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成都七中高 2024届三诊模拟考试数学试题（理科参考答案）
一、选择题：
C B B C A D C D A B D A
二、填空题：
π 3 7π
13．174 14． 15． 16．
4 4 3
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（Ⅰ） (0.007+ 0.016+ a + 0.025+ 0.02) 10 =1，解得 a = 0.032 ···· 2 分
保险公司每年收取的保费为：
10000(0.07x + 0.16 2x + 0.32 3x + 0.25 4x + 0.2 5x) =10000 3.35x ······ 4 分
所以要使公司不亏本，则10000 3.35x 1000000，即3.35x 100， ······· 5 分
100
解得 x 29.85，即保费 x = 30 元； ·········································· 6 分
3.35
（Ⅱ）由题意知 X 的取值为 0,1, 2 ，
14 9 126
P(X = 0) = = ，
15 10 150
1 9 14 1 23
P(X =1) = + = ，
15 10 15 10 150
1 1 1
P(X = 2) = = ， ······························································· 10 分
15 10 150
126 23 1 25 1
EX = 0 +1 + 2 = = ． ········································· 12 分
150 150 150 150 6
18．解：（Ⅰ） 3S = 4a 2， n n
3Sn 1 = 4an 1 2,(n 2) ，
相减得3an = 4an 4a ，即n 1 an = 4a ， n 1
所以数列{a }是以 4 为公比的等比数列，………………………………………………….4 分 n
又 3S1 = 4a1 2 a = 2， 1
所以 a = 2 4n 1 = 22n 1n ． ………………………………………………………………….6 分
（Ⅱ） f /
1
(x) = 2x ln x + x2 x = 2x ln x ，
x
bn = 2 2
2n 1 ln 22n 1 = ln 2 (2n 1) 4n ，…………………………………….8 分
2 5 2 11
bn = ln 2 (2n 1) 4
n = ln 2 [( n )4n+1 ( n )4n ] ，
3 9 3 9
2 5 20
Tn = ln 2 [( n )4
n+1 + )]．………………………………………………….12 分
3 9 9
19． 解：（Ⅰ） AA1⊥面 ABC， AA ⊥ BC ， A1 C1 1
又 BC ⊥ AB, AB AA = A ， B1 1
G
BC⊥平面 ABE， BC ⊥ AE ， E
A F C D
B
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}
x 2 x
sin x y 2 tan y0 y0 tan
设直线 l 过点 0(x , y ) ， , 是方程 = k 的两根．即 2 2 = k ， 0 0
2cos x x x x0 2 2 tan2 x0 x0 tan
2
2 2
x x
整理得 (y0 2k kx0 ) tan
2 2 tan + y0 kx0 + 2k = 0 ，
2 2
2 y + 2k kx
tan + tan = , tan tan = 0 0 ，…………………………………….…10 分
2 2 y0 2k kx0 2 2 y0 2k kx0

tan + tan
1 1 2 1
yM =
2 2 = = ，
4 4 2k kx0 + y 2tan tan 0
2 2
x = 2, y = 1，所以直线 l 过点 (2, 1)．………………………………………….…12 分 0 0
1 1
21．解：（Ⅰ）当 a = 时，不等式 f (x) 0等价于 ex xsin x x 1 0，
2 2
则 f /
1 1
(x) = ex sin x xcos x 1，令函数 g(x) = f / (x)，
2 2
则 g /
1
(x) = ex cos x + xsin x ，
2
x 1x (0, ), e cos x 1 cos x 0, xsin x 0 ，
2
所以函数 g(x)在 (0,π) 上单调递增，且 g(0) = 0，
g(x) = f / (x) 0 在 (0,π) 上恒成立，
即函数 f (x)在 (0,π) 上单调递增，且 f (0) = 0，
所以 x (0,π) 时，不等式 f (x) 0成立；………………………………………….…5 分
1 1
（Ⅱ）当 a 时， f (x) = ex axsin x x 1 ex xsin x x 1，
2 2
由（Ⅰ）可知此时 f (x) 0，所以此时函数 f (x) 没有零点，与已知矛盾，
1
a ， ………………………………………….…6 分
2
f / (x) = ex a(sin x + x cos x) 1，令函数 h(x) = f / (x)，
所以 h/ (x) = ex + a(xsin x 2cos x) ，令函数u(x) = h/ (x)，
u / (x) = ex + a(3sin x + xcos x) ，
π
①若 /x (0, )， u (x) = ex + a(3sin x + x cos x) 0 ，
2

π
所以函数u(x) = h/ (x)在 (0, )上递增，且u(0) =1 2a 0， u( ) = e 2 + a 0 ，
