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专题5 三角恒等变换
【必备知识】
1.两角和差的正余弦，正切公式：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
2.辅助角公式：，其中
3.二倍角公式：
①
②
③
4．半角公式 （不要求记忆）
sin＝±，cos＝　±　，tan＝　±　＝＝.符号由所在的象限决定．
5．积化和差与和差化积
（1）积化和差公式（不要求记忆和应用）
sinαcosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]，
cosαsinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]，
cosαcosβ＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]，
sinαsinβ＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]．
（2）和差化积公式（不要求记忆和应用）
sinx＋siny＝2sincos，
sinx－siny＝2cossin，
cosx＋cosy＝2coscos，
cosx－cosy＝－2sinsin．
【必备技能】
1.三角函数式化简的方法
（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
（2）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
2．三角函数式的化简遵循的三个原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
（2）二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
（3）三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
3．三角恒等式的证明方法
（1）从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
（2）等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
（3）先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
【考向总览】
考向一：给角求值（★★★★）
考向二：给值求值（★★★★）
考向三: 给值求值（★★★★）
考向四: 综合应用三角公式进行化简求值或证明（★★★★）
【考向归类】
考向一：给角求值
【典例1-1】（2023下·辽宁丹东·高一统考期中）
1．（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023下·甘肃临夏·高一统考期中）
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
1.解决给角求值问题的关键是恰当地使用诱导公式，合理地进行角的变换，运用和（差）角公式、二倍角公式、辅助角公式等，使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题.
2. 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
3.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
【举一反三】
（2023下·江西新余·高一统考期中）
3．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022春·江苏扬州·高一校考期中）
4．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
考向二：给值求值
【典例2-1】（2023上·福建莆田·高一莆田一中校考期中）
5．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且，若点的横坐标为．

(1)求点的坐标；
(2)求的值．
【典例2-2】（2023下·甘肃临夏·高一统考期中）
6．已知为锐角，，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【备考提醒】
解决给值求值问题的关键是根据问题的需要，将所给的一个或几个三角函数式进行恒等变形，使其转化为所求函数式能等使用的条件，然后代入求出三角函数式的值；也可以将所要的函数式经过适当的变形后，再利用条件求值.
【举一反三】
（2023春·河北·高一校考期中）
7．魏晋南北朝时期，祖冲之利用害圆术以正边形，求出圆周率约，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中）
8．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．或
考向三: 给值求角
【典例3-1】
9．若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
10．已知，，，，则 ．
【备考提醒】
1.解决给值求角问题的关键是根据已知条件求出所求角的某种三角函数值，并根据已知条件判断出所求角的范围，由角的范围及三角函数值确定出角的大小.
2.给值求角问题的难点是缩小角的范围，角的范围最好缩小到该三角函数的一个单调区间内，或在所确定的范围内满足条件的角只有一个，有时仅根据已知的条件是不够的，还要根据三角函数值和函数的单调性缩小角的范围
3.求角的问题尽量利用余弦函数和正切函数，少用正弦函数.
【举一反三】
（2023下·山东威海·高一统考期中）
11．已知锐角，满足，，则 .
（2023春·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
考向四: 综合应用三角公式进行化简求值或证明
【典例4-1】
13．已知，则等于（　　）
A．－m B．m
C．－4m D．4m
【典例4-2】
14．求下列各式的值：
(1)；
(2).
【备考提醒】
在应用和差化积时，必须是一次同名（正切除外）．若是异名，必须用诱导公式化为同名．若是高次函数，必须利用公式降为一次．
【举一反三】
15．（　　）
A．+cos 4x B．sin 4x
C．+cos 4x D．+sin 4x
16．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知，，则 .
【必备知识】
【必备技能】
三角函数恒等变换与三角函数交汇问题解题关键点：
（1）对三角函数关系式，运用同角关系、两角和差、二倍角公式等进行恒等变形，转化为关于某一个变量（）的三角函数；
（2）运用换元法转化为，借助的性质分析解决问题.
