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专题3 平面向量的应用
【必备知识】知识点一　余弦定理
文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
符号语言：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca_cos_B，c2＝a2＋b2－2ab_cos_C．
知识点二　余弦定理的推论在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝．
知识点三　解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
知识点四　正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言 ＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)
知识点五　正弦定理的变形
正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
1．a＝2R·sin_A，b＝2R·sin_B，c＝2R·sin_C；2．sin A＝，sin B＝，sin C＝；
3．a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C．
知识点六　常用的三角形的面积计算公式
1．S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)．
2．将ha＝b sin C，hb＝c sin A，hc＝a sin B代入上式可得S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半．
知识点七　三角形中有关边和角的常用性质
1．三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π．
2．在△ABC中，a>b A>B sin A>sin B．
3．在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b．
4．在△ABC中，A为锐角 cos A>0 a2b2＋c2．
【必备技能】
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
2．已知三角形三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
3．已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
4．已知两角及一边解三角形的解题方法
（1）若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求第三个角，最后由正弦定理求第三边．
（2）若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
5．已知两边及一角解三角形时，如果已确定三角形有解，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有两解，不必死记硬背某些结论．
6．利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状．
（2）化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状．
【考向总览】
考向一 正弦定理与余弦定理 （★★★★★）
考向二 线段垂直问题 （★★★★）
考向三 角度问题 （★★★）
考向四 线段长度问题 （★★★★）
考向五 最值问题 （★★★★★）
考向六 三角形形状问题 （★★★）
考向七 三角形面积公式的应用 （★★★★★）
【考向归类】
考向一 正弦定理与余弦定理
【典例1-1】
（22-23高一·江苏海安·期末）
1．在中，内角的对边分别为，有，，，则 .
【典例1-2】
（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
(1)求a的值；
(2)求的值．
【备考提醒】正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏宿迁·期中）
3．如图，平面四边形中，与交于点，若，，则 ．
（23-24高二上·云南·期末）
4．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
考向二 线段垂直问题
【典例2-1】
（23-24高三上·山西·期末）
5．已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形
【典例2-2】
（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）
6．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.

(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【备考提醒】1．解决垂直问题的一般思路是将目标线段的垂直转化为相应向量的数量积为零．
2．两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏泰州·期中）
7．在中，分别为边上的点，且.设.

(1)用表示；
(2)用向量的方法证明：.
（22-23高一下·陕西西安·期末）
8．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
考向三 角度问题
【典例3-1】
（22-23高一下·江苏扬州·期中）
9．如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大.
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例3-2】
（22-23高一下·福建厦门·期中）
10．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 ．
【备考提醒】用向量法求角度的策略：将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出向量的模或该夹角的余弦值，然后求出夹角即可．
【举一反三】
（22-23高一下·山东聊城·期末）
11．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．

（22-23高一下·福建厦门·期末）
12．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．
考向四 线段长度问题
【典例4-1】
（22-23高一下·江苏无锡·期中）
13．在中，O为BC的中点，向量，的夹角为，，则线段AC的长度是 .
【典例4-2】
（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）
14．在中，角所对的边分别为，.
(1)求角的值；
(2)若，边上的中点为，求的长度.
【备考提醒】用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝．
用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
【举一反三】
（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）
15．已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 .
（22-23高一下·北京大兴·期中）
16．已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
考向五 最值问题
【典例5-1】
（22-23高一下·江苏泗阳·期末）
17．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范围．
【典例5-2】
（22-23高二上·四川遂宁·阶段练习）
18．等边的面积为，且的内心为，若平面内的点满足，则的最小值为 ．
【备考提醒】最值与范围问题一般有两种解法
（1）转化为边的关系，利用基本不等式求解．
（2）转化为角的关系，利用三角函数的性质与三角函数的恒等变换求解．
【举一反三】
（22-23高一下·重庆綦江·期中）
19．已知菱形的边长为，则的取值范围是 ．
（22-23高一上·湖南长沙·期末）
20．已知.
(1)求函数图象的对称轴方程；
(2)设的内角所对的边分别为，若且.求的取值范围．
考向六 三角形形状问题
【典例6-1】
（22-23高一下·江苏南通·期中）
21．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【典例6-2】
（23-24高二上·广东佛山·期中）
22．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【备考提醒】判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏盐城·期中）
23．中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形
B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形
D．等腰直角三角形
（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）
24．下列有关四边形的形状，判断正确的有（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，且，则四边形为菱形
C．若，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为正方形
考向七 三角形面积公式应用
【典例7-1】
（22-23高一下·江苏东台·期中）
25．在中，，则 ， ．
【典例7-2】
（23-24高二上·广东茂名·期末）
26．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
【备考提醒】本章节三角形面积公式着重于S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半这一形式，往往结合正弦定理和余弦定理综合运用．
【举一反三】
（23-24高一下·四川成都·开学考试）
27．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·云南昭通·模拟预测）
28．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【必备知识】一、基线的概念与选择原则
1．定义：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
2．性质：在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
二、测量中的有关角的概念
1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)
2．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．(如图所示)
【必备技能】向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
【考向总览】
考向一 物理学相关问题 （★★★）
考向二 实际生活问题 （★★★）
【考向归类】
考向一 物理学相关问题
【典例1-1】
（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）
29．已知力，，满足，且，则 .
【典例1-2】
（22-23高一下·江苏江阴·期末）
30．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（ ）

