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河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写答题卡上。
2.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知某次降雨过程中,洛阳市区降雨量(单位:与时间(单位:的函数关系可近似表示为,则在时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬时变化率)为
A. B. C. D.
2.用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中奇数共有
A.48个 B.24个 C.18个 D.12个
3.函数的大致图象是
A. B. C. D.
4.
A. B. C. D.
5.已知函数,则
A.10 B. C.12 D.14.
6.洛阳市牡丹文化节期间,5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务,若每个博物馆至少接受1名志愿者,则不同的分配方案有
A.90种 B.150种 C.240种 D.300种
7.已知奇函数及其导函数的定义域均为,若,则
A. B.0 C. D.1
8.已知,则
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.对于的展开式,下列说法正确的是
A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是20
C.展开式中各项系数之和为0 D.展开式中的二项式系数之和为64
10.已知函数,则下列结论正确的是
A.是函数的极大值点 B.的单调增区间是
C.当时,直线与函数的图象有3个交点
D.若函数在区间上,对为一个三角形的三边长,则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”,则实数的取值范围为
11.5名同学站成一横排照毕业照,下列说法正确的是
A.甲不排在最中间,则不同的排法有72种 B.甲乙不相邻,则不同的排法有72种
C.甲乙必须相邻,且甲在乙的右边,则不同的排法有72种
D.甲乙立三人中有且仅有两人相邻,则不同的排法有72种
12.已知,则使恒成立的值可以是
A. B.2 C.4 D.5
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在的展开式中,的系数为_________________.
14.曲线在点处的切线方程是_________________.
15.已知正四棱锥,从底面四个顶点A,B,C,D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点,可得三棱锥_________________个.(用数字作答)
16.已知函数,直线,若满足点在直线上方的正整数恰有一个,则实数的取值范围是_________________.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
(1)计算:;
(2).
18.(12分)
已知斜率为1的直线与曲线相切.
(1)求直线的方程;
(2)若直线分别交曲线和于M,N两点,求的面积的最大值.(其中0为坐标原点)
19.(12分)
已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等.
(1)求展开式的通项公式和中间一项;
(2)设,求.
20.(12分)
已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)讨论函数在区间内的零点的个数.
21.(12分)
已知.
(1)当时,求函数的最值;
(2)若,求实数的取值范围.
22.(12分)
给定函数.
(1)判断函数的单调性,并求出函数的极值;
(2)证明:当时,.
洛阳市2023——2024学年第二学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、单项选择题
1-4ACBD 5-8BBCA
二、多项选择题
9.CD 10.ABD 11.BD 12.ABC
三、填空题
13.112 14. 15.58 16.
四、解答题
17.解:(1)
……………………..3分
.…………………..5分
…………………..8分
.………………….10分
18.解:(1)设切点为,
因为,所以切线的斜率,解得,…………………..2分
此时,即切点为,………………..4分
所以切线的方程为,即.………………..6分
(2)因为分别交曲线和于点M,N,
所以.
因为,则,
所以.………………..7分
此时的面积,
,令,得,………………..9分
当时,单调递增,
当时,单调递减,………………..11分
所以当时,有最大值且.………………..12分
19.解:(1)因为,
所以,解得.………………..2分
的展开式的通项………………..3分
,………………..5分
令,展开式的中间一项为.………………..7分
(2)因为,
所以.………………..9分
的展开式的通项,
令,……………….10分
令……………….11分
则.…………….12分
20.解:(1)当时,…………….1分
令,得或；
令,得或;
令,得或;………….3分
则函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.………………4分
(2)由,得.……………………………………………5分
设函数.
讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数.
由知,…………………………………………………………………………6分
当时,单调递减;
当时,单调递增.
当时,在区间内取最小值.…………………………………………………8分
又,且当时,,…………………………………………………………………9分
综上,当时,函数与直线在区间内无交点,函数在区间内无零点;
当或时,函数与直线在区间内有一个交点,函数在区间内有一个零点;………………………………………………………………………………………………12分
21.解:(1)由,得.……………………………………………………………1分
令,解得.
当时,单调递减,
当时,单调递增.
当时,有极小值,即最小值.……………………………………………………………3分
又
综上,当时,有最大值,最大值为0,
当时,有最小值,最小值为-1.………………………………………………………………………5分
(2)当时,.
即当时,.
令函数.则当时,.
故.即.……………………………………………………………………………………………6分
下证时,恒成立.
设，
则,
①当时,设,
,
由知,
即在上单调递增,且,
故在上单调递减.即.……………………………………………………………8分
②当时,由知.
即在上单调递增,即.…………………………………………………………10分
此时由得.……………………………………………………………………………11分
综上,实数的取值范围是.…………………………………………………………………………12分
22.解:(1)函数的定义域为.
.………………………………………………………………………1分
令,解得.
当变化时,的变化情况如下表
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
……3分
在区间上单调递减,在区间上单调递增,
当时,有极小值.……………………………………………………………………………………4分
(2)要证明当时,,
即证明当时,.
令函数.
则.………………………………………………………………5分
当时,.
设函数.
则,故在上单调递增.
又
所以存在唯一的使得.
且.………………………………………………………………8分
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以
………………………………………………………………………………………………………………10分
设函数
则……………………………………………………11分
即在单调递增.
所以原不等式得证.…………………………12分

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