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8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.理解残差图，残差标，会求残差，培养数学运算，如第5题.
2.会利用一元回归模型求解实际问题，锻炼数学建模能力，运算求解能力，如第3题.
一、解答题
1．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，请回答下列问题：
(1)解释变量和响应变量的关系是什么？
(2)是多少？
2．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下表所示.
零件数x个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间ymin 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)画出散点图；
(2)建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型（精确到0.001）；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
3．在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级x的地震数N的数据如下表：
震级x 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0
地震数N 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973
震级x 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0
地震数N 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25
试建立经验回归方程表示二者之间的关系，该模型对预测地震有帮助吗？（、精确到整数，相关系数精确到0.001）
4．人口问题是关乎国计民生的大问题.下表是1949~2016年中国的人口总数（摘自《中国统计年鉴2017》）.
年份 总人口/万人 年份 总人口万人 年份 总人口万人
1949 54167 1982 101654 2000 126743
1950 55196 1983 103008 2001 127627
1951 56300 1984 104357 2002 128453
1955 61465 1985 105851 2003 129227
1960 66207 1986 107507 200 129988
1965 72538 1987 109300 2005 130756
1970 82992 1988 111026 2006 131448
1971 85229 1989 112704 2007 132129
1972 87177 1990 114333 2008 132802
1973 89211 1991 115823 2009 133450
1974 90859 1992 117171 2010 134091
1975 92420 1993 118517 2011 134735
1976 93717 1994 119850 2012 135404
1977 94974 1995 121121 2013 136072
1978 96259 1996 122389 2014 136782
1979 97542 1997 123626 2015 137462
1980 98705 1998 124761 2016 138271
1981 100072 1999 125786
(1)画出散点图；
(2)建立总人口数关于年份的一元线性回归模型；
(3)直接用上面建立的回归模型预测2020年的中国人口总数，得到的结果合理吗？为什么？
例5.经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
表8.2-3
编号 1 2 3 4 5 6
胸径/ 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3
树高/m 18.8 19.2 21.0 2L0 22.1 22.1
编号 7 8 9 10 11 12
胸径/ 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3； 23.9 24.7
分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图判断树高与胸径是否线性相关.如果是，再利用公式（2）计算出，即可.
解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到图8.2-9.
图8.2-9
在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.
用d表示胸径，h表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为
，
相应的经验回归直线如图8.2-10所示.
图8.2-10
根据经验回归方程，由表8.2-3中胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，如表8.2-4所示.
表8.2-4
编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m
1 18.1 18.8 19.4 -0.6
2 20.1 19.2 19.9 -0.7
3 22.2 21.0 20.4 0.6
4 24.4 21.0 20.9 0.1
5 26.0 22.1 21.3 0.8
6 28.3 22.1 21.9 0.2
7 29.6 22.4 22.2 0.2
8 32.4 22.6 22.9 -0.3
9 33.7 23.0 23.2 -0.2
10 35.7 24.3 23.7 0.6
11 38.3 23.9 244 -0.5
12 40.2 24.7 24.9 0.2
以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到图8.2-11.
图8.2-11
观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.
【易错题目】第2题
【复盘要点】求线性回归方程
【复盘训练】
（2023·高二下·黑龙江鸡西·期中）
5．在2009年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格（元） 9 9.5 10 10.5 11
销售量（件） 11 10 8 6 5
通过分析，发现销售量y对商品价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·高二·全国·单元测试）
6．某调查者在调查中获知某公司近年来科研费用支出（万元）与公司所获得利润（万元）的统计资料如下表：
序号 科研费用支出 利润
合计
则利润关于科研费用支出的经验回归方程为（ ）
参考公式：，.
A． B． C． D．
（22-23高二·全国·单元测试）
7．某种细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 5 10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得经验回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值60录入有误，更正为.则更正后的经验回归方程为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·江苏·单元测试）
8．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知，，，，则y关于x的线性回归方程是 （精确到0.01）．
（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）
9．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)线性函数关系
(2)
【分析】（1）根据题意得到解释变量和响应变量的关系是线性函数关系；
（2）由（1）知：
【详解】（1）因为散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，
所以解释变量和响应变量的关系是线性函数关系.
（2）由（1）知：
2．(1)散点图见解析
(2)
(3)每多加工个零件，需要增加分钟加工时间.
【分析】（1）根据表格提供数据画出散点图.
（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.
（3）根据回归直线方程作出判断.
【详解】（1）画出散点图如下图所示：

（2），
，
，
所以.
（3）根据回归直线方程可知：每多加工个零件，需要增加分钟加工时间.
3．，该模型对预测地震有帮助.
【分析】根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并作出判断.
