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海淀区九年级第二学期期中练习
数学
2024.04
学校
姓名
准考证号
1.
本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分。考试时间120分钟。
考
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
必
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效
须
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
知
考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分
选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，
1.下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为
(A)
(B)
(G)
(D)
2.据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成.将
17500000用科学记数法表示应为
(A)175×10
(B)1.75×10
(C)1.75×10
(D)0.175×10
3.如图，AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°，则∠CBE的大小为
(A)669
(B)64
(C)62°
(D)609
4.实数α在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
321012月→
(A)a≥-2
(B)a<-3
(C)-a>2
(D)-a≥3
5.每一个外角都是40°的正多边形是
(A)正四边形
(B)正六边形
(C)正七边形
(D)正九边形
6.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为
(A)1
(B)-1
(C)4
(D)-4
九年级（数学）第1页（共7页）
【五校】1l-数学（初三）nd2
0244/111506:18
7.现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为◆，。，。.若将这三张扑克牌背
面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为
(A)若
(B)号
(c)号
(D)号
8.如图，AB经过圆心O,CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB,BC是⊙O的切线.再从条件①，条
件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD=BC
条件①：CD平分AB
条件②：OB=V3OA
条件③：AD=AO·AB
则所有可以添加的条件序号是
(A)①
(B)①③
(C)②③
(D)①②③
第二部分
非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若代数式√x-1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
10.分解因式：a3-4a=
1.方程时=3己的解为
12.在平面直角坐标系x0y中，若函数y=(k≠0)的图象经过点A(a,2)和B(b,-2),则
a+b的值为
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=3.点D在射
线BC上运动（不与点B重合），当BD的长为
时，
AB=AD
14.某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长
频数（棵）
数据分成5组：
36
规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测.
36
150≤x<200
3
28
200≤x<250
近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们
2
4
250≤x<300
的高度x(单位：cm),数据经过整理后绘制
20
300≤x<350
6
350≤x<400
的频数分布直方图如右图所示.若高度不低于
2
11
8
300cm的树苗为长势良好，则估计此时该基地
培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的
150200250300350400高度(cm)
有
棵
九年级（数学）第2页（共7页）
【五校灯】1l-数学（初三）nM3
0244/111506:18海淀区九年级第二学期期中练习
数学试卷参考答案
第一部分 选择题
一、选择题 （共 16 分，每题 2 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C D A B B
第二部分 非选择题
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9． x 1 10． a(a 2)(a + 2)
11． x =1 12． 0
13．8 14．940
15．180 16．（1）鲁班锁；（2）1，2，3
三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 5 分，第 20-21 题，每题 6 分，第 22-23 题，每题 5 分，
第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
3
17. 解：原式 = 2 +1+ 2 2 3
2
= 3 +1+ 2 2 3
= 3 3 .
4x 3 5， ①

18. 解：原不等式组为 2x +1
2 x. ②
3
解不等式①，得 x 2 .
解不等式②，得 x 1 .
∴原不等式组的解集为1 x 2 .
4a +1
19. 解： 原式=
b2 2b +1+ 2b
4a +1
= .
b2 +1
第1页，共 8 页
∵b2 4a = 0，
∴b2 = 4a .
4a +1
∴原式=
4a +1
=1.
20．（1）证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD // BC.
∴ AFO = CEO， FAO = ECO .
∵O 为 AC 的中点，
∴ AO =CO .
∴△AOF≌△COE.
∴ AF = EC .
∵ AF // EC ，
∴ 四边形 AECF 为平行四边形.
∵ AE = AF ，
∴ 四边形 AECF 为菱形.
（2）解：∵O 为 AC 的中点， AC = 4 ，
1
∴OA = AC = 2 .
2
∵四边形 AECF 为菱形，
∴ AC ⊥ EF .
∴ AOE = 90 .
∴ 在 Rt△ AOE 中，由勾股定理得OE = AE2 OA2 = 32 22 = 5 .
∵ E 为 BC 的中点，
∴ AB = 2OE = 2 5 .
21. 解：设每平方米木地板的价格为 5x 元，则每平方米瓷砖的价格为 3x 元.
由题意可得， 12 3x + (36+15) 5x =10000 1270 .
解得 x = 30 .