A． B．18 C． D．12
【备考提醒】平面向量与物理学结合的问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为问题的解．
【举一反三】
（23-24高二上·广东佛山·期中）
31．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江苏昆山·期中）
32．三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用表示.若， 的夹角是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．夹角的余弦值为
D．夹角的余弦值为得
考向二 实际生活问题
【典例2-1】
（23-24高一下·广东惠州·开学考试）
33．已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】
34．在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为 ，与水流方向所成的角为 ．
【备考提醒】运用平面向量与解三角形知识来解决生活问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法为：
（1）认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
（2）把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
【举一反三】
（23-24高一下·江苏泰州·期中）
35．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·广东清远·阶段练习）
36．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．km/h B．km/h
C．km/h D．km/h
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，再由正弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为，可得，
因为，，由正弦定理，可得，解得.
故答案为：.
2．(1)2
(2)
【分析】（1）利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可解出值；
（2）方法1：利用余弦定理求出，再根据角的范围利用公式计算；方法：先利用公式计算，再利用正弦定理求.
【详解】（1）因为，在中，由余弦定理有：，
得，解得，（舍去）．所以.
（2）方法1：由余弦定理，得，，
∵C是的内角，∴．
方法2：∵，且B是的内角，∴，
在中，根据正弦定理，，得．
3．##
【分析】由向量对应的比例关系、正弦定理，首先可列方程结合求得，进一步结合余弦定理可表示出，由此即可得解.
【详解】如图，设，，，
，
则：在中，有，
在中，有，
两式相除得，化简得，又，
所以，即，
所以.
在中，由余弦定理，解得，
进一步继续在中，由勾股定理有，所以，
所以.
故答案为：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得
，
因为、，则，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
故，
因此，面积的最大值为.
5．C
【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解.
【详解】

由题意结合中位线定理可得，，
所以，即四边形为平行四边形.
，
，
，
，
，即，即，
所以，又，所以，
同理由中位线定理可得，所以，
故四边形为矩形.
故选：C.
6．(1)，
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可；
（2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可.
【详解】（1），
；
（2），证明如下：
由（1）知，，
所以，
设，则，
所以，所以，得证.
7．(1).
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；
（2）由（1）得，根据平面向量的数量积运算即可证明.
【详解】（1）因为，
.
（2）由且，
得，
所以.
8．(1).
(2)证明见解析.
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得.
（2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得.
【详解】（1）.
（2），
，.
9．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的方法即可求得看A、的视角最大时该人离此树距离.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
则，
则
又，且余弦函数在单调递减，
则当，即时最大.
即该人离此树6米时，看A、的视角最大.
故选：C
10．##
【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可.
【详解】解：设，，则，
，又，，
所以
．
故答案为：.
11．
【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果.
【详解】因为是的中点，所以，
，
因为，，
，
所以，
所以.
故答案为：.
12．(1)四边形为梯形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可；
（2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得.
【详解】（1）因为，，
所以，
又因为，所以，
又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形．
（2）因为，
所以，
因为为中点，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以．

