资源简介

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第一讲 周期问题 2
第二讲 组合图形的面积 10
第三讲 二元一次方程组 17
第四讲 列方程解复杂应用题 25
第五讲 《鸽巢问题》 32
第六讲 数的整除 39
第七讲 分解质因数 44
第八讲 平面图形（二） 51
第九讲 长方体和正方体的表面积 58
第十讲 长方体和正方体的体积 64
第十一讲 物体浸水问题 71
第十二讲 最大公因数 77
第十三讲 最小公倍数 83
第十四讲 带余除法 91
第十六讲 分数提升题 96
第十七讲 分数比较大小 105
第十八讲 平面图形（三） 110
第十九讲 分数巧算 115
第二十讲 图像问题 123
第二十一讲 行程问题 127
第二十二讲 时钟问题 135
第二十三讲 幻方与数阵 139
备注：第十五讲、第二十四讲为期中、期末复习
第一讲 周期问题
例 1:2008年5月12日四川发生“汶川大地震”时刚好是星期一，胡锦涛通知主持 的2009年5月12日“汶川大地震一周年”纪念日是星期几呢？
能力冲浪1
1、如果2018 年7月1日是星期二，那2019年的6 月1日是星期几？
2、某年的2月份有5个星期日，这年的10月1日是星期几？
3、时针现在表示的时间是14时整，分针旋转1991周后，时针表示的时间是几时？
例2:福娃贝贝和晶晶用计算器探讨尾数的规律：假设
那么 N 的末两位数字是多少？
能力冲浪2
1、福娃们用计算器探讨尾数的规律：如果，那么A的末两位数字是多少？
2、7×7×7×…×7所得积末位数是（ ）。
50个
3、连续写100个12,得到一个自然数 121212…12,这个数除以7的余数是几 200位
例3：聪聪、笑笑两人给一根长3米的木棍涂色。首先，聪聪从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底。然后，笑笑从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底。最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？
能力冲浪3
1、向玖和向东两人给一根长48分米的木棍涂色，向玖从木棍端点开始按涂3厘米，不涂3厘米的顺序交替去做，向东从木棍的同一端点按先不涂4厘米，再涂黑4厘米的顺序交替去做。最后，两人完工后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？
2、大雪后的一天，东东和他爸爸共同步测一个圆形花坛的周长。他们从同一起点出发，向同一方向行走，东东平均每步长54厘米，爸爸平均每步长72厘米。由于两人的脚印有重合，并且他们各自走完一圈后都回到了起点，这时雪地上共留下60个脚印。这个花坛的周长是多少米？
3、加里敦实验学校五 (2) 班有43位同学，他们身上带的钱从8角到5元不等且 每人钱数均不相等，每位同学用身上的全部钱各自买了画片。画片只有两种，3角一张和5角一张的，每人都尽量多买5角一张的画片，那么他们所买的3角画片的总数是多少张？ (每人所带的钱都是整角数)
例4：聪聪把自然数按规律排列成如图所示的表格，你知道第一行的第1993 个数是多少吗？
能力冲浪4
1、把自然数按下面规律排列，2007 排在哪一列？
2、已知一串分数，，，，，，，，， …… 试求第 2027 个分数是几分之几？
3、如图，自然数从1开始按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第2个弯，在5处拐第三个弯……拐第20个弯的地方是哪个数？
例5：紧接着数字1，9，8，9后面写串数字,写下的每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数。例如:8×9=72,则在9的后面写2,又接着9×2=18,则在2 的后面写 8……得到一列数字:1，9，8，9，2，8，6，…
请问:这串数字从1开始往右写,第 2012 个数字是什么
能力冲浪5
1、有一串数1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…,第1个与第2个数都是1,从第8个数开始,每个数都是它前面两个数的和。那么,在这串数中,第 2010 个数被3除后,所得的余数是几
2、a是不为0的自然数,a 的个位数字与a的个位数字一样。例如:当a为4时,a =64,个位也为4。像这样的自然数a还有很多,如果把它们按从小到大的顺序排列,第35 个这样的自然数是多少
3、1999名同学排成一排,从排头向排尾 1 至3报数,再从排尾至排头1至3报数。共有___人两次都报1。
随堂练习
1、2009 年2月1日是星期日，这一年的6月1日是星期几？
2、一串数1，9，9，1，4，1，4，1，9，9 ，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个,其中共有几个1，几个9，几个4？
3、，所得积的末尾数字是几？
4、化成小数后，小数点右边第 2010 位上的数字是多少 这2010个数字的和是多少
5、将奇数如下图排列，各列分别用 A、B、C、D、E 作为代表，则2007所在的列以哪个字母作为代表？
6、一个2002 位的整数,各个数位上的数字均为3,它除以13的商的第 200位(从左往右数)数字是多少
7、 求12 + 22 + 32 + … + 1234567892 的个位数字。
8、1999个同学排成一行,从排头向排尾 1~4 报数,再从排尾至排头 1~5 报数。报1的同学共有多少人
第二讲 组合图形的面积
例1：已知三角形ABC的面积为8平方米，AE=ED, BC是BD的1.5倍,求阴影部分的面积。
能力冲浪1
1、如图所示，AE=2DE,BD＝2DC,S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。
2、如图，在三角形ABC中，D，E为两个三等分点，F为AB中点，若三角形EDF的面积是12平方厘米，求三角形ABC的面积。
例2：如图，在梯形ABCD中，三角形ABO的面积等于60平方厘米，AC是A0的3倍。求梯形ABCD的面积是多少平方厘米
能力冲浪2
1、已知S△AOB=6平方厘米，OC=3AO。求梯形的面积。
2、已知S△AOB＝6平方厘米。BD＝4OD，求空白部分的面积。
例3：一个正方形ABCD的对角线BD为3厘米，求该正方形的面积。
能力冲浪3
1、一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米
2、已知正方形ABCD的边长是8厘米，求正方形EFGH的面积。
3、正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。
例4：下图中，乙三角形的面积比甲三角形的面积大多少平方厘米
能力冲浪4
1、下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米
2、图中ABCD是长方形，AB=4厘米，BC=6厘米，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。
例5：四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米
能力冲浪5
1、如下图，BFDM和ADEN都是正方形，已知三角形CDE的面积是6平方厘米，求三角形ABC的面积。
2、如图，大小两个正方形拼在一起，大正方形的边长为10厘米。求三角形ACF的面积是多少
例6：右图，一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红、蓝两张三角形纸片的面积和。
能力冲浪6
如右图，直角三角形ABC由红、绿两个直角三角形和一个黄色长方形拼成。AE＝25厘米，BF＝20厘米。问：黄色长方形的面积是多少平方厘米？
2、如下图，在直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，E正好落在直角三角形的斜边AC上。已知AE＝10厘米，EC＝13厘米，那么其中阴影部分的面积是多少？
随堂练习
1、三角形ABC和三角形EFD是两个完全相同的直角三角形，把它们的一部分叠放在一起，如下图所示，求阴影部分的面积。（单位：cm）
2、如下图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少
3、如图所示，AE=ED,BC=3BD, S△ABC=30平方厘米。求阴影部分的面积。
4、如右图，在梯形ABCD中，OC＝2OA，OB＝2OD，三角形AOD的面积是10平方厘米。求梯形ABCD的面积。
5、如图，大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘米，求阴影部分的
面积。
6、如下图，已知大正方形的边长是12厘米，求最小正方形的面积
7、图中BC=10厘米，EC=8厘米，∠ECB=90°且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形的面积。
8、在下图的直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积。（长方形的顶点为三角形边上中点)
第三讲 二元一次方程组
例1：二元一次方程4x+3y＝25的自然数解有（　　）。
A．2组 B．3组 C．4组 D．5组
能力冲浪1
1、写出二元一次方程2x+y＝5的所有正整数解。
例2：解下面二元一次方程组。
5x+2y＝25
（2） 3x+4y＝15
5(m-1)=2(n+3)
（3） 2(m+1)=3(n-3)
能力冲浪2
1、解下面二元一次方程组。
3m+2n＝13
5m-n＝0
x=1 ax-y=0
2、 y=2 是方程组 x+by=3 的解，则a= ，b= 。
3、已知满足二元一次方程5x+y=17的x值也是方程 2x+3(x-1)=12的解，求该二元一次方程的解。
例3：列方程组解应用题。
1、某班共有学生42人，男生比女生人数的2倍少6人，问男、女生各有多少人
甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟
比乙多打10个字。问甲、乙两人每分钟各打多少个
3、小明用36 元买了两种邮票共40枚，其中一种面值1元，一种面值0.8元，则小明买了面值1元和面值0.8元的邮票各多少张？
4、阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树，请你仔细数，乌鸦和树各有多少？”
5、某玩具厂要生产一批玩具，若每天生产35个，则差10个才能完成任务；每
天生产40个，则可超额生产20个。求预定期限是多少天 计划生产多少个玩具
6、一种口服液有大小盒两种包装，3大盒4小盒共108瓶；2大盒3小盒共76瓶。大盒、小盒每盒各装多少瓶
7、某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母
8、一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，水流速度
与船速不变，求船在静水中的速度和水流速度
9、有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换。那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数。
10、某体育场的环行跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练
习长跑，如果反向而行，那么他们每隔32秒相遇一次．如果同向而行，那么每隔160秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？
11、已知:用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10t;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11t。某物流公司现有31t货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物。根据以上信息，解答下列问题。
