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专题3 三角函数的图象与性质
【必备知识】
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
（2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R 且
值域 [－1，1] [－1，1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在上是增函数，在 (k∈Z)上是减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数 在上是增函数
周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 对称中心是
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ
4．用五点法画f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找的五个特征点如下
ωx＋φ 0 π 2π
x
f(x) 0 0 －A 0
5．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
【必备技能】
1.对称与周期
①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
（2）要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆．
（3）对于y＝tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间内为增函数．
2.破解已知函数的奇偶性或单调性求参数问题的思路：一是方程思想，即活用奇、偶函数的定义，得参数所满足的方程，解方程即可求出参数的值，此时要注意题设条件中的参数的取值范围的限制；二是转化思想，利用三角函数的单调性，借用草图，转化为参数所满足的不等式(组)，解不等式(组)即可求出参数的取值范围．
【考向总览】
考向一三角函数的定义域、值域（★★★）
考向二三角函数的单调性（★★★★）
考向三三角函数的周期性、奇偶性及对称性（★★★）
考向四函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换（★★★★）
考向五由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式（★★★★）
考向六三角函数图象与性质的综合问题（★★★★）
【考向归类】
考向一三角函数的定义域、值域
【典例1-1】
（2023秋·山东青岛·高一青岛二中校考期中）
1．已知函数，若在上的值域是，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（2022秋·河南·高一期中）
2．函数的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【备考提醒】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
提醒：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
2．三角函数值域或最值的3种求法
直接法 形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出
化一法 形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)
换元法 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
【举一反三】
（2023秋·江西新余·高一统考期中）
3．已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）
4．已知函数，若在上的值域是，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考向二：三角函数的单调性
【典例2-1】
（2023秋·河北邢台·高一邢台市第二中学校考期中）
5．函数的单调递减区间为 .
【典例2-2】
（2023秋·辽宁·高一校联考期中）
6．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【备考提醒】
求三角函数单调区间的2种方法
代换法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图象法 画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
提醒：求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
由单调区间求参数范围的方法
子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
【举一反三】
（2023秋·山东青岛·高一统考期中）
7．函数的单调减区间为 ．
（2023秋·安徽滁州·高一校考期中）
8．已知函数，则下列关于此函数的描述准确无误的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一个单调增区间为
C．函数的一个对称中心是
D．函数的一条对称轴是
考向三：三角函数的周期性、奇偶性及对称性
【典例3-1】
（2023秋·新疆喀什·高一统考期中）
9．已知函数，，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
（2023秋·江苏常州·高一校考期中）
10．设函数，其中．若，的图象关于点中心对称，且的最小正周期大于，则（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
1.三角函数周期的求解方法
公式法 （1）三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π；（2）y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期
2.与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
3.三角函数对称性问题的2种求解方法
定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点
公式法 函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为，对称中心为；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为，对称中心为；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
【举一反三】
（2023秋·河南安阳·高一校考期中）
11．已知函数的最小正周期为，且将的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·山西·高一统考期中）
12．定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
考向四：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【典例4-1】
（2023秋·广西南宁·高一南宁二中校考期中）
13．已知函数的两个相邻的对称中心的间距为，现的图象向左平移个单位后得到一个奇函数，则的一个可能取值为（　　）
A． B． C．0 D．
【典例4-2】
（2023春·河北衡水·高一衡水市第二中学期中）
14．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数
B．在上单调递增
C．图象关于点对称
D．图象关于直线对称
【备考提醒】
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法
（1）用“五点法”作简图得到，列表时可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．求出第一个点的横坐标后，依次加上周期的即可得到后四个点的横坐标．
（2）通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．注意先伸缩后平移时平移距离为个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换的注意点
先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向．　　
【举一反三】
（2023秋·山东青岛·高一统考期中）
15．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的为（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．
C．的图象关于直线对称 D．为偶函数
（2023秋·河南开封·高一统考期中）
16．将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．在内是增函数
考向五：由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【典例5-1】
（2023秋·新疆喀什·高一校考期中）
17．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 ．

【典例5-2】
（2023秋·宁夏银川·高一校考期中）
18．已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数单调增区间；
(3)设，且方程存两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
【备考提醒】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
（1）求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
（2）求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.
（3）求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．　
【举一反三】
（2023秋·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考期中）
19．已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
（2023春·河北衡水·高一衡水市第二中学期中）
20．已知函数的部分图象如图所示，其中，且，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的值.
考向六：三角函数图象与性质的综合问题
【典例6-1】
（2023秋·山东日照·高一校联考期中）
21．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)将函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
【典例6-2】
（2023春·吉林白山·高一统考期中）
22．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的.
