B. C. 4 D. -4
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，内接于，是的切线，连接经过点O，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A B. C. D.
7. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
8. 在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个黑球、1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黑球和一个白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ）
A. 乙比甲提前出发 B. 甲行驶的速度为
C 3h时，甲、乙两人相距 D. 或时，乙比甲多行驶
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将数8200000用科学记数法表示为____________．
12. 在函数中，自变量的取值范围是________．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为____________．
14. 计算的结果是____________．
15. 把多项式分解因式的结果是______．
16. 不等式组的解集是____________．
17. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为______cm．
18. 观察下图，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个★．
19. 在中，，，于点D，若，则的长为___________．
20. 如图，在平行四边形中，点E在上，，连接，于点F，交于点G，，，若，则线段的长为___________．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；
（1）画出一个以为一边的，点E在小正方形的顶点上，且；
（2）画出以为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出线段的长．
23. 某学校为了丰富学生课余活动，要开设四种球类的选学课程．为了了解学生最喜欢哪一种球类（每位学生必须选一类，而且只能选一类），随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成了两幅统计图．根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽查了多少名学生？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该学校共有1200人，估计该校有多少名学生最喜欢乒乓球？
24. 已知：四边形中，与交于点O，，，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，过点O作，交于点E，交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段的长度的一半．
25. 某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元
（1）求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？
（2）若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？
26. 在中，是的直径，弦与交于点E，且，点F是弧的中点，连接、，与交于点M．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，过点O作交于点G，连接，交于点N，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．
27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求a、b的值；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点D，设点P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，与交于点E，延长至点F，连接，过点O作，连接，，，连接并延长交于点H，若，求点P的坐标．松北区2024年初中升学调研测试（一）
数学试卷
1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．
2．答题前，考生先将自己的个人信息在答题卡上填写清楚．
3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡上各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效．
4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效．
5．保持答题卡表面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. -4的相反数是（ ）
A. B. C. 4 D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解．
【详解】-4的相反数是4，
故选：C．
【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与合并同类项、完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
根据合并同类项、完全平方公式与幂的乘方、同底数幂的乘法对各选项进行逐一计算即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称；根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【详解】解：俯视图有3列1行，从左到右小正方形的个数是1，1，1，
故选：A．
5. 如图，内接于，是的切线，连接经过点O，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理和切线的性质，连接，可求出，根据等腰三角形的性质可求出，再由圆周角定理可得结论
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴
∴而
∴，
∵
∴
∵所对的圆周角是和，
∴
故选：B
6. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点．根据轴上点的坐标特征把代入，然后计算出对应的的值，即可确定抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：，
令，
所以抛物线与轴的交点坐标为．
故选：D．
7. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，定义新运算，理解新定义运算的规则，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
根据顶角正对的概念，结合等边三角形三边关系即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴是等边三角形，即，
∴，
故选：D ．
8. 在一个不透明的袋中装有4个小球，其中3个黑球、1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出两个小球，则两球恰好是一个黑球和一个白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黑球和一个白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黑球和一个白球的有6种情况，
∴两球恰好是一个黑球和一个白球的概率是：．
故选：A．
9. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
，，故A正确，D错误；
，
，故B正确；
，，
，
，
，故C正确；
故选：D．
10. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ）
A. 乙比甲提前出发 B. 甲行驶的速度为
C. 3h时，甲、乙两人相距 D. 或时，乙比甲多行驶
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，由图象可以直接判断A正确；根据图象可以求出甲车速度，可以判断B正确；求出乙车速度再求乙车走的路程和甲车走的路程即可判断C；分两种情况求出甲、乙走的路程即可判断D．
【详解】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，故A正确；
甲的速度是，故B正确；
乙的速度是，
甲车行走的路程为，
乙车行走的路程为，
∴后甲、乙相距，故C错误；
乙车走了，
甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶，乙走了，
此时甲行走的路程为，
乙车比甲车多走了，故D正确．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将数8200000用科学记数法表示____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：8200000用科学记数法表示为，
故答案为：．
12. 在函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得出，求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
故答案为：．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为____________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．把点代入，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：5
14. 计算的结果是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，化简二次根式．直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
15. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，先正确找出公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 不等式组的解集是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集是，
故答案为：．
17. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为______cm．
【答案】15；
【解析】
【详解】解：根据扇形的弧长公式得：L===10π，解得：r=15．故答案为15．
18. 观察下图，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个★．