∴5x =150，3x = 90 .
答：每平方米木地板的价格为 150 元，每平方米瓷砖的价格为 90 元.
第2页，共 8 页
22．解：（1）∵函数 y = kx+b(k 0)的图象经过点 A(1,2)和 B(0,1)，
k + b = 2，
∴
b =1.
k =1，
解得
b =1.
∴该函数的解析式为 y = x +1.
（2）1 m 3 .
23．解：（1）32，25；
（2） 60，四；
（3） ＞.
24.（1）证明：∵ BE = BE ，
∴ BAE = BDE .
∵ EDB + EAD = 45 ，
∴ BAE + EAD = 45 ，即 BAD = 45 .
∵ AB 为 O 的直径，
∴ ADB = 90 .
∴ AD ⊥ BG .
∵ AB = AG ，
∴ BAD = GAD = 45 .
∴ BAG = 90 .
∴ AB ⊥ AG .
∵ AB 为 O 的直径，
∴ AG 与 O 相切.
（2）解：连接 BE，如图.
∵ AB = AG ， AD ⊥ BG ， BG = 4 5 ，
1
∴ BD = BG = 2 5 .
2
在 Rt△ADB 中， ADB = 90 ， BAD = 45 ，可得 AB = 2 10 .
1
∴OA = AB = 10 .
2 C A
∵ BAE = BDE ，
O
1 F
∴ tan BAE = tan BDE = .
3
B D G
∵ AB 为 O 的直径， E
第3页，共 8 页
∴ AEB = 90 .
1 1
在 Rt△AEB 中， tan BAE = ，可得 BE = AE .
3 3
由勾股定理得 BE 2 + AE 2 = AB2 .
1
∴ ( AE)2 + AE2 = (2 10)2 .
3
∴ AE = 6 .
∵ BOD = 2 BAD = 90 .
∴ AOF = 90 .
1 10
在 Rt△AOF 中， tan BAE = ，OA = 10 ，可得OF = .
3 3
10
由勾股定理得 AF = OA2 +OF 2 = .
3
10 8
∴ EF = AE AF = 6 = .
3 3
n
25.解：（1） 60n ，5 2 5；
（2） a，7；
（3）15 t 35 .
y = ax226.解：（1）由题意可知，点 (4，0) 在抛物线 + bx (a 0) 上，
∴16a + 4b = 0 .
∴b = 4a .
b 4a
∴ = = 2 .
2a 2a
∴抛物线的对称轴为直线 x = 2 .
（2）① 法一：
ax2令 y = 0，则 +bx = 0 (a 0) .
b
解得 x = 0 或 x = .
a
b
∴抛物线 y = ax
2 + bx (a 0) 与 x 轴交于点 (0，0) ， ( ，0).
a
∵ a 0 ，
∴抛物线开口向上.
b
(ⅰ)当b 0时， 0 .
a
第4页，共 8 页
b b
∴当0 x 时， y 0；当 x 0或 x 时， y 0 .
a a
∵当 0 m 4时，总有 n 0 .
b
∴ 4 .
a
∵ a 0 ，
∴ 4a + b 0 .
b
(ⅱ)当b 0时， 0 .
a
b b
∴当 x 0时， y 0；当 x 或 x 0 时， y 0 .
a a
∴当 0 m 4时， n 0 ，不符合题意.
综上， 4a + b 0 .
法二：
2
∴由题意可知，am +bm = n .
2
若 n 0，则am +bm=m(am+b) 0 .
∵m 0，
∴ am + b 0 .
∵ a 0 ，
b
∴m .
a
b
∴当0 m 时， n 0 .
a
∵当 0 m 4 时，总有 n 0 .
b
∴ 4 .
a
∵ a 0 ，
∴ 4a + b 0 .
② 存在.
b
设抛物线的对称轴为 x = t ，则 t = .
2a
∵ ，
∴当 x t 时， y 随 x 的增大而增大；当 x t 时， y 随 x 的增大而减小.
∵1 k 2 ，
第5页，共 8 页
∴3 3k 6 ， k 3k .
(ⅰ)当 t 1时，
∵ t k 3k .
∴ y1 y2 ，符合题意.
(ⅱ)当1 t 2时，
当 t k 2时，
∵ t k 3k .