2 2 2
π π
x (0, ) ，使函数 h(x)在 (0, x )上递减，在 (x , )上递增， 0 0 0
2 2
π
②若 / xx [ ,π)时，显然 h (x) = e + a(xsin x 2cos x) 0 ，
2
所以函数 h(x)在 (0, x )上递减，在 (x ,π) 上递增，且 h(0) = e0 1= 0， h( ) = e + a 1 0 0 0
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}
x (x ,π) ，使函数 f (x) 在 (0, x ) 上递减，在 (x ,π) 上递增， 1 0 1 1
又 f (0) = e0 1= 0， f ( ) = e 1 0 ，
f (x ) 0，且 x (x ,π) ，使得 f (x2 ) = 0， 1 2 1
1
综上得，当 a 时，函数 f (x) 在 (0,π) 内有唯一零点，
2
1
a的取值范围是 ( ,+ ) ．………………………………………….…12 分
2
x =10+ t,
22．解：（Ⅰ）由 得 x + y = 20，
y =10 t
即直线 l 的普通方程为 x + y 20 = 0 ，．………………………………………….…2 分
由 sin2 = cos 得： 2 sin2 = cos ，
x = cos , y = sin ， y2 = x ，
即曲线 C 的直角坐标方程为 y2 = x ；．………………………………………….…5 分
2
x = x0 t
（Ⅱ）设直线 l 的参数方程为 2 ，代入 y
2 = x 得：
2
y = y0 + t 2
1
t2
2
+ 2y 2 20t + y0 = x0 t ，整理得 t + (2 2y + 2)t + 2y
2
0 0 2x ， 0 = 0
2 2
设点 M , N 对应的参数分别为 t , t ， 1 2
t1 + t2 = 2 2y 2,t t
2 ，且 x + y = 20 ．………………………8 分
0 1 2 = 2y0 2x0 ,t1 + 2t2 = 0 0 0
解得 x0 = 22, y ，或者0 = 2 x0 =19, y0 =1
所以求点 P 的直角坐标为 (22, 2) 或 (19,1)．………………………………………….…10 分
（或者利用普通方程求出 M,N 的坐标，从而求出 P 的坐标）
23．解：（Ⅰ）不等式 f (x) 3 2 | x |等价于 | x 1| +2 | x | 3，
4
当 x 1时，得 x 1+ 2x 3 x ，
3
当 0 x 1时，得1 x + 2x 3 x 2 ，此时无解，
2
当 x 0时，得1 x 2x 3 x ，………………………………………….…3 分
3
2 4
综上，不等式的解集为{x | x 或x }；．………………………………………….…5 分
3 3
（Ⅱ） g(x) =| x 1| + | x 5 | | x 1 (x 5) |= 4 ，当 (x 1) (x 5) 0时取等号，
m = 4 ，即 a + b = 4，………………………7 分
a2 b2
+b 2a ， + a 2b，
b a
a2 b2
相加得 +b+ + a 2a + 2b ，
b a
a2 b2 a2 b2
+ a + b = 4． 所以不等式 + 4成立．………………………………………….…10 分
b a b a
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}成都七中高 2024届三诊模拟考试数学试题（理科）
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若向量 a = (x,4)与向量 b = (1, x) 是共线向量，则实数 x 等于
（A） 2 （B） 2 （C） 2 （D） 0
3+ i
2．复数 z = （其中 i 为虚数单位）的共轭复数为
1 i
（A）1+ 2i （B）1 2i （C） 1+ 2i （D） 1 2i
3
3．已知全集U ={x | 0 x 2 }，集合 A ={x | sin x }， B ={x | sin x cos x}，则 A B等于
2
π 3π π 2π π π π 2π
（A）[ , ] （B）[ , ] （C）[ , ] （D）[ , ]
4 4 3 3 4 3 4 3
1
4． (2x )n 的展开式中，第 5 项为常数项，则正整数 n 等于
x
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
1
5．三棱锥 A BCD 的三视图如图所示，则该三棱锥的四条棱中，
2 1
棱长最大值为
（A） 6 （B） 5 （C） 2 2 （D） 2 1
6．已知3sin 2 + cos 2 =1，则 tan =
2
1 1
（A） 3 （B） （C） 或 0 （D） 3或 0
3 3
7．已知圆C : x2 + y2 =1，直线 l : x y + c = 0，则“ c 0”是“圆 C 上任取一点 (x, y)，使 x y + c 0的概率
1
小于等于 ”的
2
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要
8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成绩，得到如下
所示的列联表：
2
优秀 非优秀 n(ad－bc) 附：K2＝ (n＝a＋b＋c＋d)．
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
甲班 10 b
P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005
乙班 c 30
k0 3.841 5.024 6.635 7.879
