资源简介

2024 年春学期九年级第一次学情调查数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D B C D
二、填空题
7. x≥2 8. 1.003×105 9.(a+2)(a－2) 10. 假 11. －4
2 1
12. 乙 13. 2 3 14. 15.13 3
第 6 题解法：
1 1 1 1 1
方法一：S 阴= S△CGE+ S△AED= CG EF + AE DH = CG GH + CG DH = CG(GH + DH )
2 2 2 2 2
1
= CG DG = S△CDG
2
方法二：设三角形①的两直角边分别为 a、b（a由拼图可知：EF= d－a，AE=CH=c，
1 1 1
∴S 阴= S△CGE+ S△AED= c(d a)+ ca = cd = S△CDG
2 2 2
第 15 题解法：
方法一：数形结合法
一次函数 y=kx+2－k 的图像恒过点（1，2），点 A 在直线 y=3 上，点 B 在直线 y=1 上
当 k>0 时，如图 1 所示，m>1，不合题意；
当 k<0 时，m>0，如图 2 所示，由数形结合，0∴EA=FB，易得：1图 1 图 2 图 3
方法二：代数推理法
将 A(m,3)代入 y=kx+2－k 得 km+2－k=3，∴km= k +1<0 ∴k <－1
k 1 1
将 B(n,1)代入 y=kx+2－k 得 kn+2－k=1，∴n = =1
k k
1
∵k <－1 ∴0 1（可结合反比例函数图像解得，如图 3）
k
1
∴1 1 2 ， 即 1k
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第 16 题解法：
方法一：函数思想
y
E G D
A
F
B C x
以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系
设 AE=t（0≤t≤12），过 F 作 FG⊥AD，易知△BAE≌△EGF ∴GF=AE= t，EG=BA=6
∴F（t+6，6－t）∴点 F 在线段 y=－x+12（6≤x≤18）上
当 x=6 时，F1（6，6），当 x=18 时，F2（18，－6）
过 D 作 DH⊥F1 F2，求得 DH=3 2 ，又易求 D F1=6，DF2= DB= 6 5 ，
当 F 在 F1 与 H 之间时，3 2 ≤DF≤6，DF 为整数有 5、6；
当 F 在 F2 与 H 之间时，3 2 ≤DF≤6 5 ，DF 为整数有 5、6、7、8、9、10、11、
12、13 ∴满足条件的点 F 共有 11 个
方法二：图形的变换
BE BQ 2
取 AD 的中点 Q，易求 = = ，易得∠EBQ=∠FBC
BF BC 2
E Q D
∴△EBQ∽△FBC A
∴∠FCB=∠EQB=45°
F
∴点 F 在∠BCD 的角平分线上，
参考方法一，得到满足条件的点 F
B C
方法三：数学猜想（小题小做原则）
由点 E 在线段 AD 上运动，点 F 由点 B 逆时针旋转 90°而得，猜想点 F 也在某一条线段上运动，
取点 E 的起点和终点两种情形，得到点 F 的路径，参考方法一，得到满足条件的点 F
三、解答题
17. （本题满分 12 分）
1
（1）解：原式= 2 1+ ………………………………………………………………………4 分
2
5
= ……………………………………………………………………6 分
2
（2） 解：不等式①的解集为：x≤1………………………………………………………………2 分
不等式②的解集为：x>－2……………………………………………………………4分
不等式组的解集为：－218. （本题满分 8 分）
解：（1）105…………………………………………………………………………………………1 分
108…………………………………………………………………………………………2 分
60+90+105
（2）解： 8500× = 7225 ……………………………………………………4 分
300
答：全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过 90 分钟的约有 7225 人. ………5 分
（3）③ …………………………………………………………………………………………8 分
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19. （本题满分 8 分）
1
解：（1） …………………………………………………………………………………………3分
4
(2)树状图或列表（略）… ……………………………………………………………………6 分
由列表或树状图可知，共有 16 种等可能结果，其中两人抽到同一张卡片的情况共 4 种
………………………………………………………………………………………………7 分
4 1
∴两人抽到同一张卡片的概率 P= = ．…………………………………………………8分
16 4
20. （本题满分 8 分）
解：（1）方法一：由表格可知，抛物线的顶点坐标为（2,3）
2
∴二次函数的表达式可写为 y = a(x 2) +3………………………………………1 分
2
把（1,4）代入 y = a(x 2) +3得：a=1……………………………………………2 分
2
∴二次函数的表达式为 y = (x 2) + 3……………………………………………3分
y = (5 2)2当 x=5 时， + 3 =12