(1)若的最小正周期为，求的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
(2)若在上有且仅有一个零点，求的取值范围.
【备考提醒】
三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【举一反三】
（2023秋·广东梅州·高一丰顺县丰顺中学校考期中）
23．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的最大值及相应的值．
（2023秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）
24．已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若在上有4个零点，求的取值范围．
【必备知识】
【必备知识】
1.三角函数的应用
（1）如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
（2）在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2. 不具有周期性的三角变换问题
把实际问题抽象转化成数学问题，建立函数关系式，再利用三角函数求最值．
【必备技能】
三角函数应用题的解题策略
（1）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
（2）研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．　　
【考向总览】
考向一：具有周期性问题可利用函数y＝Asin(ωx＋φ)（★★★）
考向二：不具有周期性问题可利用三角函数恒等变换和性质（★★★★）
【考向归类】
考向一：具有周期性问题可利用函数y＝Asin(ωx＋φ)
【典例1-1】
（2023春·福建厦门·高一厦门一中校考期中）
25．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.现有一个半径为3米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面开始计算时间，设时间为t（单位：秒），已知，则（ ）
A．，其中，且
B．，其中，且
C．大约经过38秒，盛水筒P再次进入水中
D．大约经过22秒，盛水筒P到达最高点
【典例1-2】
（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中）
26．科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以天、天和天为周期，均可按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（ ）
A．第天时情绪曲线处于最高点
B．第天到第天时，智力曲线与情绪曲线不相交
C．第天到第天时，体力曲线处于上升期
D．体力曲线关于点对称
【备考提醒】
1．根据题意建立函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)；
2．由题意分别求出A、ω、φ的值，得到解析式，进而利用解析式解决问题．　　
【举一反三】
（2023秋·山东滨州·高一统考期中）
27．某钟表的秒针端点到表盘中心的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与表盘上标“12”处的点重合．在秒针正常旋转过程中，，两点的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2023秋·广东·高一统考期中）
28．潮汐现象是由于海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象，一般早潮叫潮，晩潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，根据安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），已知某港口在某季节的某一天的时刻（单位：小时）与水深（单位：）的关系为：，则下列说法中正确的有（ ）
A．相邻两次潮水高度最高的时间间距为
B．18时潮水起落的速度为
C．该货船在2：00至4：00期间可以进港
D．该货船在13：00至17：00期间可以进港
考向二：不具有周期性问题可利用三角函数恒等变换和性质
【典例2-1】
（2023秋·天津蓟州·高一天津市蓟州区第一中学校考期中）
29．如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且OH＝4km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD都是学校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分别在公路OM，ON上，且AB与圆弧CD相切，设∠OAB＝θ，△AOB的面积为Skm2．
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）当θ为何值时，△AOB面积S为最小，政府投资最低？
【典例2-2】
（2023秋·浙江宁波·高一期中）
30．如图，是一个边长为的有部分腐蚀的正方形铁皮，其中腐蚀部分是一个半径为的扇形，其他部分完好可利用.铁匠师傅想在未被腐蚀部分截下一个长方形铁皮（是圆弧上的一点），以用于制作其他物品.
(1)当长方形铁皮为正方形时，求此时它的面积；
(2)求长方形铁皮的面积的最大值.
【备考提醒】
应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
【举一反三】
（2023秋·河北邢台·高一统考期中）
31．如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（ ）
A．260万元 B．265万元
C．255万元 D．250万元
（2022秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期中）
32．疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理．校园内某区域由矩形与扇形组成，，，．消毒装备的喷射角，阴影部分为可消毒范围，要求点在弧上，点在线段上，设，可消毒范围的面积为．
(1)求消毒面积关于的关系式，并求出的范围；
(2)当消毒面积最大时，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BC
【分析】根据已知求出的范围即可.
【详解】，因为，所以
又因为的值域是，所以
可知的取值范围是.
故选：BC.
2．A
【分析】首先切化弦，然后根据的取值范围去绝对值，化简即可得到函数的最大值.
【详解】由于，且
，
∴，由图像可知，当时最大
即
故选：A
3．A
【分析】解不等式即得解.
【详解】因为，恰好取到一次最大值与一次最小值，
可得，解得.
故选：A.
4．B
【分析】利用换元法将在上的值域为转化为在上的值域为，然后结合余弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】，令，则，，因为，，的值域为，所以，解得.
故选：B.
5．
【分析】化简函数解析式，由，即可得结果.
【详解】由＝cos＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为 (k∈Z).
故答案为：.
6．C
【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
7．；
【分析】先化简，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】因为，
则函数的单调减区间为:，
解得：.
