资源简介

2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高二期中联考
数 学 试 题
考试时间:2024年4月22日 考试用时:120分钟 试卷满分:150分
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.已知点A(1,-2),B(m,0),若直线AB 与直线l:x+2y-1=0垂直,则实数m=
A.-3 B.2 C.3 D.4
2.现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生,从四市的七所重点中学中,各自选择一所学校参观学
习,则不同的安排参观学习方式共有
A.74 种 B.47 种
C.7×6×5×4种 D.4×3×2种
3.若直线y=kx 与曲线y=log3x 相切,则实数k=
A.eln3 B.elog3e
1 1
C.e D.elog3e
4.已知向量a、b、c,其中在同一平面的是
A.a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,4,1)
B.a=(3,0,0),b=(1,1,2),c=(4,1,2)
C.a=(1,2,4),b=(1,4,2),c=(2,3,1)
D.a=(1,0,0),b=(0,0,2),c=(0,3,0)
5.已知数列{a 2n}的前n 项和Sn=pn +qn+r(p、q、r为常数),则“{an}为递增的等差数列”是“p>0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题 第 1页(共4页)
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6.如图,ABC-A1B1C1 是一个由棱长为2a 的正四面体沿中截面所截得的几何体,则异面直线A1C 与
BB1 夹角的余弦值为
A 6 3
C1
. B. A3 12 1 B1
3 3
C. D. C3 6 A B
( , ), ( , ) ( )2 x x7.已知点A x1 y1 B x2 y2 是曲线y= - x-4 +4上不同的两点,且满足
1 = 2 ,则直
y1+2 y2+2
线AB 的斜率的取值范围是
(4A. , 3 + ) B.[1,43) [ 4 4C.1,3] D.(0,3)
m2
、 ( e8.已知对存在的m n∈ 0,+∞),不等式e2 +4ne≤ m22 +eln
(4ne)恒成立,则
A.m2
9
+n>4 B.m
2-n<1 C.m2-n2<2 D.m2n2>1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=x3-4x,则下列结论正确的有
A.函数f(x)在原点(0,0)处的切线方程是y=-4x
2 3
B.x= 是函数f(x)的极大值点3
C.函数y=sinx+f(x)在R上有3个极值点
D.函数y=sinx-f(x)在R上有3个零点
2 2
10.双曲线C:
x y
a2
- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点分别为A、B,右焦点F 到渐近线的距离为 3a,P 为b
双曲线C 在第一象限上的点,则下列结论正确的有
A.双曲线C 的渐近线方程为y=± 3x
B.双曲线C 的离心率为 3
C.设直线AP 的倾斜角为α,直线BP 的倾斜角为β,则tanα·tanβ为定值
D.若直线PF 与双曲线的两条渐近线分别交于M、N 两点,且FM→=2FN→,则S△MOF=2S△NOF
11.如图,已知二面角α-l-β的平面角为60°,棱l上有不同的两点A,B,AC α,BD β,AC⊥l,BD⊥
l.若AC=AB=BD=2,则下列结论正确的是
A.点D 到平面α的距离是2 α C
π
B.直线AB 与直线CD 的夹角为 B4 l A
β D
2 3
C.四面体ABCD 的体积为 3
28π
D.过A,B,C,D 四点的球的表面积为 3
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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知直线(1+k)x+y-k-2=0恒过定点P,则点P 到直线x-y-2=0的距离为 .
13.若C2x-5=Cx-1 x12 11 +C11,则正整数x 的值为 .
14.如图,已知抛物线y2=8x 的焦点为F,准线与x 轴的交点为C,过点C 的直线l与抛物线交于第一象
限的A,B 两点,若∠AFB=∠CFB,则直线AF 的斜率k= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数f(x)=aex+sinx-2,且f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y-1=0垂直.
(1)求a 的值;
(2)当x≥0时,求f(x)的导函数f'(x)的最小值.
16.(15分)
已知数列{an}中,a1=2,a2=4,且an+2=3an+1-2an.
(1)求证:数列{an+1-an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=anlog2an,Sn 为数列{bn}的前n 项和,求使n·2n+1-Sn≤62成立的正整数n 的最大值.
17.(15分)
π
在△ABC 中,B= ,AB=2BC=4,点D、E 分别为边2 AC
、AB 的中点,将ΔAED 沿DE 折起,使得
平面AED⊥平面BCDE.
(1)求证:DC⊥AE;
(2)在平面ACD 内是否存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD 若存在,指出点 M 的位置;若不存
在,说明理由.