∴被污染的数据为 12…………………………………………………………………4分
方法二：将三个点代入 y=ax2+bx+c 中，求得 a=1、b=4、c=7……………………2分
∴二次函数的表达式为 y = x
2 4x + 7 ……………………………………………3分
其它评分标准与上面一致
（2）不正确…………………………………………………………………………………………5分
3≤y≤19…………………………………………………………………………………………8分
21. （本题满分 10 分）
解：（1）y 甲=80x……………………………………………………………………………………2分
y 乙=60x+30………………………………………………………………………………4分
300 270
（2）由题意得： = …………………………………………………………………7分
a 140 a
1400
解得：a= …………………………………………………………………………………8分
19
1400
经检验：a= 是原方程的解………………………………………………………………9分
19
1400
∴a 的值为 ………………………………………………………………………………10分
19
22. （本题满分 10 分）
M K N
解：（1）过 K 作 KS⊥AG ，垂足为 S 4
1
∵MN∥ 3EO1，O1 O2∥AB∥NP E O1 2 I
G S
∴∠1=∠4，∠2=∠3 A 5
由题意：∠1=∠2
1 P Q
∴∠3=∠4= (180°－∠MNP) =29° C O2
2 F
∵MN∥GA T B D H
∴∠KIS=∠4 =29°………………………………………………………………………………2分
KS KS 5
在 Rt△KSI 中，∠KSI=90°， sin KIS = ∴ KI = = 10.2
KI sin 29 0.49
答：反光镜 KI 的长度约为 10.2cm……………………………………………………………6分
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（2）过 A 作 AT⊥BH，垂足为 T
∵MN∥GI ∴∠5=∠MNP=122°
∵AB∥NP ∴∠GAB =∠5 =122°，
∵GA∥BH ∴∠GAB +∠ABT =180°
∴∠ABT =180°－122°=58° ……………………………………………………………………7分
AT
在 Rt△ATB 中，∠ATB=90°，sin∠ABT=
AB
∴ AT = AB sin 58 = 4 0.85 = 3.4
答：点 A 到直线 BH 的距离为 3.4m. ………………………………………………………10分
23. （本题满分 10 分）
解：（1）连接 DO 并延长交⊙O 于点 P，则点 P 即为所求作的点.作图正确……………………2分
A
理由：连接 OA、OB
方法一：证明△ADB 是等腰直角三角形，∴DA=DB
P
又∵AO=BO ∴PD 垂直平分 AB G O D
由垂径定理：点 是⌒P A B的中点
C
∴CP 平分∠ACB……………………………………………B………………………6分
方法二：证明△DAO≌△DBO，∴∠ADO =∠BDO
证明△ADB 是等腰直角三角形，根据三线合一
∴PD 垂直平分 AB
由垂径定理：点 P 是⌒A B的中点 A
∴CP 平分∠ACB
（2）方法一：连接 OC P H
证明△OBC 是等腰直角三角形 G O D
2
∴OB =OC = BC = 5 2
2 B C
证明△ABD 是等腰直角三角形
1 2 2
∴GD = BG = AB = 4 2 ，OG = OB BG = 3 2
2
∴OD=GD－OG= 2 ………………………………………………………………10分
方法二：连接 OC，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H
2
证明△ABD 是等腰直角三角形，∴AD=DB= AB =8
2
由勾股定理求得 DC=6， ∴AC=14
1 2
由垂径定理得 CH= AC =7，同方法一求得 OC = BC = 5 2
2 2
2 2
由勾股定理求得 OH= OC CH =1
2 2
又 DH=CH－DC=7－6=1 ∴OD= OH HD = 2
方法三：过点 O 作 OH⊥AC，
参考方法一证明△OHD 是等腰直角三角形，参考方法二求得 DH =1
∴OD= 2HD = 2
说明：其他解法参考给分！
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24. （本题满分 10 分）
（1）证明：由折叠可知：∠A =∠E
∵DE∥BC ∴∠E =∠CBF ∴∠CBF=∠A
又∵∠C=∠C ∴△CBF≌△CAB
CB CF
∴ = 即 BC2=CF·AC ……………………………………………………………5分
CA CB
（2）解：过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H A
∵DE∥BC， DE=BC ∴四边形 DBCE 是平行四边形
∴DF=FC
设 DF=FC=k，DE=BC =x，则 AC= x+2k
D
E
由（1）BC2=CF·AC 得：x2= k（x+2k）
解得：x1=－k（舍去） ，x2=2k
F
∴BC =2k，AC= x+2k=4k
∵AB=AC，AH⊥BC ∴BH=HC= k B H C
BH k 1