故答案为：.
8．AD
【分析】对于A，利用周期公式判断，对于B，由求出的范围，再根据正弦函数的性质判断，对于C，将坐标代入验证即可，对于D，将代入验证.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；
对于B，当时，，因为在上单调递减，
所以在上递减，所以B错误；
当时，，所以函数的一个对称轴是，所以C错误；
对于D，当时，，函数取得最小值，所以函数的一条对称轴是，所以D正确．
故选：AD
9．B
【分析】利用诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】
，即，
∴的最小正周期为.
故选：B
10．A
【分析】由题意确定函数的周期，即可求得，再根据求出，即得的解析式，代入求值，即得答案.
【详解】因为，的图象关于点中心对称，
所以，得，
因为的最小正周期大于，即，则，故，
又，所以，所以，
因为，所以，，
所以，
故选：A.
11．A
【分析】根据三角函数图象的平移变换和奇偶性，可得，由可得，即可求解.
【详解】将函数图象向右平移个单位长度，
得，图象关于y轴对称，
则函数为偶函数，
所以，解得；
又，所以，所以，
则.
故选：A.
12．D
【分析】根据题意可求出的值，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知，于是，于是，
∴，∴，∴，
对于A，由，则的最小正周期为，故A错误；
对于B，将的图象向右平移个单位长度后得，
则，所以不关于原点对称，故B错误；
对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确．
故选：D．
13．D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，进而求出，再利用给定变换及奇函数求出作答.
【详解】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为，该函数的最小正周期为π，即有，
则，将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数，而函数为奇函数，
则，当时，，D正确，不存在整数k使得选项A，B，C成立.
故选：D
14．D
【分析】先通过平移求出，然后利用余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得
函数，
对于A：，为偶函数，A错误；
对于B：当时，，在上单调递减，在上单调递减，B错误；
对于C：，图象不关于点对称，C错误；
对于D：，图象关于直线对称，D正确.
故选：D.
15．C
【分析】利用二倍角公式化简可得函数的解析式，再利用三角函数性质逐项判断可得答案.
【详解】，
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B错误；
所以，故A错误；
，故C正确；
时，，所以为奇函数，故D错误.
故选：C.
16．C
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得的解析式，利用代入验证法判断BC，根据三角函数单调性判断D.
【详解】由题可得，A错误；
因为，所以的图象不关于直线对称，B错误；
因为，所以的图象关于点对称，C正确；
因为，所以在内不是增函数，D错误.
故选：C.
17．
【分析】根据题意，由图像可得函数周期从而得到，再将点代入，即可得到结果.
【详解】由图像可知，，即，则，
将代入可得，，即，，
解得，，
且，则，
再将代入可得，可得，
所以函数解析式为.
故答案为:
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）确定，根据周期得到，结合得到，得到答案.
（2）解不等式即可.
（3）确定，画出，的图像，根据图像得到答案.
【详解】（1），，，，且，
，，，，则.
故.
（2）取，解得，
故函数单调增区间为.
（3），则，
设，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：.
19．D
【分析】首先根据已知条件求出与以及的值，进而确定的解析式， 再结合三角函数的平移规律进行解答即可.
【详解】由图像知，，，，即，
由图可知，，
，
，又，
，
，
向右平移可得函数.
故选：D.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据推出图象关于直线对称，从而得到周期，求得，进而可求得；
（2）先化简，再利用弦化切即可求解.
【详解】（1）因为，所以图象关于直线对称，
所以，
所以，即
根据五点作图法可得，，
所以，又，所以，
所以.
（2）
，
故的值为.
21．(1)，；
(2)，.
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再结合的单调性即可求得的单调增区间；
（2）先利用三角函数的图像变换得到的解析式，再结合的性质即可求得的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
【详解】（1）函数，
由，，可得，，
所以函数的增区间为，；
（2）由题可得函数，
所以函数的最小值为，此时，即，
所以最小值为，取得最小值时的x的取值集合为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的图象变换及对称性质即可判定；
（2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可.
【详解】（1）由，得，
所以，
令，，解得，，
取，得，取，得，
因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为.
（2）由已知得，
令，，解得，.
因为在上有且仅有一个零点，所以
所以.
因为，所以，解得，，所以，
解得，
即的取值范围为.
23．(1)
(2)时，取最大值2
【分析】（1）由，可得，结合即可求解；
（2）结合三角函数的图象及性质即可求解.
【详解】（1）由，
即，
因为，所以.
（2）由（1）知，
因为，则，
所以当，即时，取最大值2.