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨;
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次。出最省钱的租车方案，并求出最少租车费。
随堂练习
写出二元一次方程4x+y＝10的所有正整数解。
2、解下面的方程组。
x=3 ax+by=7
3、 已知 y=4 是方程组 6a+5y=2 的解，那么a2+2ab+b2 的值为 。
4、母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合
每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）。
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5、“阅读与人文滋养内心”，某校开展阅读经典活动．小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页，若小明、小颖平均每天分别阅读x页、y页，则下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
6、列方程组解应用题。
（1)甲、乙两数和为42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数。
（2)某单位组织了200人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少10人。到两地参加旅游的人数各是多少
（3）每年的3月12日是植树节，某小学组织了170名学生去参加义务植树活动。
如果每个男生平均每天挖3个树坑，每个女生平均每天种7棵树，正好使每个树
坑种上一棵树。那么男生和女生各有多少人
（4)某车间工人举行茶话会，如果每桌12人，还有一桌空着；如果每桌10人，则还差两个桌子，此车间共有工人多少名
（5）为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总重460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重240克。试问1号电池和5号电池每节分别重多少克
（6）一套茶具由1把茶壶和6只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做4把茶壶或12只茶杯，现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？
(7)某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2
个小餐厅，可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供228名学生就餐。
①求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
②若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐 请说明理由。
列方程解复杂应用题
例1：学校买8个足球和60根跳绳，共用去274.2元，每个足球的价钱比32根跳绳的价钱还多0.7元，每个足球多少元
能力冲浪1
1、小明看着自己的数学成绩统计表预测,如果下次数学考100分,那么数学总平均分是9分;如果下次考80分,那么数学总平均分就只有86分。小明数学统计表上已有几次成绩
2、玩具厂某箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多2个,每次从箱子里取出7个白球、15个红球，经过若干次后箱子里剩下3个白球、53个红球，那么箱子里原有红球、白球各多少个
例2：教窒里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问，最初有多少个女生
能力冲浪2
1、操场上男孩戴蓝帽，女孩戴红帽。一个男孩说:“我看见的蓝帽与红帽一样多。”一个女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍。”操场上男孩和女孩各有多少人
2、前年,父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍，父亲今年多少岁
3、甲、乙两人上午8时从A地出发，步行去B地，甲每分钟行80米，甲的速度是乙的2倍。途中乙因借自行车耽误了7分钟，他骑自行车的速度是原来的3倍，这样两人在上午9时同时到达B地，乙借车前步行了多少分钟
例3：一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。求甲、乙两地间的路程。
能力冲浪3
1、一艘帆船的速度是60 米/分,船在水流速度为 20 米/分的河中,从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地,共用3小时30分。这艘船从上游港口到下游某地共走了多少米？
2、东、西两镇相距60千米。甲骑车行完全程要4小时，乙骑车行完全程要5小时。现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？
3、小明每天早晨6:50从家出发7:20到校。老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6:50从家出发，那么，他每分钟必须比往常多走25米,才能按老师的要求准时到校。问:小明家距学校多远
例4：一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。求他后一半路程用了多少时间？
能力冲浪4
小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。求他后一半路程用了多少时间？
小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米。求他返回时用了多少秒？
3、甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划5小时到达乙地。他前一半时间每小时行36千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？
其他
1、明明和白白去书店买书,明明看中一本字典,白白看中一套名著,可是他们带的钱都不够。如果白白借钱给明明买字典，自己还剩20元;如果明明借钱给白白买名著，自己还剩4元。已知名著的价钱是字典价钱的3倍,明明和白白一共带了多少元钱
2、有两条绳子，它们的长度相等,但粗细不同。如果从两条绳子的一端点燃,细绳子40分钟可以燃尽,而粗绳子120分钟才燃尽。一次，把两条绳子的一端同时点燃，经过一段时间后,又同时把它们熄灭，这时量得细绳子还有10厘米没有燃尽,粗绳子还有30厘米没燃尽。这两条绳子原来的长度是多少厘米
随堂练习
1、制药厂有两种包装盒，大盒每盒包装药24瓶，小盒每盒包装药16瓶。有一
批药，如果用小盒比用大盒多用9个盒子，这批药共有多少瓶
2、商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问，胶鞋有多少双
3、小聪明第一天从家到学校时,每分钟行120米,结果早到了4分钟;第二天以每分钟80米的速度行走，结果晚到了4分钟。第三天他想准时到校，每分钟应该行多少米
4、汽车从甲地开往乙地送货。去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米，往返一次共用8小时45分。求甲、乙两地间的路程。
5、一艘船从甲港到乙港逆水每小时行24千米,到乙港后又顺水返回甲港。已知顺水航行比逆水航行少用了5小时,水流速度为每小时3千米。甲、乙两港相距多少千米
6、修一条公路,未修长度是已修长度的3倍，如果再修300米,那么未修的长度就是已修的2倍,这条公路长多少米
7、哥哥骑自行车，小明步行同时从家出发去公园，10分钟后哥哥到公园，小明
距公园还有1200米。已知哥哥骑车的速度是小明步行速度的3倍。小明步行每
分钟走多少米
8、东、西两地相距5400米，甲、乙二人从东地、丙从西地同时出发，相向而行。甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？
9、把188本书借给四个班的同学,如果一班增加3本，二班减少2本,三班增加1倍,四班减少一半,那么四个班借到的书一样多。原来四个班各借到多少本书
第五讲 《鸽巢问题》
例1：金星小学六年级有30名学生是2月份出生的，所以六年级至少有2名学生的生日是在2月份的同一天，为什么
能力冲浪1
1、大风车幼儿园大班有25个小朋友，班里有60件玩具。若把这些玩具全部分给班里的小朋友，则会有小朋友得到3件或3件以上的玩具吗
2、49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。参加体操表演的学生中是否一定有2名或2名以上是在同年同月出生的
例2：有红、绿、蓝三种颜色的小球各5个，至少取出几个小球能保证有2个同色的
能力冲浪2
1、布袋里有4种不同颜色的小球若干个，最少取出多少个小球，就能保证其中一定有3个小球的颜色相同
2、小东玩掷骰子游戏（掷一枚骰子)，要保证掷出的点数至少有2次是相同的，小东至少应该掷多少次？
3、围棋的棋子有黑、白两种颜色，每种颜色各5粒，要想拿出3粒同种颜色的棋子，至少要拿几粒？
4、一个口袋里放有同样大小的红色、黄色和白色三种颜色的玻璃球若干个。现从中任意取出一些球，至少要取出多少个球，才能保证其中有5个球的颜色是相同的
5、一个不透明的口袋里有大小一样的红、白、黄三种颜色的小球各10个，至少
要摸出几个球，才能保证有两个球的颜色相同？至少要摸出几个球，才能保证有两个球的颜色不同？
6、现在有黑色、白色、红色袜子各5只，它们的规格都一样，混杂在一起，暗中想取出同样颜色的袜子4只，问至少取多少只才能保证达到要求？
7、一只黑布袋中装有同样大小的红、黄、蓝、黑、白五种颜色的袜子各3双。一次至少要从袋中取出多少只，才能保证其中有两双袜子是同一种颜色的
8、黑色、白色、黄色筷子各有8根，混杂地放在一起。黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2双筷子(每双筷子两根的颜色应一样)，至少要取多少根才能保证达到要求
例3：平安路小学组织862名同学去参观甲、乙、丙3处景点。规定每名同学至少参观1处，最多可以参观2处，至少有多少名同学参观的景点相同？
能力冲浪3
1、学校图书馆有科普读物、故事书、连环画这3种图书，每名学生从中任意借阅2本，那么至少要几名学生借阅才能保证其中一定有2名学生所借阅的图书种类一样
2、六（1）班共有46名学生，他们都参加了课外活动小组。课外活动小组有手工、美术、合唱和书法小组，他们每人可参加1个、2个、3个或4个课外活动小组。求六（1）班至少有几名学生参加的课外活动小组完全相同？
3、六(2)班有45名学生，他们都参加了课外兴趣小组。课外兴趣小组有足球、舞蹈、美术、合唱，每人可以参加1个、2个或3个课外兴趣小组。班级中至少有多少名同学参加的课外兴趣小组相同
例4：（求鸽子数量）桂苑小学六年级每名学生都阅了《数学小灵通》《小学生作文》《英语天地》《科学画报》这4种报刊中的2种，他们当中至少有34名学生订阅的报刊种类相同。你知道桂苑小学六年级至少有多少名学生吗
能力冲浪4
1、幼儿园买来很多狗、鹿、虎、兔的儿童玩具，每个小朋友任意选择两件，至少要有多少个小朋友才能保证有两人选的玩具相同
2、一副扑克牌（去掉大、小王），每人随意抽取两张牌。至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所抽取的两张牌的花色是相同的