A
E
D
B C
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18.(17分)
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,
…
, ( ) [ , ] : ( ) a0+a1x+ +ax
m
n 函数 mf x 在x=0处的 m n 阶帕德近似定义为 R x = n ,且满足:1+b1x+…+bnx
f(0)=R(0),f'(0)=R'(0),f″(0)=R″(0),…,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).(注:f″(x)=[f'(x)]',
f (x)=[f″(x)]',f(4)(x)=[f (x)]',f(5)(x)=[f(4)(x)]',…;f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)
() ( ) [,] () mx已知f x =lnx+1 在x=0处的 11 阶帕德近似为g x =1+nx.
(1)求实数m,n 的值;
(2)证明:当x≥0时,f(x)≥g(x);
(3)
a
设a 为实数,讨论方程f(x)-2g
(x)=0的解的个数.
19.(17分)
x2 2 2
已知椭圆Г: y2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直线x=2截椭圆Г 所得的弦长为2 2 2.a b
(1)求椭圆Г 的标准方程;
(2)设直线x=2与x 轴交于点P,A、C 为椭圆Г 上的两个动点、且均位于第一象限(不在直线x=2
上),直线AP、CP 分别交椭圆于B、D 两点,直线AD、BC 分别交直线x=2于E、F 两点
①设A(x1,y1),试用x1,y1 表示B(x2,y2)的坐标;
②求证:P 为线段EF 的中点.
2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题 第 4页(共4页)
{#{QQABaQQQogAgQpBAARgCAQXiCAOQkAGCACoOQBAEsAABSRFABAA=}#}2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高二期中联考数学试题参考答案及评分细则
题号
2
3
5
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
B
A
D
B
C
AD
ACD
BCD
1.B
【分析】由两直线垂直可得k=0（二2》
m-1
=2,求出m即可得出答案.
【详解】直线1：x十2y一1=0的斜率为：k=-号，因为直线AB与直线14x十2y一1=0垂直，所以
0-(-2)
m-1
=2,解得：m=2.
故选：B.
2.A
【分析】每人都有7种选法，结合分步计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有7种，经检验只有A选项符合
故选：A
3.D
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设切点为(x。,logx),则由题意可知f'(x)=
rIn3-f'(o)=-1
oln3=k,
1
[xo=e
所以roln3=
→
1.即k=loge
k.xo=log.x。k=
eln3
故选：D
4.B
【分析】利用共面向量基本定理逐项判断可得出正确的选项.
n=1
【详解】对于A选项，设(1,1,0)=m(0,1,1)十n(1,4,1),所以，m十4n=1,无解：
m十n=0
对于B选项，因为(4,1,2)=1·(3,0,0)十1·(1,1,2)，故B选项中的三个向量共面；
x+2y=1
对于C选项，设(1,2,4)=x(1,4,2)十y(2,3,1),所以，4x十3y=2,无解；
2x+y=3
2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题参考答案第1页（共8页）
0=1
对于D选项，设(1,0,0)=a(0,0,2)十b(0,3,0),所以，36=0，矛盾.
2a=0
故选：B.
5.A
【详解】设等差数列a,)的公差为d,由等差数列的前n项和S,=a1+um,D,
2
(a,-号)n,类比表达式S.=pm+gm十r,有p=29=a1-2r=0.
d
当{am}为递增等差数列时，有p>0;反之，当p>0,r≠0时，此时可得a1=p十q十r;
am=Sm一Sm-1=2n一p十q(n≥2)，a2一a1=2p一r,am一am-1=2p(n≥3)，此时数列从第二项开始
才为递增等差数列.
故选：A
6.D
【分析】根据异面直线的定义，利用平移得到角，即可利用三角形边角关系求解.
【详解】取AB的中点D,连接A,D.由题意知几何体ABC一A,B,C:为正三棱台.
由于A1B1DB,A1B,=DB,所以四边形A:B,BD为平行四边形，
∴ADBB1,则∠CAD或其补角（∠CA,D为钝角时）的余弦值即为所求.
由侧面均为底角为60等腰梯形，故AA:=A1B,=2AB=a,
且∠A1AB=60°，∠B1A1B=∠B1BA1=30°，因此∠AA1B=90°，
AB-VAB-AA-3a.CD-AB-3
在△CAD中，cos∠CA,D=a+(3a)-(V3a)25
2XaX√3a
6￥
则异面直线A,C与BB,的夹角的余弦值为。
故选：D.
7.B
【分析】将曲线方程变形可知曲线为半圆弧，将等式关系变形为斜率关系，进而转化为过点P(0,一2)的
直线与圆弧有两不同交点，结合图形可求直线AB斜率的范围！
【详解】由y=√一(x一4)+4得(x一4)2+y2=4(y≥0)，所以曲线为以C(4,0)为圆心，2为半径的上
半圆弧.
y十22十2可转化为十2=y十2
由A(x1y1),B(x2y2)为不同两点，且1。=
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