【详解】，
，
，
所以.
该模型对预测地震是有帮助：
①
回归直线方程显示，当增大时，减小，与表格提供的实际数据的变化趋势相同，所以该模型对预测地震有帮助.
②，，这表明与有很强的线性相关关系，从而也表明建立的回归模型是有意义的、有帮助的.
4．(1)散点图见解析
(2)，（单位：万人）.
(3)答案见解析.
【分析】（1）描点可作出散点图；
（2）根据线性回归方程的计算公式计算可得答案；
（3）将代入（2）中的线性回归方程，计算可得答案.
【详解】（1）解：散点图如下图所示：
.
（2）解：由表中数据和相关系数来计算其拟合程度，首先，，
再代入数据得，
以及，
因此，是有很强的正相关关系的，
因此设回归直线为，由，，
计算得，因此该回归模型为，（单位：万人）.
（3）解：当时，（单位：万人），
结果计算出来届时我国人口总数为15亿，的确保证了是增长型，但是由于这只是预测，并没有考虑到2020年出现的疫情和相应的政策等，因此难免会有所误差.
5．B
【分析】用最小二乘法求线性回归方程的系数公式直接求解即可.
【详解】由题可得，，，，，，所以回归直线方程为.
故选：B.
6．A
【分析】根据表格数据，直接采用最小二乘法计算即可.
【详解】由表格数据知：，，
，，所求经验回归方程为：.
故选：A.
7．A
【分析】根据给定信息，求出更正后的和，再利用最小二乘法计算作答.
【详解】依题意，设更正后的经验回归方程为，更正后，，
，， ，
，所以更正后的经验回归方程为.
故选：A
8．
【分析】根据最小二乘法的公式，求得，进而求得的值，即可求得回归直线方程.
【详解】由题意知，和，可得，
可得，则，
所以线性回归方程为.
故答案为：
9．
【分析】由题可得，进而可得新的平均数，根据回归直线方程过样本中心结合条件即得.
【详解】因为，且，
所以，
去除两个歧义点和后新的平均数为：
，，又新的回归直线的斜率为3，
所以，
所以新的回归直线方程为.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1.了解一元线性回归模型，
2.会运用一元线性回归模型解决简单的实际问题.
[明确任务]
1.了解一元线性回归模型.【数学抽象】
2.会运用一元线性回归模型解决简单的实际问题.【数学建模，数学运算】
1.线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
2.相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝.
核心知识点1： 一元线性回归模型
1．一元线性回归模型
．我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型．
其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与之间的随机误差．
2．随机误差
在一元线性回归模型中，a和b为模型的未知参数，e是Y与之间的误差，通常e为随机变量，称为随机误差．它的均值，方差．
线性回归模型的完整表达式为．此模型中，随机误差e的方差越小，用预报真实值y的精度越高．
拓展 引起随机误差e的原因
（1）在实际中，随机变量Y除了受随机变量x的影响之外，还受其他变量的影响．
（2）由于经验回归方程中的和为经验回归直线的截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差．
（3）观测误差，由于测量工具等原因，导致变量Y的观测值产生误差，这样的误差也包含在随机误差e中．
解读：由于随机误差是随机变量，因此可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征．均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为0，因此可以用方差来衡量随机误差的大小．
注意：在一元线性回归模型中，因变量Y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分Y的变化，因此在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，把因变量Y称为响应变量．
例1（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在线性回归方程中，为回归系数，下列关于的说法中不正确的是（ ）
A．为回归直线的斜率
B．，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少
C．是唯一确定的值
D．回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位
【答案】C
【分析】利用回归直线方程的特点逐项判断即得.
【详解】对于A，线性回归方程中的为回归直线的斜率，A正确；
对于B，，表示随增加，值增加，，表示随增加，值减少，B正确；
对于C，是由总体的一个样本利用一定的方法计算得到的，选择不同的样本
或不同的计算方法得到的一般是不同的，C错误；
对于D，回归系数的统计意义是当每增加（或减少）一个单位，平均改变个单位，D正确.
故选：C
归纳总结 一元线性回归模型
（1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线；
（2）经验回归方程为＝x＋，
其中＝＝，＝－；
（3）通过求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.