例5：（求鸽巢数量）李阿姨给幼儿园的孩子买衣服，有红、黄、白3种颜色，结果总是至少有2个孩子的衣服颜色一样，她至少给几个孩子买衣服？
能力冲浪5
1、把25个玻璃球最多放进几个盒子中，才能保证一定有一个盒子里至少有5个玻璃球
例6：有53个桃子，分给10只猴子，如果每只猴子至少分1个桃子，那么无论怎样分，一定会有2只猴子分到的桃子数相同，为什么
能力冲浪6
1、学校体育室有足球、篮球和排球各40个，上体育课时，老师让15名同学拿球到操场，每人最多拿2个。这么多人至少有几人拿球的情况是完全相同的呢
随堂练习
1、一个幼儿园有40名小朋友，现有各种玩具共122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具 为什么
2、一个布袋中有40块相同的木块，木块上的号码是1，2，3，4的各有10块。一次至少取出多少块木块，才能保证其中至少有3块木块上的号码相同
3、抽屉里有4只黄色的袜子和6只白色的袜子，从里面至少摸出几只，才能保证一定有两种不同颜色的袜子
疫情期间，某地派出60名医务人员驰援湖北，医务人员中男、女人数的比是
1：1，随机选取，至少选多少人才能保证选出的人中男、女医务人员都有
5、把43个苹果最多放进多少个抽屉中，才能保证有一个抽屉中至少放进7个苹果？
6、六年级有100名学生，他们分别订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、两种或三种，至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
7、任意4个整数中，必存在2个数，它们被3除的余数相同。你能说出其中的道理吗
8、8只猴子分一堆桃，要保证至少有一只猴子分到4个桃，这堆桃至少有多少个？
思考题
一个礼品店允许客人预订礼品，有一天，一位客人来预订了一种礼物，要求包装好，包在一起还是分成几部分包都可以。那天客人特别多，礼品店的伙计没有记清楚这位客人预订的具体数目，只记得他订的数目比20要小。这种礼品包装起来非常麻烦，如果等客人来了再临时包装会耽误客人的时间，影响自己的声誉。伙计只好自己包装好若干件，把这若干件分成若干包来包装好，等客人来的时候，把其中的若干包凑起来就可以了。那么这个伙计应该怎么包装，才能使包数最少，又能满足客人的要求？
第六讲 数的整除
例1： 整数能被72整除，这个数有哪些可能？
能力冲浪1
1、一个六位数，能被99整除，A和B各是多少？
2、已知45|,求所有满足条件的六位数？
3、一张纸上有一个无重复数字的五位数3□6□5，已知这个数字能被75整除，那么满足上述条件的五位数可能是________。
例2： 四位数能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是多少？
能力冲浪2
1、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？
2、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。
3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。这个四位数是□□□□。
例3：在5、6、7的公倍数中，是五位数且最小的是________。
能力冲浪3
1、173□是一位四位数，在□中先后填入3个数字，使四位数分别可被9、11、6整除，填入的三个数字之和是多少？
3、某个七位数，1990□□□能被5，6，7，8，9整除，那么它的最后三个数字依次是：□□□。
例4：已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，A最小是________。
能力冲浪4
1、已知N是一位自然数，S=0，则（1）NNNSNN；（2）NSSNSN；（3）NSNSNS；（4）NSSNSS四个自然数中，一定能同时被2和3整除的数是________。
2、在十进制中，各位数字均是0或1，并且能被225整除的最小自然数是________。
例5：一位后勤人员买了72本练习本，可是由于他吸烟不小心，火星落在账本上，把这笔账的总数烧去两个数字。账本是这样的：72本笔记本共□67.9□元（□为被烧掉的数字），请把□处数字填补上，并求出练习本的单价。
能力冲浪5
1、希然买了9支铅笔、2支圆珠笔、3个练习本和5块橡皮，她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意，售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了。”请问售货员的账算错了没有？为什么？
2、55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少，但也多于10个，三人各得苹果多少个？
3、李老师为学校一共买了28枚价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问每枝钢笔多少元？
随堂练习
1、 能被72整除，求X+Y是多少？
2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？
3、能被4、5、6整除的最大三位数是□□□。
4、已知一个自然数A，它能被15整除，且它的各个数位上的数字只有2、5两种，则这种最小的六位数是□□□□□□。
5、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。
6、有2、3、4、5、7、9这六个数字，组成能被3和5除都余2的最大四位数和最小四位数之差是________。
7、小王买了3支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去2元5角钱。已知铅笔4分一支，圆珠笔3角6分一支，问营业员的账有没有算错？
第七讲 分解质因数
例1：有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是_______。
能力冲浪1
1、两个质数的和是49，这两个数分别是_______和_______。
2、把50拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么最大的质数是几？
例2：一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209平方分米，如果它的长、宽、高都是质数，那么长方体的体积是多少？
能力冲浪2
1、现在计划用围墙围起一块面积为5544m的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块围墙有多长？
2、有一个长方体，相邻三个面的面积分别为35cm、77cm、55 cm，求它的体积是多少？
3、一个长方体的长、宽、高是三个连续自然数，它的体积是39270cm，那么这个长方体的表面积是_______cm。
例3：求3600一共有多少个因数，所有因数的和是多少？
能力冲浪3
1、把A分解质因数是A=abc,那么A的因数有（ ）个。
2、已知自然数a有2个因数，那么3a有多少个因数？
3、1500共有多少个因数，所有因数的和是多少？
4、求恰有8个因数的最小自然数是几？
5、从1000到2007的自然数中的有奇数个因数的数有多少个？
例4：一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是多少？
能力冲浪4
一个正整数a与2460的积是一个完全平方数，当a最小时，这个平方数是多少？
例5：求1234……20072008 乘积的末尾有多少个连续的‘0’？
能力冲浪5
1、要使四个数的乘积：1351925486（ ）结果的最后五位数都是零，括号中的数最小应填_______。
例6：把8、21、25、35、44、65、78、99平均分成两组，使每组四个数的乘积相等。
能力冲浪6
1、有八个数693，175，28，35，108，363，165，48，把它们分成两组，使两组数的乘积相等。
2、把39、45、49、56、60、70、78、84、91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。
例7：四个好伙伴，恰好一个比一个大一岁，四个人年龄的乘积是11880，求四个人的年龄。
能力冲浪7
1、三个数的积为84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是_______。
2、有五个连续奇数，它们的乘积是328185，则最大的一个奇数是_______。
例8：幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分，但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分两个苹果，原来有几个小朋友？
能力冲浪8
1、幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只橘子，200块饼干，120粒奶糖，平均分发完毕，还剩4只橘子，20块饼干，12粒奶糖。这个班里共有几个小朋友？
2、某班同学在班主任老师的带领下去种树，学生正好平均分成三组，老师与每个学生种树一样多，共种了1073棵树，平均每人种了几棵？
3、王老师带着班上的同学 (不超过100人) 去植树，学生按人数正好可以平均分成三组。已知师生共植了154棵树，老师与学生每人植的树一样多，并且不超过 10棵。共有多少学生？每人植树多少棵？
随堂练习
在自然数中，恰好有3个因数的两位数共有（ ）个。
在（ ）里填出不同的质数。
60 =（ ）+（ ）=（ ）+（ ） =（ ）+（ ）=（ ）+（ ）
3、如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么它们的和是多少？
4、要使乘法算式4×100×35×（ ）积的最后五个数字都是0，括号里最小应填（ ）。
5、一个正整数a与1080的积是一个完全平方数，当a最小时，这个平方数是多少？
6、四个连续奇数的连乘积是326025，这四个数分别是多少？
7、有四个孩子，恰好一个比一个大一岁，它们的年龄相乘的积是3024，那么他们各自的年龄。
8、1260共有多少个因数，所有因数的和是多少？
9、把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等，这两组数分别为（ ）和（ ）。
10、一个长方体，它的正面和上面的面积之和是90，如果已知它的长、宽、高是三个连续的自然数，那么这个长方体的体积是多少？
11、张老师带286元钱去买钢笔，由于商店促销，每支钢笔降价2元，张老师的钱可以买多4支钢笔，张老师的钱原来能买几支钢笔？
第八讲 平面图形（二）
例1：
（1）下图中的正方形，从左到右，边长依次为:4、5、3。求图中影部分的面积。
（2）如图，每个小正方形的边长都是2，则阴影三角形的面积是多少？
（3）图中的正方形的边长为10厘米,则阴影部分的面积为多少平方厘米
（4）如图，已知长方形ABCD的长BC=12厘米，宽DC=8厘米，并且BF=CG。三角形EFC的面积是32平方厘米。则线段HG的长度为多少厘米 (提示:画辅助线）
（5）把边长为6 cm的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形，在两个三角形内按下图剪下两个内接正方形I、II,这两个正方形的面积哪个大 大多少
在四边形ABCD中有一点P，P点到四条边的垂线段长都是5cm，已知四边形的周长是40cm，求四边形 ABCD的面积。
例2：旋转 平移 拼接
（1）按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形。已知甲三角形两条直角边分别为2和4，乙三角形两条直角边分别为3和6，求图中阴影部分的面积。
（2）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，p是三角形外的一点，其中AP=10厘米，∠BPC=90°，求四边形ABPC的面积。