∴cos∠ABC= = = ………………………………………………………………10 分
AB 4k 4
说明：其他解法参考给分！
25. （本题满分 12 分）
2 1 1
2 y = x = x =
解：(1)①将函数 y = 与 1 2y=8x 联立方程组 x 求得 2 ， 2
x y = 8x y1 = 4 y2 = 4
1 1
∴A( ，4)，C ( ，－4) …………………………………………………………………1 分
2 2
同法求得：B (－2，2)，D (2，－2) …………………………………………………………2 分
证明四边形 ABCD 为平行四边形提供两种解法：
方法一：
过点 A 作 AM⊥x 轴，过点 B 作 BN⊥x 轴，垂足分别为 M、N
证明△AMO≌△CNO，∴AO=CO 同理：BO=DO
∴四边形 ABCD 为平行四边形………………………………………………………………3 分
y
方法二： A
17 B
用勾股定理求出：AO=CO= ，BO=DO=2 2
2
N
∴四边形 ABCD 为平行四边形 G O M x
② S OBA = S 梯形 AMBG－ S AMO － S BGO D
1 5 1 1 1 9
= (2+ 4) 4 2 2 = C
2 2 2 2 2 2
∴ S ABCD = 4S OBA =18……………………………………………………………………6 分
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2 4 2 4
(2)设 A( ，m)，B( ，m)，C ( ，n) ，D ( ，n)
m m n n
方法一：
2 4 4 2 2 2 4 4
∵AB∥CD，AB=CD ∴ xA xB = xD xC ∴ + = ∴ + =
m m n n m n m n
2(m+ n) 4(m+ n)
∴ = ∴m + n = 2(m + n) ∴m + n = 0 ∴m = n………8 分
mn mn
2 4 2 4
∴A( ，－n)，B( ，－n)，C ( ，n) ，D ( ，n)
n n n n
2 2 n2
设 AC 的表达式为：y=kx+b，将 A( ，－n)，C ( ，n)代入得： k = ，b=0
n n 2
n2
∴AC 的表达式为： y = x ，其函数图像经过原点
2
n2
同理：BD 的表达式为： y = x ，其函数图像也经过原点
4
∴AC、BD 的交点坐标为（0，0） …………………………………………………………9 分
方法二：
2 2 mn
设 AC 的表达式为：y=k1x+b1，将 A( ，m)，C ( ，n) 代入得：k1= ， b1= m+n
m n 2
mn mn
∴AC 的表达式为： y = x + (m+ n)同理：BD 的表达式为： y = x + (m+ n) ，
2 4
x = 0
联立方程组得： 由 AB∥CD，AB=CD，∴ xA xB = xD xC
y = m+ n
同方法一求得：m + n = 0 ∴AC、BD 的交点坐标为（0，0）
2 4 2 4
(3) 设 A(m， )，B(s， )，C (n， ) ，D (t， )
m s n t
A
方法一：
∵ ∥ BAB CD，AB=CD ∴ xA xB = xD xC ， yA yB = yD yC G
∴m s = t n 变形得：m+n = t + s
2 4 4 2 2 2 4 4
+ = 变形得： + =
m s t n m n s t H
2(m+ n) 4(s + t) 4(m+ n) m+ n 2(m+ n) D
∴ = = ∴ =
mn st st mn st C
m+ n 2(m+ n) 1 2
∴ + = 0 ∴ (m+ n)( + ) = 0
mn st mn st
1 2
∵mn <0， st <0 ∴ + <0
mn st
∴m + n = 0 = s + t ∴m = n，s = t ……………………………………………11 分
2 2 4 4
∴A(－n， )， C (n， ) ，B(－t， )，D (t， )
n n t t
2 4
求得：AC: y = x ，其函数图像经过原点， BD: y = x，其函数图像经过原点
n2 t2
∴AC、BD 的交点坐标为（0，0） …………………………………………………………12 分
方法二：参考（2）中方法二
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26. （本题满分 14 分）
【定义理解】
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
又∵∠A=2∠C，∠D=2∠B，
∴2∠C +∠B+∠C+2∠B =360°
∴3∠B +3∠C =360°
∴∠B +∠C =120° ……………………………………………………………………………4 分
(1) 方法一： A
∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
又∵四边形 BDEC 是倍对角四边形
E
∴∠ABC+∠ACB=120° D
G
∴∠ABC=∠ACB=60° B C
∴△ABC 是等边三角形
∴AB=AC=BC=2
∵∠DEC，∠BDE 是倍角
∴∠BDC=∠BDE=120°
∴∠ADE=∠ FAED=∠CEG=60°
∴△ADE 是等边三角形 ∴AD=DE ∴BD + DE = AD +BD= AB =2
∵等边三角形△BCF ∴∠BCF=60°，CF=BC=2 ∴∠ECG=60°