2
已知在全部 105 人中随机抽取 1 人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是
7
（A）甲班人数少于乙班人数
（B）甲班的优秀率高于乙班的优秀率
（C）表中 c 的值为 15，b 的值为 50
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}
三、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
某保险公司为了给年龄在 20～70 岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，
现 从 10000 名 参 保 人 员 中 随 机 抽 取 100 名 进 行 分 析 ， 这 100 个 样 本 按 年 龄 段
[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，
每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费:元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费
用为一百万元．
频率
组距
a
0.025 年龄 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
0.020
保费 x 2x 3x 4x 5x 0.016
0.007
O 20 30 40 50 60 70 年龄
E E E E E E
（Ⅰ）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费 x至少为多少元？（精确到整
数）
（Ⅱ）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[50,60）的老人中每 15 人就有 1
人患该项疾病，年龄在 [60,70]的老人中每 10 人就有 1 人患该项疾病，现分别从年龄在[50,60）和 [60,70]的
老人中各随机选取 1 人，记 X 表示选取的这 2 人中患该疾病的人数，求 X 的数学期望．
18．（本小题满分 12 分）
已知数列{a }的前 n 项和为 S ，n n 3Sn = 4a 2． n
（Ⅰ）证明：数列{a }是等比数列，并求出通项公式； n
1
（Ⅱ）设函数 f (x) = x2 (ln x ) 的导函数为 f / (x) ，数列{b }满足b = f / (a ) ，求数列{b }的前 n 项和T ． n n n n n
2
19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC， ABC = 90 ， BA = 2 ，AA1 = 2 ，D 是棱 AC 的
中点，E 在棱 BB1 上，且 AE ⊥ AC ． 1
（Ⅰ）证明：BD∥ 平面 AEC1； A1 C 1
（Ⅱ）若四棱锥C1 AEB 的体积等于 1，求二面角 的余弦值． 1A1 C1 AE A1 B1
E
A C
D
B
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}
20. (本小题满分 12 分)
x2 y2
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 + =1(a b 0)过点 A(2,0)，直线 l 与椭圆相交于不同于 A 点的 P，
a2 b2
1 π
Q 两点，N 为线段 PQ 的中点，当直线 ON 斜率为 时，直线 l 的倾斜角等于 ．
4 4
（Ⅰ）求椭圆的方程；
1
（Ⅱ）直线 AP，AQ 分别与直线 x = 3相交于 E,F 两点．线段 E,F 的中点为 M，若 M 的纵坐标为定值 ，
2
判断直线 l 是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = ex axsin x x 1,(x (0,π)) ．
1
（Ⅰ）若 a = ，证明： f (x) 0；
2
（Ⅱ）若函数 f (x) 在 (0,π) 内有唯一零点，求实数 a 的取值范围．
请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x =10+ t,
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程 (t 为参数），以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
y =10 t
极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 = cos ，且直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点．
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 P(x , y ) 是直线 l 上一点，满足 PM + 2PN = 0，求点 P 的直角坐标． 0 0
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) =| x 1|．
（Ⅰ）求不等式 f (x) 3 2 | x |的解集；
a2 b2
（Ⅱ）若函数 g(x) = f (x)+ | x 5 | 的最小值为m，正数 a,b 满足 a + b = m ，证明： + 4．
b a
{#{QQABYQQQggiAQpBAABhCAQEgCgCQkACCAKoOhAAIsAABSQFABAA=}#}

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