（3）如图所示的四边形ABCD 中，∠A=∠C=45°,∠ABC =105°, AB= CD=10厘米，连接对角线，∠ABD=30°。求四边形ABCD的面积。
（4）如右图,在直角三角形ABC 中有一个内接正方形BDEF,已知AF=10厘米,DC=14厘米,那么三角形 AFE 的面积是多少平方厘米
例3：
（1）如图，在△ABC 中，BD= 2DC, AE = BE,△BDE 的面积是6平方厘米。求四边形ACDE 的面积。
（2）如图，正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC的长度的2倍。
求:①△DEF的面积；②CF的长。
（3）如图，等边三角形AOB、AOD、DOC围成的等腰梯形，面积等于36平方厘米，M是AB的中点，求阴影部分的面积。
（4）如图,在四边形ABCD中,AB=3BE,AD=3AF,平行四边形BODC的面积是90平方厘米,四边形AEOF 的面积是多少平方厘米
（5）如图所示，三角形ABC的面积是2平方厘米,BE=2AB,BC=CD。求三角形BDE的面积。
（6）如右图,在梯形 ABCD 中,E是AB的中点,F是AD 的中点。已知△BCE的面积为6平方厘米,△ABF的面积为4平方厘米,则梯形 ABCD的面积是多少平方厘米
例4：
（1）如图，大正方形边长是6厘米，小正方形边长是4厘米，两块阴影的面积差是多少
（2）平行四边形ABCD 中,三角形AFD与三角形 EFC的面积谁大 为什么
(3)如图,四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米,问三角形CDH的面积是多少平方厘米
（4）如图，四边形 ABCD 是边长为8厘米的正万形,梯形 AEBD 的对角线相交于点O,三角形BOD的面积比三角形AOE的面积大16平方厘米,梯形AEBD的面积是多少平方厘米？
（5）如下图，点C在线段AE 上,△ABC和△CDE都是等边三角形,且F是BC的中点,G是DE的中点。若△ABC的面积为27,△AFG(阴影部分)的面积是多少？
随堂练习
1、如图,有三个正方形,它们的边长分别是32厘米、40厘米、50厘米,则阴影部分的面积是多少平方厘米？
2、如图, AE=5厘米，CF=2厘米，AB=6厘米,CD=4厘米，∠B=∠D=90°，求四边形AFCE的面积。
3、如图,E是BC上靠近C的三等分点,且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘米。三角BDE的面积是多少平方厘米
4、如图所示，两块阴影部分面积相差多少平方厘米
5、如图，在三角形ABC中，CD=2BD,AC=4AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，那么，△ABD 与△EDC的面积之和是多少
6、如图,BE=3AB,BC=CD,三角形ABC的面积是15平方厘米,求三角形BDE的面积。
7、在直角梯形ABCD中,AB=8cm,BF=6cm,EF//AB,求三角形CED的面积。
第九讲 长方体和正方体的表面积
例1：一个长方体，沿着长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比原来减小24平方厘米。求所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？
能力冲浪1
1、把一个长20cm，宽12cm，高10cm的长方体木块锯成两个相同的小长方体，每个小长方体表面积最大是多少？最小是多少？
2、24个棱长1cm的小正方体，拼成一个大长方体。这个长方体表面积最大是多少？
3、两块相同的长方体木块粘成了一个正方体，表面积减少了80cm2。求原来每个长方体的表面积。
4、有 2001 个棱长为 1 厘米的小正方体，要拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是多少？最小是多少？
例2：如图所示是由16块棱长为3厘米的小正方体垒成的它的表面积是多少平方厘米？
能力冲浪2
1、如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。
（1）这个物体的表面积是多少
（2）要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少
2、一个机器零件的形状如图所示，算一算它的表面积是多少平方厘米？
例3：如图所示，在一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块中挖去一个棱长是2厘米的小正方体的孔。这个长方体现在的表面积是多少
能力冲浪3
1、如图所示，从一个棱长为10厘米的正方体木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少
2、如下图所示，在一个棱长为6厘米的正方体的6个面的正中间位置各挖去一个棱长为2厘米的小正方体。挖去后，剩余物体的表面积是多少
3、一个长方体长10cm,宽8cm，高6cm，在长方体的上面挖去一个棱长2cm 的正方体。剩下部分的表面积是多少？
例4：把一个棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中，三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个？
能力冲浪4
1、一个棱长5cm的正方体，表面涂上红漆后，再切成棱长1cm的小正方体。
一面有红漆、两面有红漆、三面有红漆的小正方体分别有多少块？
2、如图所示：把一个长7厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块问：
切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色
（2）切开后，有多少个小正方体木块没有染上色（切面都是白色）
3、将一个表面涂有蓝色的长方体分割成若干个1立方厘米的小正方体，其中没有涂色的小正方体只有3块。两面涂色的小正方体有（ ）个，原来长方体的体积是（ ）立方厘米。
4、一个正方体，在它的每个面上都涂上颜色。再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体有54个，大正方体的棱长是几厘米？
随堂练习
1、两块相同的长方体，长、宽、高分别是12cm、6cm、4cm。把它们粘成一
个大的长方体。大长方体表面积最大是多少？
2、一个长方体木块，长80dm，宽，高都是60dm。在一端锯下一个最大的正方体。原来木块的表面积减少多少平方分米？
3、如图所示，一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来长方体的表面积增加了50平方厘米。这个正方体的表面积是多少平方厘米
4、一个棱长6cm的正方体木块。在它的一角切去一个棱长2cm的小正方体。
剩下部分的表面积是多少？
5、一个长方体，它的高和宽相等，若把长去掉2.5厘米，就成为表面积是150平方厘米的正方体，问长方体的长是宽的多少倍？
6、把19个棱长3厘米的小正方体重叠起来，拼成下图的几何体。分别求它的表面积。
7、把一个表面都涂上颜色的正方体木块切成64个大小相同的小正方体。
（1）三面涂色的小正方体有　 　个。
（2）两面涂色的小正方体有　 　个。
（3）一面涂色的小正方体有　 　个。
8、把一个长6厘米、宽3厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图所示。
（1）切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色
（2）切开后，有多少个小正方体木块没有染上色
9、把一个六个面都涂上红色的正方体木块，锯成多少块相同的小正方体时，两面涂红色的小正方体为48块？
第十讲 长方体和正方体的体积
例1：一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面积增加了80平方分米。原来正方体的体积是多少立方分米
能力冲浪1
1、从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四角取掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
2、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。求原长方体的表面积。
例2：有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再垂直竖起来，那么容器里面的水深多少厘米
能力冲浪2
1、一个密封的长方体玻璃箱ABCD-EFGH里面装水，从里面量长AB为30厘米，宽BC为10厘米，高CG为15厘米，水深5厘米。如果把箱子ADHE面作为底面放在桌面上，那么水深多少厘米
2、有大、中、小三个正方形水池，它们的边长分别是6米、3米、2米，把两 堆碎石分别沉没在中、小水池里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？
例3：如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平方厘米，求图中阴影部分(正面）的面积。
能力冲浪3
1、有一个长方体如图所示，它的正面和上面的面积之和是209cm 。如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少
2、一个长方体，它的正面和上面的面积之和是90，如果已知它的长、宽、高是三个连续的自然数，那么这个长方体的体积是多少？
3、下图是一个长为16厘米的长方体的示意图，已知它的正面和上面的面积之和为240平方厘米。若宽和高的厘米数均为质数，则它的体积是多少
例4：在一个棱长为5厘米的正方体上切掉一个三棱柱，如图所示，那么体积减少多少立方厘米
能力冲浪4
1、有一家工厂生产了一种新零件，如图所示，你能算出它的体积吗
2、要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米。砌好这个砖垛共需要多少块砖
3、如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整。那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上
4、一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半，将这个长方体切成如图所示：分成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米，求这个长方体的体积。
5、在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个如图所示的长方体水泥地，墙厚为10厘米，底面利用原有的水泥地，求这个水池的容积？(图中单位：米)
例5：有甲、乙两个水箱，从里面量，甲水箱长12dm、宽10dm、高8dm；乙水箱长10dm、宽8dm、高6dm。甲水箱中水的高度是6dm，乙水箱中水的高度是4dm。现要使两个容器中水的高度相同，这时水深为多少厘米？
能力冲浪5
1、有甲、乙两个水箱，从里面量，甲水箱长12dm、宽8dm、高5dm；乙水箱长8dm、宽8dm、高6dm。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两个水箱的水面高度一样。现在两个水箱的水面高度是多少分米
2、有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高。问：乙水池中水面高多少
随堂练习
1、求这个零件的表面积和体积。(上下两个正方体的棱长分别是2cm、5cm)
2、一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少
3、把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块，锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大正方体，问这个大正方体的表面积是多少平方厘米？
