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开封市 2024 届高三年级第三次质量检测
数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A C C B B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABD AD ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 20 13． 1,0 1 1， （答案不唯一） 14．
6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
（1）一共有 6 种套餐，甲、乙同学各选一种，共有62=36种方法，………2分
甲、乙同学选择同一种套餐有 6 种方法，………4 分
6 1
所以甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率为 P= = .………6分
36 6
100(40 25 15 20)2
（2） 2 8.249 7.879，………10 分
60 40 55 45
依据 0.005的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联，
此推断犯错误的概率不大于0.005 .………13 分
16.（15 分）
解：（1）由题意知： f 1 1 f (x)=3x2 3 ， ， k f (1) 3 3 0，………3 分
x
所以曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 1 0 . ………5 分
3
（2）由题意知： g x x 3ln x 3x2 3 9 x3 3x2 3ln x 6 , x 0, ,………6分
x x x
3 6 3 2 x 3 x 2 x 1 x2 x 12 g'(x) 3x 6x 2 3x x 2 2 ，………8分x x x x2
令 g'(x)=0，解得： x 1或x 2 . ………9分
当 x变化时， g'(x)， g x 的变化情况如下表：
x 0,1 1 1,2 2 2,
g'(x) + 0 - 0 +
g x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
………11 分
所以，函数 g x 的单调递减区间为 1,2 ，单调递增区间为 0,1 和 2, ，………13 分
g x 的极小值为 g 2 7 3ln 2， g x 的极大值为 g 1 8 . ………15 分
1
{#{QQABYQQQggAIQJAAARgCAQUCCAKQkACCCKoOhAAMoAAByQNABAA=}#}
17.（15 分）
（1）设 P x，y x 1 ，则M x，0 ，
所以 PM = y，BM = x 1，AM = x+1 ，………2分
2 2
因为 AM , PM , BM 成等比数列，所以 PM = AM BM ，所以 y = x 1 x+1 = x 2 1 ，………4分
若 x 1，化简得 x2+y2=1；若 x 1，化简得 x2 y2=1，
2 2 2 2
所以点 P的轨迹C的方程为 x +y =1 x 1 和 x y =1 x 1 .………6分
（2）易知直线 l的斜率存在，设 l : y k x+1 ，………7 分
2 2
联立 x y =1 x 1 ，得 1 k 2 x2 2k 2x k 2 1=0 ，
2 2 1 k 2
记直线 l与 x y =1 x 1 的交点为 N ，解得 xN 2 ，1 k
2
所以 AN = 1 k 2 x 2 1 kN +1 ，………9分1 k 2
k 2 2
原点到直线 l的距离 d ，所以 AM =2 1 d 2 ，………11 分1 k 2 1 k
2 2 1 k 2 4
所以 AM AN 2 = 2 =8，解之得 k
2= 1 k= 2， ，………14 分
1 k 2 1 k 1 k 2 2
l y 2所以直线 的方程为 x+1 .………15 分
2
18.（17 分）
（1）若选择命题：如果 PC=PD，AC PD，则 BD 平面PAC ，证明如下：
因为底面 ABCD是正方形，所以 AC BD，………1分
又 AC PD， BD PD=D，所以 AC 平面PBD，………3分
记 AC BD=O， PO 平面PBD，所以 AC PO，………4分
又因为 PC=PD，OC=OD ， PO=PO，
所以 POD= POC=90 ，所以 BD PO，………6分
AC PO=O ,所以 BD 平面PAC .………8 分
若选择命题：如果 PC=PD， BD 平面PAC ，则 AC PD，证明如下：
记 AC BD=O，因为 BD 平面PAC ， PO 平面PAC ，所以 BD PO，………2 分
又因为 PC=PD，OC=OD ， PO=PO，所以 POD= POC=90 ，所以 AC PO，………4 分
因为底面 ABCD是正方形，所以 AC BD，………5分
BD PO=O，所以 AC 平面PBD，………7分
又 PD 平面PBD，所以 AC PD .………8 分
若选择命题：如果 AC PD， BD 平面PAC ，则 PC=PD，证明如下：
记 AC BD=O，因为 BD 平面PAC ， PO 平面PAC ，所以 BD PO，………2 分
因为底面 ABCD是正方形，所以 AC BD，………3分
又 AC PD， BD PD=D，所以 AC 平面PBD，………5分
PO 平面PBD，所以 AC PO，………6 分
由 POD= POC=90 ，OC=OD ， PO=PO，得 POC POD，所以 PC=PD .………8 分
（2）由（1）的证明，可知 PO 平面ABCD，根据正棱锥的定义， P ABCD 为正四棱锥，………9 分
记底面正方形 ABCD的边长为 2a，
1 4
所以V = S PO= a 2 1 2a 2=
4 a 4 2a 6 2 1P ABCD ABCD ， 0 a ，………11 分3 3 3 2
1 4
令 a2 x, 0 x V 2 3 2 3，所以 P ABCD = x 2x ，记 f x =x 2x ，………12 分2 3
f (x)=2x 6x 2=2x 1 3x ，由 f (x) 0 1，得 0 x ，由 f (x) 0 ，得 x 1 ，
3 3
2
{#{QQABYQQQggAIQJAAARgCAQUCCAKQkACCCKoOhAAMoAAByQNABAA=}#}
f x 0, 1 1 , 1 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，………14 分
3 3 2
1 1 1
所以 f x 在 x= 处取得最大值，最大值为 f = ，………15 分3 3 27
所以四棱锥 P ABCD 4 3体积的最大值为 .………17 分
27
19.（17 分）
B C D = c解：（1）因为 ， ； 0，点D在线段 BC上，b=2，2
csin BAD csin BAD c
所以由 B，C；D = = = ，得 sin BAD=sin CAD，………2分
bsin CAD 2sin CAD 2
所以 AD为 BAC的角平分线，又 A=60 ，所以 BAD= CAD=30 .………3分
若 AD= 3+1，在 ACD中，由余弦定理得：
CD2=AC2
2
+AD2 2AC ADcos CAD=4 3+1 4 3+1 cos30 =2，解得CD= 2，………4分
CD = AC 2 2 2由正弦定理得： 即 ，解得 ，
sin CAD sin CDA = sin CDA=sin30 sin CDA 2
由于 AD是最大边，所以 CDA=45 ，………5分
（2）记 CAM n= ，
（i）当 n=0时，因为 B，C；M0，D =
1
0，所以点M 0 在线段 BC的延长线上，2
c sin 60 +
= 1 c所以 ，化简得 2sin 60 + =sin ，解得 cos =0， =90 ，………7 分
2sin 2 2
1 2 3
因为 S ADM =S ADC+S ACM ，所以 AD AM0 sin120 =AD ACsin30 +AC AM0，即 + = ，……9 分0 0 AM0 AD 2

