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专题1 任意角与弧度制
【必备知识】
1．角的分类
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
2．角的加法
（1）若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．
（2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．
（3）相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋（－β）．
3．象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【必备技能】
1．两个重要概念
（1）任意角的概念，高中用“运动”的观点定义了任意角，旋转方向决定角的正负，旋转量决定角的大小．
（2）终边相同的角：所有与角α（含α在内）终边相同的角可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．两种思想方法：
（1）数形结合：解决象限角问题时，注意利用图形．
（2）分类讨论：已知α所在的象限，判断或nα（n∈Z）所在的象限时注意应用分类讨论的思想方法．
【考向总览】
考向一：终边相同（对称）的角（★★★）
考向二：角的范围及表示（★★★）
考向三： n倍角及n等分角（★★★）
【考向归类】
考向一终边相同（对称）的角
【典例1-1】（22·23高一上·甘肃定西·期中）
1．下列各角中，与角终边重合的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22·23高一下·山东威海·期中）
2．下列角的终边与角的终边关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
（1）求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
（2）求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
【举一反三】
（22·23上·长春·期中）
3．下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
（22·23高一下·辽宁鞍山·期中）
4．若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
考向二：角的范围及表示
【典例2-1】（22·23高一下·辽宁辽阳·期中）
5．若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【典例2-2】
6．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【备考提醒】
表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
【举一反三】
（22·23高一上·甘肃天水·期中）
7．若是第二象限角，则是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（22·23高二上·贵州贵阳·期中）
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
考向三： n倍角及n等分角
【典例3-1】
9．的终边在第三象限，则的终边可能在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴
【典例3-2】（22·23·盐城·期中）
10．已知为第三象限角，则为第（ ）象限角.
A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三
【备考提醒】
已知θ所在的象限，求或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN*）所在的象限．
【举一反三】
（22·23·全国·课时练习）
11．若是第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．
（21·22上·阜阳·期中）
12．若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【必备知识】
1．弧度数
（1）正角：正角的弧度数是一个正数．
（2）负角：负角的弧度数是一个负数．
（3）零角：零角的弧度数是0．
（4）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π__rad 2π rad＝360°
180°＝π__rad π rad＝180°
1°＝__rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α（0<α<2π）为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝α·R
扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2
【必备技能】
1．角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋ （k∈Z），β＝2kπ＋60°（k∈Z）等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°（k∈Z），β＝2kπ＋ （k∈Z）．
2．（1）在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”．
（2）在运用公式时，根据已知条件 ，选择合适的公式代入．
（3）在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah（其中h是三角形底边a上的高）的形式相似，可类比记忆．
【必备技能】
1．角度制与弧度制互化的原则是应用180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
2．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度，根据具体的条件选用公式，涉及最值问题往往转化为二次函数的最值问题．
【考向总览】
考向一：角度与弧度的互化及应用（★★★）
考向二：弧长公式与面积公式的应用（★★★★）
考向三：扇形中的最值问题（★★★★）
【考向归类】
考向一：角度与弧度的互化及应用
【典例1-1】（22·23高一上·内蒙古呼伦贝尔·期中）
13．将化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（22·23高一下·上海长宁·期中）
14．将弧度化为角度：弧度= °．
【备考提醒】
角度制与弧度制的互化的方法：
度数×＝弧度数；弧度数×（）°＝度数．
【举一反三】
（22·23高一下·贵州遵义·期中）
15．（ ）
A． B． C． D．
（21·22高一上·全国·期中联考）
16．与角终边相同的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向二：弧长公式与面积公式的应用
【典例2-1】（22·23高二下·福建·期中）
17．一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（22·23高一下·江西抚州·期中）
18．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是 ．

【备考提醒】
扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是（0，2π）；其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式．在求解的过程中要看清角的度量制，选用相应的公式；
【举一反三】
（2022上·浙江·高一校联考期中）
19．下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．如果，是第一象限的角，且，则
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
（22·23高一上·安徽合肥·期中）
20．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
考向三：扇形中的最值问题
【典例3-1】（22·23高一下·四川达州·期中）
21．已知一扇形的圆心角为2，半径为r，弧长为l，则的最小值为 ．
【典例3-2】（22·23高一上·上海宝山·期中）
22．若扇形的周长为16，问当圆心角为 时，扇形面积最大？
【备考提醒】
扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．
【举一反三】
（22·23高一上·重庆·期中）
23．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 .