【答案】
【解析】
【分析】由图可知第1个图形的★个数有个，第2个图形的★个数有个，第3个图形的★个数有个，第4个图形的★个数有个，…..；由此可知规律为第n个图形的★个数有个，然后问题可求解．
【详解】解：由图可知：
第1个图形的★个数有个，
第2个图形的★个数有个，
第3个图形的★个数有个，
第4个图形的★个数有个，…..；
∴规律为第n个图形的★个数有个，
∴第9个图形的★个数有个；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是得出图形的一般规律．
19. 在中，，，于点D，若，则的长为___________．
【答案】1或3##3或1
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，先判断是等腰直角三角形，再分两种情况，运用勾股定理求出的长即可求出结论．
【详解】解：在中，，，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴；
①如图，
在中，
∴，
∴；
②如图，
∵
∴，
综上，的长为1或3，
故答案为：1或3
20. 如图，在平行四边形中，点E在上，，连接，于点F，交于点G，，，若，则线段的长为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】过点D作交于点H，证明得到即可得，然后证明，设，根据相似的性质和勾股定理可用含x的式子表示的长度，计算即可求解．
【详解】解：过点D作交于点H，如图
，
，
，
设，
，
，
，
，
在中∶，
，
在中∶，
，
，
，，
，
，
，
设则，
，
，
令则，
在中：，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案：2．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质及判定，相似三角形的性质及判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是作辅助线构造全等，证明相似．属于中考常见题型．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查了分式的化简与特殊角的三角函数值的混合运算，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．
可先将此代数式进行化简，再将代入计算即可．
【详解】解：原式
，
．
原式．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；
（1）画出一个以为一边的，点E在小正方形的顶点上，且；
（2）画出以为一腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见详解 （2）见详解；
【解析】
【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定．
（1）以为直角边作等腰直角三角形即可得；
（2）以为一腰的等腰，高为3，依据面积确定为5即可；由勾股定理可得线段的长．
【小问1详解】
解：如图，
，
，
∴是以为腰的等腰直角三角形，
，
故即为所求；
【小问2详解】
如图，，，
，
的面积为，，
故高为3，
故即为所求；
．
23. 某学校为了丰富学生课余活动，要开设四种球类的选学课程．为了了解学生最喜欢哪一种球类（每位学生必须选一类，而且只能选一类），随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成了两幅统计图．根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽查了多少名学生？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该学校共有1200人，估计该校有多少名学生最喜欢乒乓球？
【答案】（1）200名
（2）见解析 （3）300名
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图信息相关联、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据足球的人数和所占的百分比，可以计算出在这次调查中，一共调查了多少名学生；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校最喜欢“乒乓球”的学生有多少名．
【小问1详解】
解：（名），
答：本次调查共随机抽查了200名学生．
【小问2详解】
解：（名），
补图如答图．
【小问3详解】
解：（名），
答：估计该校有300名学生最喜欢乒乓球．
24. 已知：在四边形中，与交于点O，，，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，过点O作，交于点E，交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段的长度的一半．
【答案】（1）见解析 （2）、、、
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质：
（1）根据证明得，证明四边形为平行四边形，再结合可证明四边形为矩形；
（2）证明是等边三角形，可求出即可得出;；再证明可得出，从而可得出结论
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
四边形为矩形．
【小问2详解】
解：、、、．
∵四边形是矩形，
∴且与互相平分，
∴
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴；
又且
∴
∴
∵
∴，
又
∴
∴，
即
25. 某商店购进A、B两种品牌的工具，若购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元
（1）求该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要多少元？
（2）若该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，那么该商店最多可购进B种品牌的工具多少件？
【答案】（1）8元，10元
（2）35件
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
（1）设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元，根据购进A种工具10件，B种工具20件，共需要280元；若购进A种工具15件，B种工具10件，共需要220元，列方程组求解；
（2）设该商店可购进B种品牌的工具m件，根据该商店准备购进A、B两种品牌的工具共60件，且总预算费用不超过550元，列出不等式，然后求出即可．
【小问1详解】
解：设该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要x元、y元．
，
解得，
答：该商店购进A、B两种品牌的工具每件各需要8元、10元．
小问2详解】
该商店可购进B种品牌的工具m件．
，
解得，
答：该商店最多可购进B种品牌的工具35件．
26. 在中，是的直径，弦与交于点E，且，点F是弧的中点，连接、，与交于点M．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，过点O作交于点G，连接，交于点N，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理，垂径定理得出，从而得出，利用等量代换即可证明；
（2）根据，得出，从而，设，则，算出，，即可得结论；
（3）连接，根据是的直径，得出，通过等量代换得出，从而，再根据，得出，设，则，利用勾股定理求出 ，，过点G作于点T，证明出，从而得出，，，利用，求出，过点F作于点K，证明出，在中，利用勾股定理建立等式求解即可解得．
【小问1详解】
证明：∵点F是的中点，∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，，；
【小问2详解】
证明：∵，∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如答图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，在中，，
设，则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，过点G作于点T，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
，（舍），
过点F作于点K，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，，，
∴，在中，，，
解得：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形、全等三角形的判定及性质、勾股定理、直径对应的圆周角等于直角、解直角三角形，解题的关键是作出相应的辅助线构建相似三角形和全等三角形进行求解．
27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求a、b的值；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点D，设点P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）
（3）如图2，在（2）的条件下，连接，与交于点E，延长至点F，连接，过点O作，连接，，，连接并延长交于点H，若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得函数解析式，得点C坐标及，设，过点P作轴于点T，求得，在中，由求出，从而可求出；
（3）先证明，，根据证明得，，得出，过点F作轴于点L，交的延长线于点K，证明，得出，，证明，得，过点H作轴于点Q，证明，得，过点G作轴于点J，证明，得，设，，根据证明，求出，，，过点E作轴于点W，求出，设，则，，根据求出，求出，，，则，据此列式求出的值即可
【小问1详解】
解：抛物线经过，，
把，代入得：
解得
【小问2详解】
解：把，代入，得，
当时，
∴，
∴；
设，
如图，过点P作轴于点T，
∴，，，，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过点F作轴于点L，交的延长线于点K，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作轴于点Q，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
过点G作轴于点J，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，，
∵，，，
∴，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得，（舍），
∴，，
∴，
过点E作轴于点W，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
把代入，得，，
∴．
【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算等科研课题，正确作出图形构造全等三角形是解答可不是的关键

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