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专题5 三角形的形状判断问题
【典例1-1】
（22-23高一下·江苏徐州·期末）
1．在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．解的个数不确定
【典例1-2】
（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）
2．在中，则等于（　　）
A． B． C． D．
【题后反思】常用结论：已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示.
（ⅰ）A为钝角或直角时解的情况如下：
（ⅱ）A为锐角时，解的情况如下：
【举一反三】
（22-23高一下·江苏南通·期末）
3．在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）
4．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【典例2-1】
（22-23高一·江苏·课时练习）
5．已知在所在平面内，，则是的 心．
【典例2-2】
（22-23高一下·江苏泰州·期末）
6．若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
【题后反思】牢记三角形五心的含义，进而可以推到其一些性质：
1.三角形的重心：三角形各边中线的交点
2.三角形的垂心：三角形各边高线的交点
3.三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点
4.三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点
5.三角形的中心：正三角形四心合一为中心
【举一反三】
（22-23高一下·江苏天一中学·阶段练习）
7．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
（22-23高一下·河南南阳·期中）
8．为所在平面内一点，且满足
|则点为的 心.若,，，则
【典例3-1】
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
9．P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【典例3-2】
（23-24高二上·广东佛山·期中）
10．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【题后反思】此类题目常常通过数量积的运算律将向量关系转化为数量关系，通过边的数量关系的情况判断形状.
【举一反三】
（22-23高一下·江苏张家港·期中）
11．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）
12．在中，若，则的形状是 .
【典例3-1】
（22-23高一下·江苏无锡·期中）
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【典例3-2】
（22-23高一下·辽宁沈阳·期中）
14．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【题后反思】转化为三角形的边来判断：
（1）△ABC为直角三角形或或；
（2）△ABC为锐角三角形且且；
（3）△ABC为钝角三角形或或；
（4）按等腰或等边三角形的定义判断.
【举一反三】
（22-23高一下·江苏如皋·阶段练习）
15．在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）
16．若，且，那么是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【典例4-1】
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
17．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【典例4-2】
（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）
18．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【题后反思】
转化为角的三角函数（值）来判断：
（1）若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；
（2）若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；
（3）若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；
（4）若，则C=90°，△ABC为直角角形；
（5）若sinA=sinB或sin（A-B）=0，则A=B，△ABC为等腰三角形；
（6）若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【举一反三】
（22-23高一下·河北石家庄·期中）
19．中，内角的对边分别为，以下选项为正确的是（ ）
A．若，则一定为锐角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．，则为锐角三角形
D．
（22-23高一下·江苏徐州·期中）
20．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解.
【详解】由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.
故选：C.
2．B
【分析】利用正弦定理求解角度.
【详解】在中，
所以,
由正弦定理，,
所以,则,
因为,所以或.
故选：B
3．AD
【分析】利用正弦定理，逐项判断计算作答
【详解】对于A，，则有两解，A是；
对于B，，且，则为锐角，只有一解，B不是；
对于C，，则为锐角，只有一解，C不是；
对于D，，则有两解，D是.
故选：AD
4．(1);
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，利用两角和差公式可得，即可得解；
（2）由及正弦定理可得，因为角的解有两个，所以角的解也有两个，从而有，，求解即可.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以；
（2）解：将代入正弦定理，得，
所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范围为.
5．垂
【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.
【详解】由得：，即，则，
由同理可得：，
所以是的垂心.
故答案为：垂
6．B
【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心.
【详解】，变形得到，
其中分别代表方向上的单位向量，
故所在直线一定为的平分线，
故直线AP一定经过的内心，
，即点到三个顶点相等，故点是的外心，
因为，所以，
如图，取的中点，连接，
则，所以，
故三点共线，且，
所以是的重心，

由可得，
故，同理可得，
故为三条高的交点，为的垂心.
故选：B
7．ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误．

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，
D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
8． 垂
【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为，
则，即，
即，
即，
即，
所以，，同理可得，，
故点为的垂心，
因为
，即，
因为，解得，
因此，，
解得，
因此，.
故答案为：垂；.
9．B
【分析】根据向量的加减运算可得，两边平方后结合数量积的性质，即可推得答案.
【详解】由，可得，
即，即，
将等式两边平方，化简得，∴，
即，因此，是直角三角形，
故选：B．
10．B
【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论.
【详解】易知，
可得，即，且，
所以可得的形状是直角三角形.
故选：B
11．C
【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故选：C
12．等腰三角形
【分析】根据向量的数量积运算性质求解.
【详解】，
，即，
为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
13．D
【分析】根据正弦定理和余弦定理讲原式角化边，化简整理即可.
【详解】根据正弦定理和余弦定理可得：，
整理可得，
即，当时，为等腰三角形，
当时为直角三角形.
故选：D
14．D
【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.
【详解】由，得，
化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
15．A
【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状.
【详解】因为，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以为等腰三角形.
故选：A.
16．A
【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论.
【详解】因为，则，可得，
由余弦定理可得，因为，所以，，
因为，则，整理可得.
所以，为等边三角形.
故选：A.
17．B
【分析】根据正弦定理整理等式，利用差角公式，结合三角形内角的性质，可得答案.
【详解】由得：，即，
即，且，所以.
故选：B．
18．B
【分析】由余弦定理求得，根据题意和正弦定理可得，即可求解.
【详解】由，得，
而，又，
所以.
，由正弦定理得，
即，得，
所以或，得或（舍去），
所以，即为等边三角形.
故选：B
19．D
【分析】由余弦定理判断A，由正弦函数性质判断B，举反例判断C，由数量积的定义及余弦定理判断D．
【详解】A，由已知，为锐角，但的范围不确定，A错；
B，是的内角，则，所以或，
即或，为等腰三角形或直角三角形，B错；
C，，如，，则，但为钝角三角形，C错；
D，，D正确，
故选：D．
20．D
【分析】由正弦定理与二倍角公式化简后判断即可.
【详解】，由正弦定理化简得，
即，故，，
则或，即或，则的形状为等腰或直角三角形.
故选：D.
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