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专题2 平面向量的结论与应用
（23-24高三上·江苏南通·期中）
【典例1-1】已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】设的中点为，连接，可得，然后求解最值即可．
【详解】设的中点为，连接，
则=
．
∵点点M是矩形内（包括边界）一动点，且，
∴，则，
当点与点或点重合时，取得最大值5.
故答案为：5．
（22-23高一下·四川成都·期末）
【典例1-2】已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结合菱形的几何性质可得答案.
【详解】
取的中点，连接，则，
所以，
当且仅当时，有最小值，则有最小值，
此时菱形的面积，
最小值为，
因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，
的取值范围为，
故答案为：
【题后反思】极化恒等式及其推论
（1）极化恒等式：
①公式推导：
②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
（2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则[|AC|2－|BD|2]．
（3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则|AD|2－|BD|2．
①推导过程：由.
②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
（4）极化恒等式的适用范围：
①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；
②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.
【举一反三】
（22-23高一下·江苏镇江·期末）
1．如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，， ，则的最小值为 ， 最大值为 .

（22-23高一下·浙江温州·期中）
2．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围．
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
【典例2-1】在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，确定点位置，分别过作的平行线，结合图形，分别可得，，即可求解.
【详解】如图，
过作，因为，
所以，所以在边上的高是在边上高的，
所以，
同理过作，因为，
所以，所以在边上的高是在边上高的，
所以，
所以，
故选:A.
（江苏省南通第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题）
【典例2-2】设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为 .
【答案】/
【分析】根据确定点的位置，然后将面积比转化为边长比即可.
【详解】
；
设；
则：，即B，C，D三点共线；
所以；
；
故答案为：
【题后反思】1、奔驰定理：是内的一点，且，则
2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，求证：.
延长与边相交于点，
则，
，
∵，
∴，
∴，
所以.
（3）奔驰定理推论：，则
①
②，，.
【举一反三】
（第02练平面向量的应用-2022年【暑假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第二册））
3．设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是
（河南省信阳市新未来2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题）
4．已知O是内部的一点，且，和的面积分别是，若，则 .
（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）
【典例3-1】若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心.
【详解】，变形得到，
其中分别代表方向上的单位向量，
故所在直线一定为的平分线，
故直线AP一定经过的内心，
，即点到三个顶点相等，故点是的外心，
因为，所以，
如图，取的中点，连接，
则，所以，
故三点共线，且，
所以是的重心，
由可得，
故，同理可得，
故为三条高的交点，为的垂心.
故选：B
（22-23高一下·江苏南京·期中）
【典例3-2】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】
根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点P轨迹，据此可求解.
【详解】
为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向为∠BAC的平分线的方向．又λ∈（0，＋∞），
所以的方向与的方向相同．
而，所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过的内心．
故选：B
【题后反思】三角形四心及向量表示
（1）三角形重心的概念及向量表示
①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1．
②重心的向量表示：如图所示在中，为重心
证明：，所以
③重心坐标公式，设，，，则△ABC的重心坐标为．
（2）三角形垂心的概念及向量表示
①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心．
②垂心的向量表示：如图所示在中，为重心
证明：因为，所以，所以，
同理可得，，所以为重心
（3）三角形内心的概念及向量表示
①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心．
②内心的向量表示：如图所示在中，为重心且
（4）三角形外心的概念及向量表示
①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心．
②外心的向量表示：若为内一点，则为的外心．
【举一反三】
（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）
5．已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）
（22-23高一下·江苏扬州·期中）
6．已知在所在平面内，，则是的 心．
（22-23高一下·江苏徐州·期中）
【典例4-1】在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.
【详解】
因为，所以，
则.
因为A，P，D三点共线，所以.
因为，所以.
因为E是边AB的中点，
所以.因为E，P，F三点共线，
所以，
则，解得，从而，，故.
故选：A
（23-24高一上·辽宁大连·期末）
【典例4-2】如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.
（1）试用基底表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.
【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
【题后反思】等和（高）线定理
（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y（x，y∈R），∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．
（2）平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ（λ，μ∈R），若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值）；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和（高）线．
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈（0，1）；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈（1，＋∞）；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
【举一反三】
7．设长方形ABCD的边长分别是AD＝1，AB＝2，点P是(含边界)的动点，设，则x＋2y的取值范围为（ ）
A．[1，2] B．[1，3] C．[2，3] D．[0，2]
（22-23高一上·辽宁大连·期末）
8．在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 99 148
【详解】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示：

则,，，，即，
，
当时，取得最小值，此时，所以.
当与重合时，，，则，
当与重合时，，，则，
所以，
故答案为：99；148.
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理和化简得到，从而得到角B的大小；
（2）由余弦定理和基本不等式得到，从而利用三角形面积公式求出面积最大值；
（3）由正弦定理，余弦定理及，求出，利用极化恒等式求出的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理可得：
又∵，
∴，
整理可得：，
可得，
可得：，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）若，根据余弦定理得：，化简，
又∵，
∴，即：当且仅当时，有最大值6，
∵的面积．
∴当且仅当时，面积有最大值，最大值等于
（3）由正弦定理，则，则，
由，可得，则，
则三角形ABC为等边三角形，取AB中点M，如图所示：
则
由OP=2，OM=1，则，则．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
3．5
【分析】由题意可得，再根据奔驰定理即可解出．
【详解】由变形可得：，
整理可得：，
根据奔驰定理可得：，则.
故答案为：5.
4．
【分析】根据三角形的几何性质，可得点所在三角形中特殊线段位置，结合三点公式的平面向量计算，建立方程组，可得答案.
【详解】如图，分别在边AC，BC上取点D，E，使得.

由，可得，所以，
又因为，所以点O在线段DE上（不包含端点），
则.
因为O，D，E三点共线，所以，即，
所以.
因为，所以，所以.
故答案为：.
5．重心
【分析】根据向量平行得到，将变形得到，取的中点，则，从而得到答案.
【详解】与向量共线，故，即，
则变形为，
即，
所以，
取的中点，则，
所以动点M的轨迹必经过的重心.
故答案为：重心
6．垂
【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.
【详解】由得：，即，则，
由同理可得：，
所以是的垂心.
故答案为：垂
7．B
【分析】取中点E，，连接BE，当点P位于B点，C点时，可分别求出和1，即可得到答案；
【详解】
取中点E，
如图，连接BE，
当点P位于B点时，三点B、E、P共线，且，即，
当点P位于C点时，，即，
x＋2y的取值范围为[1，3]，
故选：B
8．(1)①；②
(2).
【分析】（1）①根据平面向量基本定理即可求；②由三点共线可得，结合①列方程即可求出的值；
（2）设，根据平面向量基本定理可得，结合已知得到，与之间的关系，利用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）①因为，所以，
故在中，
；
②因为三点共线，设，
所以，
因为，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因为，又三点共线，设，
所以，
又因为，所以，
所以，，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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