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专题1 数列基础、等差数列和等比数列
【必备知识】
1．等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d（常数）（n≥2，n∈N*）．
（2）等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.
2．等差数列的有关公式
（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d.
（2）前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．
（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
（5）S2n－1＝（2n－1）an.
（6）等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
【必备技能】
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．这里公差d＝2A.
【考向总览】
考向一：等差数列基本量的运算（★★★★）
考向二：等差数列的判定与证明（★★★★）
考向三：等差数列的性质（★★★★）
【考向归类】
考向一：等差数列基本量的运算
【典例1-1】
（2023上·甘肃陇南·高二校考期中）
1．已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为 .
【典例1-2】
（2023上·黑龙江鸡西·高二校考期中）
2．已知等差数列中，
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和及
【备考提醒】
（1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）．
（2）确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
【举一反三】
（2023上·云南红河·高二校考期中）
3．在数列中，为前项和，若，，，则其公差（ ）
A．3 B．4 C． D．
（2023·江苏泰州·统考一模）
4．等差数列中，若，，则的前10项和为 .
考向二：等差数列的判定与证明
【典例2-1】
（2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）
5．已知数列的前项和为，若，，则有（ ）
A．为等差数列 B．为等比数列
C．为等差数列 D．为等比数列
【典例2-2】（2023上·黑龙江佳木斯·高二校考期中）
6．已知数列的前项和，则下列说法正确的选项是（ ）
A． B．
C．该数列是公差为3的等差数列 D．该数列是递增数列
【备考提醒】
判断数列{an}是等差数列的常用方法
（1）定义法．
（2）等差中项法．
（3）通项公式法．
（4）前n项和公式法．
【举一反三】
（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）
7．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．数列可能是等差数列 B．数列一定是等差数列
C． D．
（2023上·河南许昌·高二统考期中）
8．在数列中，已知，则该数列前2023项的和 .
考向三：等差数列的性质
【典例3-1】
（2023上·陕西铜川·高二校考期中）
9．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【典例3-2】
（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）
10．设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
1.等差数列项的性质的关注点
（1）在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
（2）项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合．
2.等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S2n－1＝（2n－1）an.
【举一反三】
（2023·全国·模拟预测）
11．已知为等差数列的前项和，，则（ ）
A．240 B．60 C．180 D．120
（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期中）
12．在等差数列中，已知，，则（ ）
A．90 B．40 C．50 D．60
【必备知识】
1．等比数列有关的概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.
（2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn-1.
（2）等比数列通项公式的推广：an＝amqn-m.
（3）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列性质
（1）若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aw2，其中m，n，w∈N*.
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm（k，m∈N*）．
（3）若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列（b，p，q≠0）．
（4）等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.（n为偶数且q＝－1除外）
（5）若则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
【考向总览】
考向一：等比数列基本量的运算（★★★★）
考向二：等比数列的判定与证明（★★★★）
考向三：等比数列的性质（★★★★）
【考向归类】
考向一：等比数列基本量的运算
【典例1-1】
（2023·河南开封·统考一模）
13．记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【典例1-2】
（2022上·广东广州·高二统考期中）
14．数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于8，第2项与第4项的和等于9，第1项与第5项的和等于4．求这个数列．
【举一反三】
（2022上·黑龙江牡丹江·高二校考期中）
15．等比数列中，，，则 （ ）
A． B． C．或 D．或
（2022上·云南临沧·高二校考期中）
16．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考向二：等比数列的判定与证明
【典例2-1】
（2022上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期中）
17．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若点在函数（k，b为常数）的图象上，则为等差数列
B．若为等差数列，则为等比数列
C．若为等差数列，，，，则当时，最大
D．若，则为等比数列
【典例2-2】
（2022上·黑龙江大兴安岭地·高二校考期中）
18．已知数列满足，．
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意都满足成立，求实数的取值范围．
【备考提醒】
等比数列的三种常用判定方法
（1）定义法：若＝q（q为非零常数，n∈N*）或＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N*），则{an}是等比数列．
（2）等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2（n∈N*），则{an}是等比数列．
（3）前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为常数且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列．
【举一反三】
（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）
19．已知数列的前项和为，，，且对于任意，，恒成立，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
（2023·广西·统考模拟预测）
20．若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，则（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列”
考向三：等比数列的性质
【典例3-1】
（2022下·江西·高三开学考试）
21．设等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
（2023上·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）
22．正项等比数列中，，则的值是 ．
【备考提醒】
（1）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
（2）巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
【举一反三】
（2023·全国·模拟预测）
23．已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建泉州·统考模拟预测）
24．记等比数列的前项和为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据等差数列的概念可得数列的通项公式，进而可得.
【详解】设等差数列的公差为，
由，，
得，
解得，
所以，
即，
故答案为：.
2．(1)
(2)；
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出关于的方程组即可得解；
（2）利用等差数列的前项公式即可得解.