4、一个长方体的纸箱，从里面量长为15厘米、宽为12厘米，体积为1.44立方分米。爷爷想用它装一个长为13厘米、宽为10厘米、高为9厘米的录音机，是否装得下
5、5台挖土机每天工作8小时，4天可挖长40米，宽20米，深3米的一条沟；6台挖土机每天工作5小时，要挖长100米，宽15米，深5米的一条沟，问需要多少天？
6、一个长方体的容器（如图），里面的水深5cm，把这个容器盖紧后竖放，使长10cm、宽8cm的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？
7、长方体的上面和右面的面积之和为91平方厘米，长、宽、高的厘米数均为质数。则这个长方体的体积可能是多少立方厘米？
8、有甲乙两个水箱，从里面量，甲箱长为12分米，宽为8分米，高为5分米；乙水箱长为8分米，宽为8分米，高为6分米。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱里的一部分水倒入乙水箱里，使两个水箱的高度一样。两个水箱的水面高多少分米
9、如图所示，将9块相同的小长方体积木拼成了一个大长方体，已知每块小长方体的体积是48立方厘米，求大长方体的表面积。
第十一讲 物体浸水问题
类型一 完全浸没
1、把一个棱长是4厘米的正方体铁块，放进长是16厘米，宽是8厘米的玻璃缸中，水面上升了多少厘米？（铁块完全浸入水中）
2、一个长方体的玻璃容器，从里面量长和宽均为2.5分米，向容器中倒入8200ml，再把一个桃子放入水中（浸没，水未溢出），这时量得容器内的水深为1.4分米。这个桃子的体积是多少？
3、有一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽，水面高度为5分米，放入一个铁块后，水溢出了20L。问：铁块的体积是多少
4、将棱长是1.6dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.8dm，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2.5dm（水没有溢出），求铁块的体积。
5、在一个长为50厘米，宽为40厘米的装有部分水的长方体玻璃缸中，放入一块棱长是10厘米的正方体铁块，铁块全部浸没，水未溢出，这时水深是20厘米。若把这个铁块从缸中拿出来，缸中的水面高是多少厘米？
6、有一个容量5升的水桶。水桶里已经装了3.38升的水。弟弟把边长3厘米的正方体铁块一个一个放入水桶中，当放入第 个铁块时，水会开始溢出水桶。
类型二 未完全浸没
1、在一个长8m、宽5m、高3m的水池中注满水，然后把两根长4m、宽2m、高3m的石柱立着放入池中，溢出水池的体积是多少？
2、有一个长方体水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米，水箱中的水高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米
3、在长、宽、高分别为10厘米、10厘米、6厘米的长方体容器中盛有深4厘米的水。若向容器中放入一个棱长为5厘米的正方体铁块，则水深变为多少厘米
4、一个长方体玻璃容器，从里面量长30cm、宽20cm、高18cm，现在往容器中倒入6L水。问
（1）水面距离容器底多少厘米

（2）如果有一块长和宽都是5cm、高24cm的长方体铁棒横着完全浸没在水中，水面会上升多少厘米
（3）铁棒横着完全浸没在水中后，水与容器接触的面积最多是多少平方厘米
（4）如果铁棒是竖着放进容器，水面会上升多少厘米 （得数保留一位小数）
5、一个无盖长方体水箱的底面积是3600cm2，在水箱中直立着一根高1m，底面积为225cm2的方钢，这时水箱里的水深0.6m，如果把方钢取出，水箱里的水深是多少厘米？
6、在一个棱长20cm的正方体容器里注满水，把一根长36cm2横截面是12平方厘米的方钢垂直地插入水中，现把方钢垂直提离水面使露出部分是30cm，这时水面下降了多少cm
7、一个长方体容器，底面是一个边长为60cm的正方形，容器里直立着一个高1m，底面正方形边长为15cm的长方体铁块，这时容器里的水深50cm(如图一)，现在把铁块轻轻向上提24cm(如图二），露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米
8、一个长方体容器，长50cm、宽40cm。容器里直立一根高1m，底面边长为20cm的长方体铁块，这时容器里的水深40cm。现在把铁块轻轻向上提起20cm.那么露出水面的铁块上被浸湿的部分长多少厘米？
随堂练习
1、有一个底面积是300平方厘米，高是10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。现在把一块石头浸没到水里，水面上升了2厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
2、一个长方体玻璃容器,从里面量长、宽均为3dm,向容器中倒入13L水。把一个苹果放入水中,这时量得容器内的水深是15cm。这个苹果的体积是多少？
3、一个长方体长和宽都是2分米的玻璃容器里有12升水，若将一个石头浸没在水中时，水深3.5分米，这个石头的体积是多少立方分米
4、把一个棱长是8厘米的正方体铁块放入一个长32厘米、宽16厘米、水深4厘米的长方体水池中，水面上升多少厘米 （精确到0.01）
5、将一个棱长5cm的正方体铁块放进一个盛有水的长方体容器内，水溢出15mL。已知长方体容器长11cm、宽6cm、高10cm，原来水高多少厘米
6、一个长方体容器的底面是一个边长10厘米的正方形，容器里直立着一个高15厘米、底面边长4厘米的长方体铁块，这时容器里的水深5厘米，如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？
7、一个装有水的长方体水箱，它的底面积是70平方厘米。水深是15厘米，现将一个底面积是20平方厘米，长35厘米的长方体铁棒垂直放入水中后，还有一部分铁棒露在外面，这时水面的高度是多少厘米
8、在一个长10cm，宽8cm，高15cm的长方体水槽中装有水，水深4cm，把一个长4cm、宽4cm、高12cm的长方体钢材垂直放入水槽，水面上升几厘米？
第十二讲 最大公因数
例1：108和144的最大公因数是_________。
能力冲浪1
1、求56、36、284的最大公因数。
2、求1008、1260、882和1134的最大公因数。
例2：把一张长60厘米、宽48厘米的长方形纸，裁成若干个相等的小正方形而没有剩余，小正方形的面积最大是多少？
能力冲浪2
1、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育锻炼，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱。最多每组多少人？每班各分多少组？
2、有一块木料，长3.2米、宽1.44米、高0.96米。现在将这块木料锯成体积相同而且是最大的正方体，总共可锯成多少块
3、有长方形土地一块，长532米、宽308米，现在四角和四周植树，两棵树之间的距离相等且要求最大。求一共能植树多少棵 两棵树之间的距离是多少
例3：甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公因数是16，求这两个数。
能力冲浪3
1、甲、乙两个数的乘积是3174，最大公因数是23，求这两个数。
2、两个两位数的的乘积是2635，这两个数的和是多少？
3、马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少
例4：已知甲、乙两个数的和是125，它们的最大公因数是25，求这两个数。
能力冲浪4
1、两个数的最大公因数是21，这两个数的和是105，求两个数各是多少？
2、两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，则这两个数的差是多少？
3、三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公因数之和的最大值为多少？
例5：一个数，去除 410 余 5，除 242 时少 1，除 550 时余 10。这个数是多少？
能力冲浪5
1、用某数去除425余5，去除500差4，去除300余6，这个数最大是多少？
某个大于1的自然数分别除442、297、210，得到相同的余数，则该自然数是多少？
例6：有许多种方法能将2004写成10个大于0的自然数 (可以相同，也可以不相同)的和，对于每一种方法，这10个数都有相应的最大公因数。那么这些最大公因数中的最大值是多少？
能力冲浪6
1、十个不同自然数的和等于1001，这10个数的最大公因数可能取的最大值是多少？
随堂练习
1、24和36的公因数有 ，最大的公因数是 。
2、把160支铅笔、128本练习本、96册故事书，分成若干份同样的奖品，最多可以分多少份，每份中有铅笔 支，练习本 本，故事书 册。
3、把一个长4.5分米、宽3.6分米、高2.4分米的长方体木块切成大小相等的小 正方体木块，不许有剩余。小正方体木块的体积最大是多少？
4、求140、350、1960的最大公因数。
5、1500有多少个因数？所有的因数的和是多少？
6、两个自然数的和是432 ，它们的最大公约数是36 ，求这两个数。
7、小新、小文和小辰三个人绕操场跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是40秒、45秒和1分钟。现在三个小伙伴同时从起点出发，最少要多少时间才能同时在起点处相遇
8、一条道路由甲村经过乙村到丙村。己知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距680米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少？
第十三讲 最小公倍数
例1：某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每8分钟发一辆车，第二条每12分钟发一辆车，第三条每15分钟发一辆车。早上5:30三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是19：30。请问：该总站最后一次三辆车同时出发是什么时候
能力冲浪1
1、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几时钟
2、俱乐部有5个活动小组，文学小组每隔1天活动一次，计算机小组每隔2天活动一次，外语小组每隔3天活动一次，书画小组每隔4天活动一次，文娱小组每隔5天活动一次，4月1日晚上五个小组同时在俱乐部活动，以后则按上述规定进行，从不间断。4月，5月、6月这三个月中有几个晚上一个小组都没有活动？
例2：用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？
能力冲浪2
1、一条公路上共有37根电线杆，原来每两根之间相距50米，现在要改成每两 根之间相距60米，除起点的一根不需要移动外，还有几根也不需要移动？
2、大雪后的一天，小明和爸爸共同测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走 的方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合， 所以走完一周后留下60个脚印，则花圃周长是多少厘米？
例3：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，乙数是多少？
能力冲浪3
两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，这两个数分别是多少？
2、两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。