∴△ECG 是等边三角形 ∴CE=CG
∵FG=kAB ∴FG=2k ∴CE=CG =FG－CF=2k－2
∴l =BD + DE+ CE+ BC=2+2k－2+2=2+2k…………………………A …………………………8 分
方法二：延长 GD、FB 交于点 H
易证△ECG、△DHB 是等边三角形
D E
H G
∴BD=DH，EC= EG
∴△FHG 也是等边三角形 B C
∴HG=FG=kAB=2k
∴l = BD + DE+ CE+ BC= DH + DE+ EG + BC
= HG + BC=2+2k
F
A
(2) ①∵四边形 BDEC 是倍对角四边形
∴∠DEC=2∠DBC ，∠DBC+∠ECB=120° E G
D
∵等边三角形△BCF ∴∠BCF=60°
∴∠ACB+∠ECG=120°
B C
∴∠ABC=∠ECG
∴∠DEC=2∠ECG
又∵∠DEC=∠ECG+∠G
∴∠ECG=∠G
F
∴CE=EG……………………………………………………………………………………11 分
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②延长 GD、FB 交于点 H
同①可证：DH=DB
∴BD + DE+ CE= DH + DE+ EG=HG A
∵∠DBC+∠ECB=120°
E G
∴∠A=60°=∠F D
H
∵∠DEC=2∠DBC=2∠G
∴∠DBC=∠G B C
∴△ABC∽△FGH
AB BC
∴ =
FG GH
AB 2
∴ = F
kAB GH
∴GH = 2k
∴l = BD + DE+ CE+ BC= HG + BC=2+2k
l 2+ 2k
∴ = = 2 …………………………………………………………………………14 分
k +1 k +1
说明：其他解法参考给分！
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数学试题
(考试时间：120分钟满分150分)
注意：1，本试卷分进择题和非选择题两部分：
2,所有试题答策一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；
3.作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗，
第一部分选择题（共18分）
一.选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个远项中，
恰有一项是符合题目要求的，诗将正确选顷的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.2024的倒数是
A.1
B
1
C.2024
D.-2024
2024
2024
2.下列运算中，正确的是
A.2a3a2=5a3B.a2+a2-a
C.(a2b)3=ab3
D.(a+1)2=a2+1
3.如图所示的物体的俯视图为
B
C
D
4.下列事件是必然事件的是
A,没有水分，种子发芽
B,3个人分成两组，有2个人分在一组
C,购买一张彩票，中奖
D.某篮球运动员投篮一次就命中
5.将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，若∠1=50°，那么∠2的大小为
A.50°
B.60°
C.70°
D.68
图1
图2
图3
第5题图
第6题图
第1页共8页
。夸克扫描王
极速扫描，就是高效

6,用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是
我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.现用如图2的
两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形ABCD,若知道图3中阴影都分的面积，
则一定能求出图3中
A、四边形ABCD的面积
B.,四边形EFGH的面积
C.△ADH的面积
D.△CDG的面积
第二部分非选择题（共132分）
二.填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相
应位置上)
7.若二次根式√x-2有意义，则实数x的取值范围是▲一·
8.常泰长江大桥为目前在建世界最大跨度公路和铁路两用斜拉桥，大桥全长100300米，将
数据100300用科学计数法表示为▲·
9.分解因式：a2-4=▲
10.命题“如果a2>2,那么a>b”是▲命题.（填“真”或“假”）
11.关于x的一元二次方程x2-2x一4=0的两根之积为▲一，
12.如图是甲、乙两组数据的统计图，则较为稳定的数据是▲组（填“甲”或“乙”）
13,如图，PB是⊙O的切线，切点为B,连接OP交⊙O于点C,AB是⊙O的直径，连
接AC,若∠A=30°，OA=2,则图中阴影部分的面积为▲，
数据值
序号
C
2345
一数据甲一·一故招乙
第12题图
第13题图
第14题图
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC=6,BC=8,D是AC上一点，连接BD,将△BDA
沿BD翻折至△BDE处，若BE恰好经过点C,则ta∠ABD的值为▲一
15.一次函数y=a+2一k的图像经过点A(m,3)和点B(m,1),若km<0,则n的取值范
围为▲一·
第2页共8页
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