13．
【分析】根据条件可得，结合向量的模长公式以及数量积的运算，即可得到结果.
【详解】，
，
.
故答案为:.
14．(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后，利用两角和的正弦公式求解；
（2）利用平面向量数量积可求出结果.
【详解】（1），，
，，
，，
.
（2）是边上的中线，
，
，
.
15．
【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算律可求出结果.
【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，，
所以，
所以
.
故答案为：
16．C
【分析】根据正弦定理、二倍角正弦公式、正弦函数的性质，结合三角形面积公式、平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】根据正弦定理由，
因为，所以，或，
当时，,不符合三角形内角和定理，
当时，，因此,
因此，因为的面积为，
所以有，负值舍去，即，
由余弦定理可知：
，
设边的中点为，所以有，因此
故选：C
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；
（2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又，
所以，又为锐角，
则；
（2）由正弦定理，
则，
所以，
，
因为在锐角三角形中，得，
所以，
则，
所以的取值范围为.
18．
【分析】根据三角形面积公式求边长，再应用等面积法、正弦定理求内切圆、外接圆半径，并判断的轨迹及相对三角形的位置，最后由，数形结合求最小值即可.
【详解】若边长为，则，可得，
所以，内切圆半径，外接圆半径，
而的内心为，且，故在以为圆心，1为半径的圆上，
所以N轨迹在三角形内部，如下图示，，

所以
，
若是中点，则，
综上，，要使其最小，只需反向共线，
由，故.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律有，根据已知求相关向量的模，结合位置关系确定其最小值.
19．
【分析】利用平面向量的加法运算，结合夹角取值范围和三角函数值域即可求得其范围.
【详解】如下图所示：

易知，且，
所以，易知，
所以，
因此
故答案为：
20．(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角恒等变换，结合三角函数的性质求解即可；
（2）由正弦定理可得，然后结合三角函数值域的求法求解即可．
【详解】（1）已知，
则，
由（k∈Z），得（k∈Z），
即函数图象的对称轴方程为（k∈Z）；
（2）由，得，又，即.
所以，又，
由正弦定理，得，
即
又，所以，
所以.即的取值范围为．
21．C
【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.
【详解】由题意可知，
所以，即的形状是直角三角形.
故选：C
22．B
【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论.
【详解】易知，
可得，即，且，
所以可得的形状是直角三角形.
故选：B
23．D
【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解.
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，
而，因此有，从而得，
所以是等腰直角三角形.
故选：D
24．AB
【分析】对选项A，利用即可判断出选项A的正误；对于选项B，由，得出四边形为平行四边形，再根据，即可判断出选项B的正误；对于选项C，根据条件，得到，即，从而判断出选项C的正误；选项D，根据及即可判断出选项D的正误.
【详解】选项 A，若，则 ，，则四边形为平行四边形，故A正确；
选项B，若，则 ，，则四边形为平行四边形，
又，则，则四边形一定是菱形，故B正确；
选项C，若，则，则，则，仅由不能判定四边形为矩形，故C错误；
选项D，若，则，，则四边形为平行四边形，又由，可得，所以对角线，则平行四边形为菱形，故D错误，
故选：AB．
25．
【分析】由题意可知，然后利用余弦定理即可求解；利用正弦定理的面积公式即可求解.
【详解】对空：由题意知，则，所以，
由余弦定理得，则；
对空：由，，所以，
所以.
故答案为：；.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理计算即可；
（2）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可.
【详解】（1）由已知得
由正弦定理得，
则．即
（2），得，
由余弦定理，
即，则，
所以，的周长为．
27．D
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
．
故选：D．
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角化可得，即可利用辅助角公式求解，
（2）根据余弦定理可得，利用不等式即可求解，由面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
又，
.
，，即，
.
.
（2）由余弦定理有，
，，当且仅当时取等号.
.
29．
【分析】由题意知，，，首尾相连必形成封闭的等边三角形，再结合模长公式求解即可.
【详解】由题意，如图，

在等边三角形中，可令，，,
所以.
故答案为：.
30．D
【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案.
【详解】因为，，所以，又，
故力对冰球所做的功为.
故选：D.
31．C
【分析】根据降落伞在匀速下落的过程中力的平衡可列式求解，即得答案.
【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，
则，故，
故选：C
32．BC
【分析】根据，然后利用数量积的运算律及模的运算公式求解，再由及数量积的运算公式求解即可.
【详解】由已知可知：，
所以．
设的夹角为，由，得，
所以，得解.
故选：BC
33．D
【分析】利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，从而得解.
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，

由已知可得，为正三角形，，所以．
又，，则，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：D.
34． 20
【分析】表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由可得答案.
【详解】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由题意知，，所以，且．所以船行驶速度的大小为，与水流方向所成的角为．
故答案为：①20②．
35．B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解.
【详解】由题意知，
则，
因为，，
即，
所以.故A，C，D错误.
故选：B.
36．B
【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】如图所示：
，，
，
设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，
则有所以有
，
故选：B.
答案第1页，共2页
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