3、甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的和为240，且甲数为它们最大公因数的5倍，乙数为它们最大公因数的3倍，求甲、乙两数。
4、设有三个数26、52、X，它们的最大公因数是13，最小公倍数是156，则X是几？
例4：甲、乙两个数的乘积是3174，最大公因数是23，求这两个数。
能力冲浪4
1、甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公因数是16，求这两个数。
2、两个正整数的乘积是384，最大公因数是8，其中小数不能整除大数，这两个数分别是________。
3、两个数的乘积是540，最小公倍数是90，则这两个数分别是多少？
例5：已知甲、乙两个数的和是125，它们的最大公因数是25，求这两个数。
能力冲浪5
1、两个数的最大公因数是21，这两个数的和是105，求两个数各是多少？
两个自然数之和是50，它们的最大公因数是5，那么这两个自然数的差最小是多少？
3、两个自然数的最大公因数是7 ，最小公倍数是210，这两个自然数的和是77。求这两个数。
例6：500名学生排成一行，先从左到右1～5报数，再从右到左1～6报数，则既报1又报6的学生有几名？
能力冲浪6
1、将2004名同学排成一行，先从左到右依次按1,2,3,1,2,3,1,2,3……的顺序报数，再从右到左依次按1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4……的顺序报数，那么两次都报1的同学一共有几名？
2、78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1~18循环报数。如果一圈一圈地报下去，有多少个小朋友报过数字1？有没有小朋友同时报过5和10？
例7：有一批图书，总数在1000本以内。若每24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若每28本书包成一捆，最后一捆还是差2本；若每32本书包成一捆，则最后一捆是30本。那么这批图书共有多少本？
能力冲浪7
1、一个盒子里有不多于200块糖。如果分别以2块、3块、4块或6块的方式取出糖，盒子内总是剩下1块，但每次以11块的方式取出糖，则刚好取完。问：盒子里共有多少块糖？
随堂练习
甲数是18，甲、乙两数的最大公因数和最小公倍数分别是6、126，那么乙数是多少
2、已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两数的和是多少
3、两个整数的和是95，最小公倍数是450，求这两个数。
4、两个自然数的乘积是240，最小公倍数是60，则这两个数分别是多少
5、A、B两个数的最小公倍数是210，它们的积是1260，它们的和是72。求这两个数的差。
6、两个自然数的最大公因数是18，最小公倍数是180，这两个数的差是54，求这两个数。
7、两个自然数的差是4，它们的最大公因数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。
8、放暑假的前一天，静静、小刚和阿罗三位好朋友商量好暑假里去“快乐图书城”看书。静静每2天去一次，小刚每3天去一次，阿罗每4天去一次，7月2日那天，他们三人第一次在图书馆相遇，那么，下一次相遇在几月几日
9、小华从家到邮局的路上每隔50米有一根电线杆，加上两端的两根一共有55根电线杆。现在进行线路改造，改成每隔60米安装一根电线杆，那么包括两端共有多少根不必移动？
10、幼儿园一个班借阅图书，若借35本，平均分发给每个小朋友还差1本；若借56本，平均分给每个小朋友后还剩两本；若借69本，平均分发给每个小朋友后则差3本。这个班的小朋友最多有多少人？
第十四讲 带余除法
例1：有一堆苹果，不论分成5个一堆，还是8个一堆，最后都多出2个。这堆苹果至少有多少个？
能力冲浪1
1、同学们做操，排成3行少1人.排成4行多3人,排成5行多4人。至少有多少人做操
2、有一堆小棒，9根一捆多7根，10根一捆多8根，15根一捆多13根。这堆小棒至少有多少根
3、学生们在马路一侧的树上挂标志牌，若每隔4棵树挂一块，则最后一块标志牌后有3棵树；若每隔6棵树挂一块，则最后一块标志牌后有4棵树；若每隔12棵树挂一块，则最后一块标志牌后还有11棵树。问路的一侧共有多少棵树？
例2：一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4个，11个一数多9个，这堆糖果至少有多少个？
能力冲浪2
1、一盒围棋子，四只四只数多3只，六只六只数多5只，十五只十五只数多14只，这盒围棋子的数量在150～200只之间，这盒围棋子有多少只？
2、六（3）班几十名学生分组进行课外活动，若5人一组则少1人，若6人一组则少1人，若8人一组则少5人，问此班有多少名学生？
3、一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个地数余1个，五个五个地数余2个，七个七个地数余6个，这篮鸡蛋至少有多少个？
例3：一个自然数，除以4余2，除以10余8，除以25余23。这个数最小是多少？
能力冲浪3
1、某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少
2、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余4。这个数最小是多少？
3、一个数除以3余1，除以5余3，除以7余4，这个数最小是多少
例4：在1—100中，哪个自然数除以3，除以5都余1，且能被7整除
能力冲浪4
1、某实验小学鼓号队的学生在操场上列队，只知道人数在90~110之间，排成3列无余，排成5列不足2人，排成7列不足4人。共有学生多少人参加列队？
2、已知2008被一些自然数除，得到的余数都是10，这些自然数共有多少个？
3、甲、乙两人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得
的商与乙所得的余数之和为13，求甲所得的余数。
例5：如果某数除492、2241、3195都余15，那么这个数是多少？
能力冲浪5
1、713、1103、830、947被某一自然数除，所得余数相同（不为零），求除数。
2、三个数23、51、72各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，那么这个除数是多少？
3、有三个自然数a、b、c，已知b除以a，商3余3；c除以a，商9余11。那么c除以b，得到的余数是多少？
随堂练习
1、同学们做操,无论排成6人一行,8人一行,10人一行,最后一行都只站3人。至少有多少人做操
2、一个数除以5余4，除以9余7。这个数最小是多少
3、一个整数,除以8缺3，除以12余5，除以18余5。这个数最小是多少
4、一个数,除以3余2，除以5余4，除以7余3，这个数最小是多少
5、某班同学排队，如果每队3人，就多出1人；每排5人，就多出3人；每排7人，就多出2人。这个班至少有多少同学？
6、被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少
7、已知一个两位数除1477，余数是49。那么满足这样条件的所有两位数有几个？
第十六讲 分数提升题
例1：一个分数，分子与分母的和是24，如果分子减去2，这个分数就等于1。那么原分数是多少？
能力冲浪1
1、一个分数，分子分母之和是30，如果是分子上加8，这个分数就是1。这个分数是多少？
2、一个分数约成最简分数是，原来分子分母和是185，原分数是多少？
3、一个分数，分子与分母的和是128，如果分子乘3，这个分数就等于1。原分数是多少？
例2：的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后是，同时减去的数是多少？
能力冲浪2
1、的分子和分母同时减去一个数，约分后得，减去的数是多少？
2、的分子分母同时减去一个数化简后得，求所减的这个数是多少？
3、的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后是，同时减去的数是多少？
例3：一个最简分数的分子加上3，这个分数就等于；如果它的分子减去3，这个分数等于，原来的最简分数是多少？
能力冲浪3
1、一个最简分数，如果它的分子加上一个数，那么这个分数就等于；如果它的分子减去同一个数，那么这个分数就等于，原来的最简分数是多少？
2、一个最简分数，在它的分子上加上一个数，这个分数就等于；如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于。这个分数为多少？
3、一个分数分子加上1，其值是1；分子减去1，其值是。求这个分数。
例4：一个真分数的分子、分母是连续的两个自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是。原来这个分数是多少？
能力冲浪4
1、一个真分数的分子、分母是连续的两个自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是。原来这个分数是多少？
2、一个真分数的分子、分母是相邻的奇数，如果分母加上3后，这个分数约分为。求原分数是多少？
3、一个分数分子与分母的和是最大的两位质数，如果分子增加1，那么这个分数就等于1。这个分数是多少？
例5:一个分数的分子加上2，这个分数是1；如果给这个分数的分母加上1，那么这个分数就是。原来的分数是多少
能力冲浪5
1、一个分数的分子加上2，这个分数是1；如果给这个分数的分母加上1，那么这个分数就是。原来的分数是多少
2、的分子减去某数，而分母加上同一个数后约分为。求某数。
3、一个最简分数，如果分子加上1，分子比分母少3；如果分母加上1，则这个分数的分数值是。原分数是多少？
例6：在的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
能力冲浪6
将下列各分数写成两个不同的单位分数：
1、 2、
例7: 将 分拆成三个不同的单位分数之和(任求两解)。
能力冲浪7
将下列各分数分拆成三个不同单位分数之和。
1、 2、
3、 4、
例8：在下面的括号里面填上适当的数字。（各不相同）
能力冲浪8
在下列等式中的括号填上适当的各不相同的自然数，使等式成立。
例9：已知a、b都是自然数，且 ，求a和b的和。
能力冲浪9
将下列各分数写成两个单位分数之差。
1、(1) (2)
(3) (4)
随堂练习
1、一个分数化成小数后是0.45，如果这个分数的分子缩小到原来的，分母扩大到原来的3倍，再化成小数是（ ）。
2、一个分数，把它的分子扩大到原来的2倍，分母缩小到原来的后得到2，原来的分数是（ ），它的分数单位是（ ）。
3、一个分数的分子和分母的和是25，如果分子减去1，那么这个分数就等于2。原数是多少？
4、有一个分数，分子加上1后可约分为，分子减去1后可约分为。求这个分数。
5、 将一个最简分数的分子加上一个数，约分后就等于；如果将它的分子减去同一个数，约分后就得。这个最简分数是多少？
的分子、分母同时加上多少后为？
把一个最简分数的分子加上1，这个分数就等于1；如果把这个分数的分母加上1，这个分数等于。原分数是多少？
8、一个真分数的分子和分母相差102，若这个分数的分子和分母都加上23，所得的新分数约分后得。这个真分数是多少？
9、的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后是。同时减去的数是多少？
10、将下列各分数分拆成不同单位分数之和。（保留过程）
（1）
（2）
（3） （4）
第十七讲 分数比较大小
例1：比较、、、这四个分数的大小。
能力冲浪1
1、将下列的分数由小到大的排列起来。
、、、
2、将下列分数由小到大排成一列不等式。
、、、、
3、将下列分数由大到小排成一列不等式。
、、、
4、，。试比较A和B的大小。
例2：比较、、三个分数的大小。
能力冲浪2
将按从小到大的顺序排列出来。
2、比较和的大小。
3、比较和的大小。
4、比较的大小。
5、将下列分数由小到大排成一列不等式。
、、、
6、比较与0.001的大小.