【考向总览】
考向一：三角恒等变换与三角函数图象和性质的交汇（★★★★）
【考向归类】
考向一：三角恒等变换与三角函数图象和性质的交汇
【典例1-1】（2023下·云南迪庆·高一统考期中）
17．已知函数.
(1)求的最小正周期：
(2)当，求的最大值.
【典例1-2】
18．已知函数，且函数的最小正周期为.
（1）求函数解析式及单调区间；
（2）已知函数与函数满足，且.若，且，，求，的值.
【备考提醒】
有两个要点，一是三角恒等变换，注意“变角、变名、变式”等技巧的灵活运用，三是三角函数图象和性质的研究.
【举一反三】
（2023下·北京怀柔·高一统考期中）
19．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求函数的值域；
(3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
（2023下·北京延庆·高一统考期中）
20．已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的的值．
【必备知识】
三角函数恒等变换的实际应用的解题模板：
1.根据题意，设出角为自变量；
2.把题目中出现的其他量均用表示出来；
3.根据题意建立关于的函数关系式；
4.利用三角函数恒等变换整理化简，利用三角函数求解
5.直接作答.
【必备技能】
三角函数式化简的方法
（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
（2）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需升次，去掉根号．
【考向总览】
考向一：三角函数恒等变换的实际应用（★★★）
【考向归类】
考向一三角函数恒等变换的实际应用
【典例1-1】（2023下·山东枣庄·高一统考期中）
21．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，设.

(1)试建立矩形的面积关于的函数关系式；
(2)在（1）的条件下，当为何值时，取最大值，并求出最大值.
【典例1-2】（2023春·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）
22．一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划．如图，是边长为米的正方形菜园，扇形区域计划种植花生，矩形区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．分别在上，在弧上，米，设矩形的面积为（单位：平方米）．
(1)若，请写出（单位：平方米）关于的函数关系式；
(2)求的最小值．
【备考提醒】
解题关键是设出合适的自变量，建立函数关系式，对其进变形、化简.
【举一反三】
（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考期中）
23．如图，扇形钢板的半径为，圆心角为，现要从中截取一块四边形钢板，其中顶点在扇形的弧上，分别在半径上，且 ．
(1)设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围；
(2)求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大，并求出最大值．
（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中学校联考期中）
24．如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
(1)如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点B在弧上（不含端点），，另一顶点A在半径OM上，且，的周长为，求的表达式并求的最大值；
(2)如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且，，求花圃面积的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据诱导公式与余弦两角和公式化简求值即可.
【详解】
故选：A.
2．C
【分析】根据同角的三角函数关系，切化弦，再结合两角和差的正弦公式化简，即可求得答案.
【详解】由，，
得，
即，
即，
所以，即，
所以，
故选：C
3．B
【分析】根据三角函数的辅助角公式、二倍角公式，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
4．AC
【分析】利用二倍角公式可判断AB选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断C选项；利用辅助角公式以及二倍角的公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，
，D错.
故选：AC.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由题设及图确定的坐标，利用三角函数定义求，根据夹角大小及诱导公式求，，即得的坐标；
（2）应用倍角正余弦、和角正弦公式求即可.
【详解】（1）的横坐标为，且在第一象限，则，即，
，，
故点坐标.
（2）由（1）得，
．
6．BCD
【分析】利用同角的三角函数关系求得，，分别利用两角和差的正余弦公式以及正切公式以及二倍角正切公式进行计算，即可得答案.
【详解】为锐角，，故，，
对于A，
，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，因为为锐角，故也为锐角，
又可得，解得（负值舍去），D正确，
故选：BCD
7．A
【分析】将代入，结合三角恒等变换思想化简可得结果.
【详解】将代入，
可得
.
故选：A.
8．A
【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可.
【详解】由，
所以，则，
由，则.
故选：A
9．A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，的值，然后利用和差角公式及特殊角函数值，可得的值．
【详解】∵，
，
由，，得，，
若，
则
，
与矛盾，故舍去，
若，
则
，
又，
.
故选：A.
10．
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，，则，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案为：.