【举一反三】（22-23高二下·新疆巴音郭楞·期中）
1．已知某回归方程为：，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（ ）
A．增加3个单位 B．增加个单位
C．减少3个单位 D．减少个单位
【举一反三】（22-23高二下·江苏·课时练习）
2．下列有关回归直线方程，叙述正确的是（　　）
A．反映与之间的函数关系
B．反映与之间的函数关系
C．表示与之间不确定关系
D．表示最接近与之间真实关系的一条直线的方程
核心知识点2 ：一元线性回归模型参数的最小二乘估计
1．经验回归方程的求解方法——最小二乘法
求直线的方程的关键是如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”．
给定两个变量Y与x的n组数据之后，可以用各散点到直线的竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”，因为绝对值使得计算不方便，所以通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”，经过数学推导（参见课本），当且仅当时，Q达到最小．
我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距．
2．经验回归方程的性质
（1）经验回归直线一定过点，点通常称为样本点的中心．
（2）一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是；函数递减的充要条件是．这说明：y与x正相关的充要条件是；y与x负相关的充要条件是．
（3）在经验回归方程中，是经验回归直线的斜率，是截距．一般地，当回归系数时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当x每增大一个单位时，平均增大个单位；当时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当x每增大一个单位时，平均减小个单位．
拓展 实际值与观测值
在这里，y的上方加记号“^”，读作“y估”，是为了与y的实际值加以区别．当x取值时，y相应的实际值为，预测值为；散点图上对应于的纵坐标是，经验回归直线上对应于的纵坐标是．
解读：
1.表格法求经验回归方程
求经验回归方程时，为计算方便，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器或计算机算出各个量，为求经验回归方程扫清障碍．
2.求经验回归方程的注意点
对于任意一组样本数据，利用公式都可以求得“经验回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在经验回归直线，那么所得的“经验回归方程”是没有实际意义的．因此，对于一组样本数据，应先作散点图观察，在具有线性相关关系的前提下再求经验回归方程．
例2.某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如下几组样本数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其经验回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的经验回归方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【解析】由题意可知，，，
经验回归直线过样本点的中心，只有C选项满足，故选C．
【答案】C
归纳总结：求经验回归方程的步骤
（1）作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程；
（2）列表求出，的值；
（3）利用公式先计算，再根据经验回归直线过样本点的中心计算；
（4）写出经验回归方程．
求经验回归方程，关键在于正确求出，，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误．要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有意义．
【举一反三】（22-23高二下·四川成都·期中）
3．已知回归直线的斜率的估计值是1.2，样本点的中心为，则回归直线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【举一反三】（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）
4．某公司对2023年月份公司的盈利情况进行了数据统计，结果如表所示，利用线性回归分析思想，预测出2023年12月份的利润为万元，则关于的线性回归方程为 .
月份 1 2 3 4
利润/万元 5 6 8
核心知识点3：残差
1．残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．
对于样本点，，…，而言，它们的随机误差为，，2，…，n，其估计值为，，2，…，n，称为相应于点的残差．
2．残差图
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号、身高数据、体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．
3．残差分析
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．其步骤为：计算残差——画残差图——在残差图中分析残差特性．
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用一元线性回归模型来拟合数据．然后，通过残差，，…，来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在残差特别大的可疑数据．这种分析方式就是残差分析．其中残差是数据点和它在经验回归直线上相应位置之间的差异，即，，2，…，n．
划重点 残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，经验回归方程的预报精度越高．例如，如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是B，A与B中的残差图都是水平带状分布，并且B的残差图中的点分布较集中，且在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好．
A．B．C．D．
应用 残差图的制作和作用
（1）制作：纵坐标为残差，横坐标可以有不同的选择，如以样本编号为横坐标，可以观察残差与编号次序之间的关系，常用于调查是否存在可疑数据．
（2）作用：判断模型的适用性．若模型选择得恰当，则残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带状区域．
误区 数据检验
如果存在某个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为错误．如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，就需要寻找其他原因．
解读：误差与残差，这两个概念在某种程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，但是两者又存在区别．
误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确．误差分为两类：系统误差与随机误差．其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差，随机误差与观测者、测量工具、被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免．残差与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性．残差越大表示预测越不准确．残差与数据本身的分布特性、经验回归方程的选择有关．
例3.（2023·高二下·全国·期末）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一组测量数据为，则该数据的残差为（ ）
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，当时，，
所以该数据的残差为.
故选：D.
归纳总结 通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值.
残差平方和越小，拟合效果越好.
【举一反三】（2023·高二下·广东肇庆·阶段练习）
5．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ）
A．0.6 B．0.4 C． D．
【举一反三】（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）
6．对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据：
单价元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量件 84 83 78 m
根据表中的数据，得到销量（单位：件）与单价（单位：元）之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为，则 ．
核心知识点4：决定系数
可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，的计算公式在．
在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
划重点 与r的联系与区别
（1）相关系数r反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负i相关，决定系数反映回归模型的拟合效果．
（2）在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数r的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为．
（3）当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好．
解读：在线性回归模型中，越接近于1，表示回归的效果越好（因为越接近于1，表示解释变量和响应变量的相关性越强）．如果对某组数据可以采取几种不同的经验回归方程进行回归分析，也可以通过比较的值，选择大的回归模型．
例4.（2024·湖南·二模）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A．平均数 B．相关系数 C．决定系数 D．方差
【答案】C
【分析】根据相关数据的特征可知，决定系数能够刻画其经验回归方程的拟合效果.