例3：比较的大小。
能力冲浪3
1、比较的大小。
2、比较的大小。
例4：比较的大小。
能力冲浪4
如果A=，那么A与B中较大的数是多少？
试比较的大小。
3、小林写了八个分数，已知其中的五个分数是、、、、，如果这八个分数从小到大排列的第四个分数是，那么按从大到小排列的第三个分数是 。
例5：，试比较A与0.003谁大谁小。
能力冲浪5
如果，试比较A与的大小。
随堂练习
比较和的大小。
把、、和按从小到大的顺序排列。
在、、、、五个分数中，按从大到小的顺序排列。
4、把下面的分数按从小到大的顺序排列。
、、、、。
5、有八个数，是其中的六位数，如果从小到大排列时，第四个数是0.5111…，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？
6、比较的大小。
7、用A表示下面的积：，问：A与0.01相比,谁大谁小
第十八讲 平面图形（三）
例1：
（1）将一张矩形纸片按如图所示的方式折叠，使得纸片的一个顶点落在一条短边的中点上。若阴影部分的两个三角形是彼此全等的三角形，并且未折叠前的矩形纸片的短边长度是12厘米，请问原来的矩形纸片的面积是多少平方厘米
（2）如图，两个等腰直角三角形ABC和DEF的直角边分别是16厘米和12厘米,求阴影部分的面积。
（3）如图，正方形ABCD的边长为10，四边形EFGH的面积为5，求阴影部分的面积。
例2：
（1）将长为9厘米，宽为6厘米的长方形，划分成四个三角形，其面积分别为S1、S2,S3、S4且S1=S2=S3+S4。求S4。
（2）如图，正方形ABCD边长是7厘米，它的内部有一个三角形BEF,AE长4厘米，DF长2厘米，三角形BEF的面积是多少平方厘米
例3：在正三角形中任意取一点P,连接PA、PB、PC,过P点作三条边的垂线,E、F.G分别为垂足,已知三角形ABC的面积是24cm2,求阴影部分的面积。
例4：
（1）如图，正方形ABCD的面积为1,E是BC边上的中点,求图中阴影部分的面积。
（2）如图，四边形ABCD是一个正方形，边长是6厘米，E、F分别是CD、BC的中点，求阴影部分的面积。
（3）如图,正方形ABCD 的边长是12厘米，CE是4厘米,求阴影部分面积。
例5：
（1）如图所示，长方形甲被分成四个长方形，长开形乙被分成了四个三角形，已知其中三个部分的面积，则甲、乙面积相比较，正确的结论是（ ）。
甲>乙 B.甲<乙 C.甲=乙 D.不确定
（2）如图,在直角梯形ABCD中,三角形AED的面积是16平方分米，三角形BCE的面积是18平方分米，BC边的长度是AD边的1.5倍,两个阴影三角形的面积和是多少？
（3）如右图,长方形ABCD中,△ABP的面积为20平方厘米,△CDQ的面积为35平方厘米。求图中阴影部分的面积。
（4）如图,在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。已知有三块图形的面积分别是13、35、49,那么图中阴影部分的面积是多少
例6：
（1）一个正方形，一边截去10厘米，另一边截去8厘米,剩下的面积比原来少280平方厘米。原来的正方形面积是多少平方厘米
（2）正方形的一组对边各增加14厘米,另一组对边各减少10厘米,结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米
（3）一个长方形，长增加1厘米，宽增加3厘米，面积增加33平方厘米，这时恰好成为一个正方形。那么原长方形的面积是多少平方厘米？
随堂练习
1、把一块正方形操场扩建，长增加45米，宽增加20米，新操场的面积比原来增加了6100平方米。求现在长方形操场的面积是多少平方米？
2、如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD =12厘米，AB=8厘米，BC=15厘米，且△ADE，四边形DEBF及△CDF的面积相等，求三角形EBF的面积。
3、在一个面积为18平方厘米的等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(如右下图)，求图中涂色部分的面积。
4、如图所示,△ABC 中,OA=OD, BD= 2CD,△ABC的面积是80平方分米,图中△AEO 和△ODB的面积和是多少平方分米
5、由已知长方形ABCD的面积是120 cm2,E、F是长、宽的中点,求阴影部分的面积。
6、求图中阴影部分的面积。
7、如右图,直角梯形 ABCD 中,AE垂直CD于E,AE交BD于O,AB=15厘米,BC=12厘米，阴影部分的面积是15平方厘米。梯形ABCD 的面积是多少平方厘米
第十九讲 分数巧算
例1：
能力冲浪1
1、
2、
例2：
能力冲浪2
1、1-
2、
3、
例3：计算
能力冲浪3
1、
例4：
能力冲浪4
1、
2、
3、
例5：
能力冲浪5
1、
2、
例6：
能力冲浪6
1、
2、
3、
例7：
能力冲浪7
1、
2、
例8：
能力冲浪8
1、
2、（1+++）×（+++）－（1++++）×（++）
随堂练习
1 -
第二十讲 图像问题
1、甲、乙两小车在同一个地点同时同向做匀速直线运动，它们的s-t图象如图所示，由图象可知（ ）。
A.甲车的速度大于乙车的速度
B.甲车的速度等于乙车的速度
C.甲车的速度小于乙车的速度
D.条件不足，不能确定
2、甲、乙两车同时同地向相同的方向运动，它们的s-t图象如图（a）（b）所示，则下列说法正确的是（ ）。
A.甲车的平均速度等于乙车的平均速度
B.甲车的平均速度小于乙车的平均速度
C.乙车的平均速度等于4m/s
D.经过3秒，甲车在乙车前面的0.3m处
3、甲、乙两物体同时同地向东出发，其运动的s-t图象如图所示。
（1）物体甲在OA段的运动速度（ ）（选填“大于”“小于”或“等于”）BC段的运动速度；物体甲在AB段处于（ ）状态。
（2）在整个运动过程中，物体甲的平均速度比物体乙的平均速度（ ）。
4、物体甲、乙、丙、丁做匀速直线运动的路程随时间变化的关系图象如图所示，关于物体运动情况，下列说法正确的是（ ）。
A.甲物体的速度比乙物体的速度大
B.在t=25min时，甲、乙、丙三物体运动的速度是相等的
C.在t=25min时，甲、乙、丙三物体走过的路程一样大
D.在t=20min时，乙、丁两物体相遇
5、一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车。设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：
（1）甲乙两地之间的距离为( )千米；
（2）求快车和慢车的速度；
（3）求在点D时两车之间的距离，在点E时的时间。
6、一辆汽车出发前油箱中有36升汽油，行驶若干小时后，在途中加油若干，油箱中的剩余油量（升）与行驶时间t（时）之间的关系如下图，请根据图象填空:
（1）汽车行驶了________小时后加油。
（2）中途加油_______升。
（3）加油后油箱中的油最多可以行驶________小时。
（4）如果加油站距离目的地还有220千米，汽车每小时行驶40千米，汽车到达目的地油箱中的池是否够用？说明理由。
7、如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象．根据图象解答下列问题：
（1）甲乙两港之间的距离是________千米；
（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？
（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
8、下面折线图是教育专线公交车从A 站过B 站到C 站以及返同时的路程与时间的关系。去时在B 站停车，而返回时B站不停，去时的行驶速度为每分钟600米。那么此公交车往返时的平均速度是多少？
如下图，电车从A 站经过B 站到达C 站，然后返回。去时在B 站停车，而返回时不停。去时的车速为每小时48千米。
（1）A 站与B 站相距( ) 千米，B 站与C 站相距( )千米。
（2）返回时每小时行多少千米？
（3）电车往返的平均速度是多少千米/时？
10、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y，图中的折线表示y与x之间的关系。
（1）甲、乙两地之间的距离为 千米；
（2）请解释图中点B 的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度。
第二十一讲 行程问题
例1：客车和货车同时从A、B两地相向开出，客车每小时行80千米，货车每小 时行60千米，两车在距中点30千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？
能力冲浪1
1、甲、乙两辆车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地85千米处相遇。相遇以后两人继续前进，到达目的地后立刻返回，第二次相遇在离B地45千米处。A、B 两地相距多少千米？
2、小明跑步的速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天，由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。小明每天步行上学要多少分钟？
3、甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍。现在甲在乙的后面250米，乙追上甲需要多少分钟？
例2：有小姜、小仪、小琳三个小朋友,小姜每分钟走80米,小仪每分钟走70米,小琳每分钟走60米。现在小姜从A地,小仪和小琳从B地同时出发相向而行,小姜和小仪相遇后,过了5分钟又小琳相遇。那么,A、B两地相距多少米
能力冲浪2
1、甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。
2、甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。甲、乙二人从B地同时同向出发，丙从A地同时同向去追甲和乙。丙追上甲后又经过10分钟才追上乙。求A、B两地的路程。
例3：狗和兔进行100米赛跑，当狗跑到终点时，兔离终点还有10米；如果兔的起跑线不变，狗将起跑线向后移10米，那么先到达终点时，后者离终点多少米？
能力冲浪3
1、王云和陈芝进行200米赛跑，王云让陈芝先跑30米自己才起跑。当陈芝离终点90米时，王云离终点100米。那么，先到的到终点时，另一人距终点多少米？