24．(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，得，然后由可求出函数的单调递减区间；
（2）由，得或，由可得或，则问题转化为的图象与直线有2个交点，且，从而可求出的取值范围．
【详解】（1）
，
由，得
，
所以的单调递减区间为；
（2）令，
得或，
当时，，
得或，，
因为，所以或，
因为在上有4个零点，
所以的图象与直线有2个交点，且，即，
由，得，
因为，
所以，得，
即的取值范围为.
25．ABD
【分析】若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，由题设知筒车的角速度，令，易得，而、，即可求的解析式判断A、B的正误，、代入函数解析式求，即可判断C、D的正误.
【详解】由题意知，如图，若为筒车的轴心的位置，为水面，为筒车经过秒后的位置，
筒车的角速度，令且，
∴，故，而，
∴，其中，且，
又
，
若，且，所以，
此时
，
故，其中，且，故A、B正确；
当时，，且，，
∴，
故盛水筒没有进入水中，C错误；
当时，，且，，
故盛水筒到达最高点，D正确.
故选：ABD
26．AC
【分析】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，根据周期求出对应的解析式，然后利用正弦函数的性质可判断ACD，对于B，设，利用零点存在定理可判断.
【详解】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，
所以，，.
A项：第天时，，
故处于最高点，A正确；
B项：设，
因为，，
故利用零点存在定理可得存在，使得，
故此时智力曲线与情绪曲线相交，B错误；
C项：因为，所以，
因为，所以根据正弦函数的性质可得此时单调递增，
故处于上升期，C正确；
D项：因为，所以，体力曲线不关于点对称，D错.
故选：AC.
27．C
【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.
【详解】由已知函数的定义域为，周期为，且时，，
对于选项A，函数周期为，A错误；
对于选项B，函数周期为，B错误；
对于选项D，当时，，D错误；
对于选项C，
，
所以函数，
故选：C.
28．BCD
【分析】根据正弦函数的最小正周期判断A，根据导数的几何意义判断B，根据货船进港条件列出不等式，求解即可判断CD.
【详解】选项A：的最小正周期，所以相邻两次潮水高度最高的时间间距为，故A错误；
选项B：由题意，，所以，
由导数的几何意义可得18时潮水起落的速度为，故B正确；
选项CD：由题意可知该船进出港时，水深应不小于，
所以当时货船就可以进港，即，
所以，即，
解得，
又，所以或，即该船一天之内在港口内待的时间段为1时到5时和13时到17时，停留的总时间为8小时，故CD正确；
故选：BCD
29．（1）；（2）.
【分析】（1）以点O为坐标原点建立适当坐标系，根据直线AB与圆H相切构建l与之间的关系，再根据中，即计算得的解析式；
（2）先换元，得到t的范围和，代入化简得到，再利用二次函数研究分母何时取得最大值，即找到对应，使得△AOB面积S为最小.
【详解】解：（1）以点O为坐标原点建立如图直角坐标系，则，
在中，设，又，故，
所以直线AB的方程为，即，
因为直线AB与圆H相切，所以H到直线AB的距离等于半径2，即①，
又点H在直线AB的上方，故，
所以①式可化简为，即，
故,
所以△AOB的面积为S ;
即S关于θ的函数解析式为；
（2）令，，则，且，所以，
令，分母，其中，所以时，分母部分最大，面积最小，此时，即.
所以时△AOB面积S为最小，政府投资最低.
【点睛】思路点睛：
在求含有的三角函数的最值问题时，通常通过换元，结合，将问题转化成二次函数的最值问题.
30．(1)
(2)
【分析】（1）连接，设，延长交于E，当长方形铁皮为正方形时，，可得，进而求解；
（2）由（1）设，得，表示出，令，通过换元法求解即可.
【详解】（1）连接，设，延长交于E，
当长方形铁皮为正方形时，显然，此时，
所以；
（2）由（1）设，得
所以，
其中，，
令，则，
所以，
因为，所以，
所以，
所以当时，得，
即长方形铁皮的面积的最大值为.
31．D
【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用．
【详解】设，，则，，
所以矩形ODEH的面积，
又，
所以风景区面积，
当时，有最大值，故最多需要万元的修建费．
故选：D．
32．(1)，
(2)
【分析】（1）求出扇形和梯形的面积，可求得关于的关系式，求出的取值范围，可求得的范围；
（2）根据（1）中的函数关系式，利用导数法可求得取最大值时，对应的的值.
【详解】（1）解：由题意可知，则扇形的面积为，
，则，且，
所以， 梯形的面积为，
，且，则，故，
所以，，.
（2）解：设，，
，且，
记为锐角，且，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，，即时，取最小值，此时取最大值.
答案第1页，共2页
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