【详解】平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量；
变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强；
用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好.
故选：C
归纳总结 决定系数．越大说明拟合效果越好.
【举一反三】
7．已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，则，中较大的是 .

（22-23高二下·山西·期中）
8．关于线性回归的描述，下列表述错误的是（ ）
A．回归直线一定经过样本中心点
B．相关系数越大，相关性越强
C．决定系数越接近1，拟合效果越好
D．残差图的带状区域越窄，拟合效果越好
9．某种产品的广告费支出与销售额 (单位：万元)之间的关系如下表：
与的线性回归方程为，当广告支出万元时，随机误差的残差为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·陕西安康·期末）
10．在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数判断，其中拟合效果最好的为（ ）
A．模型1的相关指数为0.3 B．模型2的相关指数为0.25
C．模型3的相关指数为0.7 D．模型4的相关指数为0.85
（2023高三上·河南·专题练习）
11．为了解某商品的销售量（件）与销售价格（元/件）的关系，统计了的10组值，并画出如图所示的散点图，则可得出的线性回归方程可能是（ ）

A． B．
C． D．
（2024高二下·江苏·专题练习）
12．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量之间的一组数据为
1 2 3 4 5
价格 1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量y 12 10 7 5 3
已知，.
(1)画出散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程；
(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据回归方程确定正确答案.
【详解】依题意，回归方程为：，
所以当解释变量增加1个单位时，预报变量平均减少3个单位.
故选：C
2．AD
【分析】根据回归方程的意义直接判断各个选项即可.
【详解】对于AB，表示的与之间的函数关系，并不是与之间的函数关系，A正确，B错误；
对于C，表示与之间的函数关系，为确定性关系，C错误；
对于D，用回归直线来表示最接近与之间真实关系的一条直线方程，D正确.
故选：AD.
3．C
【分析】运用回归直线必过样本中心及直线点斜式方程可得结果.
【详解】因为回归直线必过样本中心，所以回归直线必过，
所以由直线的点斜式方程可得：，即：.
故选：C.
4．
【分析】先计算出，代入线性回归直线方程，再把已知数据代入线性回归直线方程，计算即可.
【详解】设所求线性回归方程为，
由表格数据知，
根据回归直线方程必过得，
由2023年12月份的利润为万元知，解得，
于是所求的线性回归方程是.
故答案为：.
5．A
【分析】求出时的估计值，根据残差的含义，即可求得答案.
【详解】将代入，可得，
故数据的残差为，
故选：A
6．75
【分析】先根据样本点处的残差为，求出，再根据在经验回归方程上可得.
【详解】根据样本点处的残差为，得，得，
所以，
，，
由，得
故答案为：75
7．
【分析】根据给定的散点图中点的变化趋势确定拟合效果较好的关系，进而得出决定系数大小.
【详解】由散点图知，各个点的变化趋势呈指数型函数变化，
则用拟合的效果比用拟合的效果要好，即，
所以较大者为.
故答案为：
8．B
【分析】根据相关概念直接判断即可得解.
【详解】根据回归直线方程中知，回归直线一定经过样本中心点，故A正确；
相关系数越大，相关性越强，故B错误；
决定系数越接近1，拟合效果越好，故C正确；
残差图的带状区域越窄，说明拟合效果越好，故D正确.
故选：B
9．D
【分析】结合所给的回归方程首先求得预测值，然后结合所给的表格中的值即可求得最终结果．
【详解】解：由题意结合线性回归方程的预测作用可得：当时，，
则随机误差的效应（残差）为：．
故选：．
10．D
【分析】根据相关指数越大拟合效果越好判断.
【详解】解：因为相关指数越大拟合效果越好，又，
所以模型4的拟合效果越好，
故选：D
11．A
【分析】由散点图及线性回归方程的性质即可得.
【详解】由散点图可知，线性回归方程的斜率为负，截距为正，故只有A符合要求.
故选：A.
12．(1)图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中数据直接画出散点图即可；
（2）根据线性回归方程计算公式，进行计算即可；
（3）利用线性回归方程，令，求解即可.
【详解】（1）散点图如下图所示：

样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系.
（2）因为，
，
，，
所以，
，
故y关于x的线性回归方程为.
（3）当时，（），
故价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25 t.
答案第1页，共2页
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