2、张平和李华进行200米赛跑，同时起跑，当张平离终点80米时，李华离终点140米；张平跑到终点时，李华离终点多少米？
3、甲、乙、丙三人都以均匀的速度练习400米跑步，同时起跑，当甲到达终点时，乙离终点80米，丙离终点160米；当乙到达终点时，丙离终点多少米？
例4：一只猎狗发现在离它18米远的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去，猎狗跑2步的路程狐狸要跑3步，而猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，猎狗跑多少米能追上狐狸？
能力冲浪4
猎狗追赶前方15米处的野兔，猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步，猎狗至少跑出多少米才能追上野兔？
2、猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？
3、主人追他的狗,狗跑3步时间主人跑2步，但主人的1步距离是狗的2步距离,狗跑出10步后,主人开始追,主人追上狗时,狗共跑出了多少步
例5：甲、乙两队学生同时从学校出发去距离42千米的郊外夏令营，只有一辆车接送，且只能乘坐一个队的学生。 甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生并直接开到营地，结果两队学生同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米，汽车载学生时的速度为每小时 40 千米，空车速度为每小时 50 千米，求他们在路上共用了多少小时？
能力冲浪5
1、A、B两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座只可带1人。问：有三人(包括骑摩托车的人) 丙配备一辆摩托车从A地到B地最少要多少小时？
甲、乙两人同时从 A 地出发沿公路向距离为60千米的B地前进，路上两人或者骑车或者步行。由于仅有一辆自行车，所以途中任一时刻至多有一人骑车。骑车的人可以随时将车放在路上继续步行前进，也可以不骑车。结果甲比乙晚2小时， 若步行速度为每小时 5千米，骑车速度为每小时15千米，则甲至少步行多少千米？
3、有150名同学要到相距90千米的某地参加活动，但只有一辆可乘50名的汽 接送学生。汽车的速度是每小时70千米，若同学们步行的速度是每小时10千米， 请设计一种乘车和步行的方案，使150人全部到达目的地所需时间最少。 (上、下 车时间忽略不计)
例6：两个小朋友在地上玩电动玩其汽车相遇游戏，甲车每分钟走50厘米，乙车每分钟走60厘米，如果两车同时从两地相向开出，当然会在同一地点相遇。这一次，甲车先出发，结果两车提前1分钟相遇。那么，甲车比乙车提前几分钟出发
能力冲浪6
B两镇之间每天有公交车往返行驶，早上六点半两站准时发车，并且在同一地点相遇。某天A镇的公交车因故提前出发,于是比平时早6分钟与B站的车相遇。A镇车每分钟行500米,B镇车每分钟行450米,那么这一天A镇车早出发几分钟
随堂练习
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？
2、 甲、乙两地间的路程是600千米，上午 8 时客车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，货车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地。要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几时出发？
3、从甲地到乙地，先骑自行车行驶19分钟，再骑摩托车行驶8分钟到达。如果骑摩托车行驶10分钟，再骑自行车行驶13分钟也恰好到达。如果全程都骑自行车，要行多少分钟？
4、甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟 100米、90米、75米。甲在公路上的A处，乙、丙在公路上的B处，三人同时出发， 甲与乙、丙相向而行。 甲和乙相遇 3 分钟后， 甲和丙又相遇了。求 A 、B 之间的距离。
5、小林和小磊沿着同一条100米的跑道赛跑，小林由起跑线上起跑，小磊在小林后8米处同时起跑，当小林离终点还有12米时，小磊追上他．那么当小磊跑到终点时，小林离终点还有几米？
6、一只野兔逃出100步后猎狗才开始追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步，猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？
7、甲、乙两班学生同时从学校出发去距离35千米的公园玩，学校只有一辆汽车接送，恰好能乘坐一个班的学生。已知学生步行速度为每小时 4 千米，汽车载学生时的速度为每小时40千米，空车速度为每小时50千米。两个班的学生在最短时间内同时到达公园需用多少小时？
第二十二讲 时钟问题
例1：已知钟表上60小格，一圈是360度，则分针1小时转多少度 时针1小时转多少度 分针速度是时针速度的多少倍
能力冲浪1
1、3:00时，分针落后时针 度，15分钟内，分针走 度，时针走 度，因此3:15时，时针与分针的夹角是 度。
2、当时钟表示1时45分时，时针和分针所成的钝角是多少度
例2：现在是12时，从现在开始，分针与时针什么时刻第一次重合在一起
能力冲浪2
1、现在是2时，从现在开始，分针与时针什么时刻第一次重合在一起 第二次呢
2、现在是7时40分，从现在开始过多长时间时针与分针第一次重合
例3：现在是3时，从3时到15时，12个小时内时针与分针共重合几次
能力冲浪3
1、某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为550，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是550。那么此人外出多少分钟
2、在7时到8时之间的什么时刻，钟面上时针与分针成30度角
例4：6时钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角
能力冲浪4
1、8时多少分的时候，分针与时针第一次形成75度角
2、在9时到10时之间的什么时刻，钟面上时针与分针成30度角
随堂练习
1、在16时16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是多少度
2、有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合
3、2时钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角 什么时刻第二次成直角
4、现在是12时40分，时针与分针所成的钝角是多少度
5、在8时到9时之间的什么时刻，钟面上时针与分针成30度角
第二十三讲 幻方与数阵
例1：如图所示，将1~9这九个自然数填入3×3的方格表中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。
能力冲浪1
1、将3~11这九个自然数填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
2、用5~13这九个自然数填写一个三阶幻方。
3、将从2开始的9个连续偶数填入下图中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
例2：下图是一个三阶幻方，请说明"幻和"等于3倍的 E 且 D + F =2×E。
能力冲浪2
1、下图是一个三阶幻方，请说明A + B =2×C。
2、请完成下面的三阶幻方。
3、下图是一个三阶幻方，请在下表的空白处填上适当的数。
例3：将1~16这16个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。
能力冲浪3
1、将2~17这16个自然数分别填入下面的各个小格中，使每行每列及每条对角线上四个数的和都相等。
2、将1~16这16个自然数分别填入图中的圆圈内，使五个正方形的四个顶点上的圆圈内的数之和都等于34。
例4：将1~9这九个自然数填入图中的方格内，使每行、每列及对角线上的三个数中，两端之和减去中间数所得差都相等（差阵图）。
能力冲浪4
1、把3~11这九个自然数填入图中的方格中，使它构成一个九宫差阵（即每行、每列、每条对角线上的数，两端之和减去中间数所得的差都相等）。
2、如图所示，将4，5，6，10，11，12，16，17,18这九个数填入九宫格中，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。
例5：用1~25这二十五个自然数构成一个五阶幻方。
能力冲浪5
1、使用"罗伯法"将20~28排成一个三阶幻方。
2、用1~49这四十九个数构成一个七阶幻方。
例6：将1~12这十二个自然数填入图中的12个区域内，使得每个圆圈内的4个数之和都相等。
能力冲浪6
1、将1~9这九个自然数分别填入下图中的九个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等，那么这个相等的和为（ ）（图中有7条直线）。
2、下图中有5个圆，它们相交相互分成9个区域，现在有两个区域里已经分别填上10和6，请在另外七个区域中分别填进2,3,4,5,7,8,9七个数，使每个圆内的数字之和等于15。
随堂练习
1、用8~16这九个自然数填写一个三阶幻方。
2、将5，10，15，20，25，30，35，40,45这九个数填入九宫格中，使其构成一个三阶幻方。
3、在下表的空白处填上适当的数，使其构成一个三阶幻方。
4、下表中九个方格填入的数构成一个三阶幻方。那么，空格“？”处的数是什么？
5、请完成下面的三阶幻方。
6、在下图的六个圆圈内填入1或2，使每个大圆周上的四个数字之和互不相等。
7、在图中的空格内各填入一个数字，使得每行、每列、每条对角线上方格中的四个数都是1,2,3,4。
8、将3~18这16个自然数填入图中的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。
9、将1,3,5,7,9,…,29,31这十六个奇数填入图中的方格里，使每行、每列及每条对角线上四个数的和相等。
10、在下表中填上九个不同的数字，使之成为一个三阶幻方，且幻和为24。

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