所以8AD+AM
2 1 2 2
0= 8AD+AM 0 + = 17+
8AD + 2AM 0 2 17 8 =
50 3
，
3 AM 0 AD 3 AM 0 AD 3 3
AM =2AD AD= 5 3 10 3当且仅当 0 时取等号, 此时 ，AM 0= ，3 3
tan ACM = 5 3由于 0 3， ACM 0 60
，等号可以取到.………11 分
3
（ii）当 n 0时，因为 B，C；Mn，D =
1+ 3n
0，所以点M n在线段 BC的延长线上，2
c sin 60 +
所以 =1+ 3n c

，化简得 2sin 60 + = 1 3n sin ，解得 tan = 1 ，………12 分
2sin 2 2 n
所以CPn=AC sin =
2 2
， an= ，………13 分
1 n2 n 1 n2
当 n=1时, S1 a1= 2 2 2，
a = 2 2当 n 2时， n 2 2
1 1 ，………15 分
n 1 n2 n n 1 n
1 1 1
所以 Sn=a1+a2+ a 2+2

n 1 + +
1 1
= 2+2 1 1 2 2，
2 2 3 n 1 n n
综上所述 Sn 2 2 . ………17 分
3
{#{QQABYQQQggAIQJAAARgCAQUCCAKQkACCCKoOhAAMoAAByQNABAA=}#}开封市2024届高三年级第三次质量检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
1.设复数z满足(x一1)i=一1，则1x=
A.1
B.√2
C.3
D.2
2.已知向量a=(2,1),a十b=(1,m),若4仍，则m=
A.-3
B.3
c-是
3.设U=R,已知集合A={x|x≥1}，B={x|x>a},且(CuA)UB=R,则实数a的取值范
围是
A.(-∞，1)
B.（-∞，1]
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
4.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，
则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是
A号
B品
3
C.25
5.已知alog4=1,则24=
A时
B
c
D.3
6.在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N(78,16),如果按照16%，34%，34%，16%的
比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能
是（附：若X~N(μ，g2),则P(|X一4≤a)≈0.6827，P(X-u≤2a)≈0.9545）
A.94
B.86
C.82
D.78
高三数学第1页（共4页）
7.已知点F是抛物线y2=4.x的焦点，M,N是该抛物线上两点，且|MF」+|NF=6,则
MN中点的横坐标为
A是
B.2
c.
D.3
8.记Sn为数列{an}的前n项和，Tm为数列{an}的前n项积，若a1=1,a+1=S,则满尼
Tm>1000的n的最小值是
A.5
B.6
C.7
D.8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
Q.椭圆C十十=1(m>0)的焦点为R1E,:上顶点为A,直线AE,与C的另一个交
点为B,若∠R,AF,=3,则
A.C的焦距为2
B.C的短轴长为2√3
CC的离心率为号
D.△ABF,的周长为8
10.已知函数f(x)=cos2x一sin2x,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)
的图象，则
A.函数g(x)的周期为π
B.函数g(x)的图象关于直线x=牙对称
C函数gu)在区间0，]上单调递减
D函数g女)在区间0，上的最小值为-司
11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)十f(x一y)=f(x)f(y),f(1)=1,则
A.f(0)=2
B.f(3-x)=f(3+x)
C.f(x)是周期函数
D.f()的解析式可能为f(x)=2sin6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.记S,为等差数列{am}的前n项和，若a1=8,a4十a6=0,则Ss=
13.已知函数∫(x)=x-二的值域为[0，十)，则f(x)的定义域可以是
14.在矩形ABCD中，AB=2,AD=2√3，沿对角线AC将矩形折成一个大小为0的二面角
B一AC一D,当点B与点D之间的距离为3时cos0=
高三数学第2页（共4页）

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