∴ y1 y2 .
当1 k t 时，
设点P(k，y1)关于抛物线对称轴 x = t 的对称点为点P '(x0 , y1)，
则 x0 t ， t k = x0 t .
∴ x0 = 2t k .
∵1 k t ，1 t 2，
∴ 2t k 3.
∴ t x0 3.
∵3 3k 6 .
∴ t x0 3k .
∴ y1 y2 .
∴当1 t 2时，符合题意.
(ⅲ)当 2 t 3时，
1 3
令 k = t ，3k = t ，则 y1 = y2 ，不符合题意.
2 2
(ⅳ)当3 t 6 时，
令3k = t ，则 k 3k t .
∴ y1 y2 ，不符合题意.
(ⅴ)当 t 6时，
∵ k 3k t ，
第6页，共 8 页
∴ y1 y2 ，不符合题意.
b
∴ 当 t 2，即 2 时，符合题意.
2a
∵ a 0 ，
∴ 4a + b 0 .
由①可得 4a + b 0 .
∴ 4a + b = 0 .
27.（1）线段 AE 与 BD 的数量关系： AE = 3BD .
证明：连接 BE ，如图 1. A
∵点 D，E 关于直线 BC 对称，
D
∴直线 BC 是线段DE 的垂直平分线.
∴ BD = BE . B C
∴ DBC = EBC = 30 .
∴ DBE = 60 . E
图 1
∴△ DBE 是等边三角形.
∴ BD = BE = DE， BDE = BED = 60 .
∵△ ABC 中， ACB = 90 ， ABC = 30 ，
∴ AB = 2AC .
依题意，得 AD = AC ，点 D 在 AB 上.
∴ AB = 2AD .
∴ BD = AD.
∴ DE = AD.
∴ DAE = DEA= 30 .
∴ BEA= 90 .
AE
∴在 Rt△ABE 中， = tan ABE = tan 60 = 3.
BE
∴ AE = 3BE .
∴ AE = 3BD.
（2）依题意补全图 2，如图.
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方法一：
解：延长 AC 至 F ，使CF = AC ，连接BF ， BE ， EF ，CD，CE ，如图 2.
∵ ACB = 90 ，
∴ AB = BF.
∵ BAC = 60 ，
∴△ ABF 是等边三角形.
∴ AB = AF = BF , BFC = 60 . A
∵点 D，E 关于直线 BC 对称，
∴直线 BC 是线段 DE 的垂直平分线. D
B
∴ BD = BE ， CCD = CE .
E
∴ DCB = ECB .
∵ ACB = DCF = 90 ，
图 2 F
∴ DCA = ECF .
∵ AC = FC ，
∴△DAC≌△EFC.
∴ CAD = CFE .
∵ AE = BD,
∴ BE = AE .
∵ EF = EF , BF = AF ，
∴△BEF≌△AEF.
∴ BFE = AFE = 30 .
∴ CAD = AFE = 30 .
∴ = 30 .
方法二：
解：如图 3，取 AB 中点 F ，连接 DF ，BE ，CD，CE ，设 DBC = .
第8页，共 8 页
∵点 D，E 关于直线 BC 对称， A
∴直线 BC 是线段DE 的垂直平分线.
F
∴ BD = BE ，CD = CE .
D
∴ DBC = EBC = .
B C
∴ EBA= 30 + ， DBA= 30 . E
∵ AE = BD, 图 3
∴ AE = BE .
∴ EAB = EBA= 30 + .
∵ ACB = 90 ， ABC = 30 ，
∴ BAC = 60 .
∴ EAC = 30 .
∴ EAC = DBA .
由（1）可得 AB = 2AC.
∵ F 为 AB 中点，
∴ AB = 2AF = 2BF.
∴ AC = AF = BF.
∵ AC = BF ， EAC = DBA , AE = BD,
∴△ACE≌△BFD.
∴CE = FD .
∴CD = FD .
∵ AD = AD ， AF = AC ,
∴△ADF≌△ADC.
∴ FAD = CAD = 30 .
∴ = 30 .
28.（1）①如图，线段 B'C' 即为所求.
② t 4 或 t 2 .
第9页，共 8 页
（2） 2 2r d 2 2r + a .
第10页，共 8 页

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