【详解】（1）依题意，设数列的首项是，公差是，
因为，所以，解得，
所以数列的通项公式.
（2）因为，
所以，
则.
3．A
【分析】先根据题意得到为等差数列，再求出，进而结合即可求得其公差．
【详解】由数列满足，
则，所以为等差数列，
又，则，即，
又，则其公差为．
故选：A．
4．
【分析】根据等差数列公式得到，再求和即可.
【详解】等差数列，，，解得，
故，则的前10项和为.
故答案为：.
5．D
【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据，得到即可判断CD选项.
【详解】由题意，数列的前项和满足，
当时，，两式相减，可得，
可得，即，又由，当时，，所以，
所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错.
当时，，又由时，，适合上式，
所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错.
故选：D.
6．ABD
【分析】借助与的关系，可计算出，借助的结果可得数列的单调性.
【详解】当，时，，
则，
当时，，符合上式，故，
故AB正确，
又，故数列是等差数列，且是递增数列，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
7．ABC
【分析】根据等差数列的定义判断AB，根据等差数列求和公式和通项公式计算CD.
【详解】设的首项为，公差为，则，，
所以当时，即为常数列时，为等差数列，故A正确；
，所以是等差数列，故B正确；
，，所以，故C正确；
，，所以和不一定相等，故D错.
故选：ABC.
8．2023
【分析】由题目条件分析可知数列为等差数列，然后利用等差数列的前项和公式、结合等差数列的性质求解.
【详解】由可知，数列为等差数列，
所以，
所以.
故答案为：2023.
9．C
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由于是等差数列，所以，故，
，
故选：C
10．B
【分析】由已知和等差数列的性质，可得.
【详解】由等差数列的性质，可得
.
故选：B
11．D
【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，所以，
所以，
所以．
故选：D．
12．D
【分析】根据题意得到成等差数列，从而求出，得到答案.
【详解】因为为等差数列，所以成等差数列，
，，故，
.
故选：D
13．C
【分析】由，，求得，代入等比数列前n项和公式求解.
【详解】解：设等比数列的公比为q，
因为，，
所以，，
解得，
所以，
故选：C
14．或
【分析】由题意可设五项为，结合条件可得方程，求解即得.
【详解】由题意，前三项成等比数列，后三项成等差数列，
设前三项的公比为q，后三项的公差为d，
则数列的各项依次为，
由题意得，
解得或，
所以这个数列是或
15．C
【分析】根据等比数列定义可求得，即可得或
【详解】设等比数列的公比为，
根据题意可得，解得，
又，所以可得当时，；当时，；
故选：C
16．A
【分析】由已知求出等比数列的基本量，得通项公式，再由，得，将“1”代换，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】等比数列中，
，，.
，，，
∵正项等比数列，，则，.
，，，
，且，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
17．ABC
【分析】直接利用数列的递推关系式，等差数列和等比数列的定义判断A，B，C，D的结论．
【详解】对于A：点在函数，为常数）的图象上，故，
故（常数），则为等差数列，故A正确；
对于B：由于数列为等差数列，所以（常数），
故（常数），所以数列为等比数列，故B正确；
对于C：若为等差数列，，所以，则，
又，所以，故，所以公差，
所以等差数列递减，则当时，，当时，，
则当时，最大，故C正确；
对于D：由于，当时，整理得，
当时，，故，
经检验，不满足上式，
故，故选项D错误．
故选：ABC．
18．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）变换得到，确定，得到通项公式；
（2）计算，根据裂项求和得到，解得到答案.
【详解】（1），故，则，且，
故是首项为，公比为的等比数列，，；
（2），，
，且当n趋于+∞时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
19．D
【分析】推导出，可判断AB选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可判断CD选项.
【详解】因为对于任意，，满足，
所以，即，且，
所以，数列不是等差数列，也不是等比数列，A错B错；
当时，，
所以，，
所以，，C错；
，D对.
故选：D.
20．BC
【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列和等比数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.
【详解】对A，因为是“平方递推数列”，所以.又，
所以，则，所以不是等差数列，A不正确.
对B，因为，所以是等比数列，B正确.
对C，因为，所以以是“平方递推数列”，C正确.
对D，因为，所以不是“平方递推数列”，D不正确.
故选：BC.
21．A
【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答.
【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列，
设，则，，所以，所以，
所以，即.
故选：A.
22．8
【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质求解即可
【详解】因为正项等比数列中，，
所以
，
故答案为：8
23．B
【分析】根据题意可得，利用等比数列的性质可得，再结合对数的运算性质即可求解.
【详解】∵，∴，
∴，又，
∴，得，
∴.
故选：B．
24．C
【分析】设等比数列的公比为（），根据求得，再由等比数列的性质得到，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为（），
则，解得：，
又，
所以，
故选：C.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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