11．##
【分析】根据正切和角公式即可求解.
【详解】由，得，
由于，为锐角，所以，故，
故答案为：
12．C
【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.
【详解】因为，，
所以或；
若，则，
此时（舍）；
若，则，
此时（符合题意），
所以，
即；
因为且，
所以且，
解得，，
则，
所以.
故选：C.
13．B
【分析】由积化和差公式变形可得.
【详解】.
故选：B．
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用和差化积公式和二倍角的正弦公式以及诱导公式化简即可；
（2）利用和差化积、积化和差公式化简即可.
【详解】（1）
（2）
15．D
【分析】利用积化和差求解,
【详解】解：，
，
，
，
故选：D.
16．
【分析】由和差化积和积化和差公式求得，，进而求得，即可求解.
【详解】，可得；，可得；
则；.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解，
（2）根据得，即可由正弦函数的性质求解.
【详解】（1）,
所以周期为；
（2）当时，，所以，
所以，
故值域为，最大值为.
18．（1），单调递增区间为，函数的单调递减区间为：；（2）.
【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数性质的应用求出函数的单调区间；
（2）利用关系式的变换的应用求出结果.
【详解】解：（1）
将以上公式代入化简，则，
由于函数的最小正周期为.
又，
所以.
故，
所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为：.
（2）由于函数满足，且.
所以，
又，
，
用和差化积公式，
则，
再用半角公式，
则，
，
且，
所以，
则.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，根据周期公式求得结果；
（2）根据，求出整体角的取值范围，再根据正弦函数的单调性求出结果；
（3）根据整体角的范围及正弦函数的零点求得结果.
【详解】（1），
所以函数最小正周期.
（2）当时，，
则，
，，
因此，函数在区间上的值域为.
（3）∵，
由得，
若函数在上有且仅有两个零点，则，
则，解得.
即.
20．(1)最小正周期为，单调递增区间为；
(2)时有最大值为；时有最小值为0.
【分析】（1）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简，结合正弦型函数性质求最小正周期、单调增区间；
（2）由正弦型函数性质求最值即可.
【详解】（1）
，
函数最小正周期为，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为，所以，
当，即时，取最大值，最大值为，
当，即时，取最小值，最小值为0．
21．(1)
(2)当时，取最大值，且
【分析】（1）利用锐角三角函数定义，结合矩形面积公式进行求解即可；
（2）根据正弦二倍角公式、辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）在中，，.
在中，，
故.
矩形的面积
（2）由
.
由，得，
当，即时，.
因此，当时，取最大值，且.
22．(1)
(2)平方米
【分析】（1）延长交于，可用表示出，由此可得；
（2）令，将表示为关于的二次函数的形式，由二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】（1）延长交于，
则米，米，
则米，米，
.
（2）由（1）得：，
令，则，
，，
，
，当时，，
即当时，矩形面积的最小值为平方米．
23．(1)详见解析；
(2)时四边形钢板的面积最大，最大值为．
【分析】（1）利用割补法和三角函数即可求得四边形钢板的面积的解析式，进而得到的取值范围；
（2）先化简的解析式，利用三角函数的性质即可求得最大值及对应的值.
【详解】（1）扇形钢板的半径为，圆心角为，，
则，，
则四边形钢板的面积
其中的取值范围为；
（2）
又，则，则，
则，
则当，即时四边形钢板的面积最大，最大值为．
24．(1)，
(2)
【分析】(1)由题意结合图形，可得，由正弦定理得， ，代入的周长得，由三角恒等变换化简得，根据的范围即可求出的最大值；
(2)由图可知，的面积的面积相等，由余弦定理得，再由基本不等式得，代入的面积公式即可求面积的最大值．
【详解】（1）因为，，所以，，
又因为，，
所以在中，由正弦定理知得，
∴，，
周长为，，
所以，
∵，∴，
∴当时，即时，周长取最大值，为．
（2）由题意，可知（2）中的面积与（1）中同底等高，即二者面积相等，
在中，，，，，
由余弦定理知：，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
．
即花圃面积的最大值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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