（21·22高一下·江西赣州·阶段练习）
24．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据角的终边相同的集合判断选择即可.
【详解】与角终边重合的角为：，则当时，，故C正确.
经检验，其他选项都不正确.
故选：C.
2．A
【分析】根据已知角，利用周期性写出终边相同角，再结合选项判断即可.
【详解】由题意知，与角的终边关于轴对称的角为
当时，，正确.
经验证，其他三项均不符合要求.
故选：.
3．B
【分析】根据即可得到答案.
【详解】对选项A，，故A错误.
对选项B，因为，故B正确.
对选项C，，故C错误.
对选项D，，故D错误.
故选：B
4．AD
【分析】写出，，再根据其范围即可得到答案.
【详解】因为角的终边与角的终边关于x轴对称，
所以，，
又因为，所以当时，，
当时，.
故选：AD.
5．B
【分析】先判断角终边的位置，然后再判断出角终边的位置.
【详解】由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，
所以是第二象限角．
故选：B.
6．C
【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
7．D
【分析】由象限角的定义即可求解.
【详解】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角.
故选：D.
8．A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
【详解】当时，，
当时，，
所以.
故选：A
9．C
【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置.
【详解】由于的终边在第三象限，则，
所以，，
因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴.
故选：C.
【点睛】本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题.
10．A
【分析】根据为第三象限角得到的取值范围，进而可得的范围，即可求解.
【详解】因为为第三象限角，
所以
所以
当为偶数时，记,
所以
所以为第二象限角，
当为奇数时，记,
所以
所以为第四象限角，
所以为第二或第四象限角，
故选:A.
11．D
【分析】根据是第三象限角的范围，可判断所在的象限.
【详解】因为为第三象限角, 即 ,
所以,,
当 为奇数时, 是第四象限的角;
当 为偶数时, 是第二象限的角.
故选:D.
12．AB
【分析】由与关于x轴对称，判断A选项；
由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项；
由是第一象限角判断C选项；
由不等式的性质可得，，由此可判断D选项．
【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；
因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．
故选：AB.
13．C
【分析】利用角度与弧度的换算关系可得结果.
【详解】.
故选：C.
14．
【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解.
【详解】.
故答案为：
15．C
【分析】根据角度制与弧度制互化公式直接计算即可.
【详解】由题意得，.
故选：C
16．D
【分析】根据弧度制和角度制的互化、终边相同的角的表示方法可判断出结果.
【详解】对于AB，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A错误，B错误；
对于CD，换算成弧度制为，与角终边相同的角的集合为或，C错误，D正确.
故选：D.
17．C
【分析】计算出秒针走过的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得结果.
【详解】经过，秒针走过的弧度为，
因此，秒针的端点所走的路线长为.
故选：C.
18．
【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.
【详解】因为的长度为，所以，，
所以勒洛三角形的面积是.
故答案为：.
19．AD
【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C，D作答.
【详解】对于A，是第一象限的角，即，则，
是第四象限的角，A正确；
对于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正确；
对于C，设扇形所在圆半径为r，则有，解得，扇形面积，C不正确；
对于D，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长，D正确.
故选：AD
20．AC
【分析】根据周长和面积公式列方程，即可求解、，进而可求解圆心角.
【详解】设扇形的半径和弧长分别为、，
则由题意可知： ，解得或，
所以圆心角的弧度数为或.
故选：AC
21．4
【分析】求出，从而利用基本不等式求出最值.
【详解】由题意得，则，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为4.
故答案为：4
22．2
【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案.
【详解】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，
因为扇形的周长为16，所以，
所以，
所以当时最大，此时，
故答案为：2.
23．
【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的周长.
【详解】设扇形所在圆半径为，∴
如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,
，故，
所以最大的圆周长为.
故答案为：
24．(1)
(2)取得最大值25，此时
【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解；
（2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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