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专题3 平面向量中的范围与最值问题
（22-23高一下·江苏海安·期中）
【典例1-1】在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
【答案】
【分析】建立如图平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标表示和二次函数的性质计算即可求解.
【详解】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
，
设直线BC方程为，则，
解得，所以BC方程为，设，
所以，
得.
故答案为：.
（22-23高一下·江苏常州·期末）
【典例1-2】在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得.
（2）利用正弦定理、向量的数量积运算、三角恒等变换以及基本不等式的知识求得的最小值.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，，
由得，
所以或（舍去）
所以.
（2）因为，由正弦定理得，
所以，
由（1）知，，且，
所以，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以最小值为.
【题后反思】数量积的取值范围和最值问题往往通过两种方法来解决，第一种即定义与转化，通过数量积的定义式，结合数量积的运算律与图形关系进行转化求解；第二种为坐标法，建立恰当的平面直角坐标系，通过坐标公式求解范围与最值.
【举一反三】
（2024高一下·全国·专题练习）
1．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为 .
（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）
2．如图，在边长为6的正方形中，，且，.

(1)求的值；
(2)若向量，点在的内部（不含边界），求的取值范围.
（23-24高一下·江苏徐州·期中）
【典例2-1】如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案.
【详解】连接，如下图所示：
因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点，
所以 ，
所以
.
当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立，
因此， 的最大值为
故选：C.
（22-23高一下·江苏淮安·期中）
【典例2-2】在中，的对边分别为，且.
（1）若，求的值；
（2）若，点在线段上，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式，求得，得到，再由，求得，进而求得时，结合余弦定理，即可求解.
（2）由点在线段上，且满足，得到为角平分线，利用三角形的内角平分线定理求得，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
可得，
又因为，可得，即，
由，可得，可得，可得，
又由，所以或，即或
当时，可得，因为，所以，不符合题意，舍去；
所以时，此时，由余弦定理得，
综上可得，的值为 .
（2）解：由（1）知，即且，可得，，
又由点在线段上，且满足，
因为分别是和同向的单位向量，所以为角平分线，
由三角形的内角平分线定理，可得，即，
在中，可得，
所以，
因为，可得，所以，所以，
即向量的取值范围是.
【题后反思】模长与数量积、夹角紧密相连，可以通过数量积的定义式进行转化，也可以通过坐标公式直接计算，模长的最值问题往往需要结合基本不等式或不等式的放缩法.
【举一反三】
（2024高一下·全国·专题练习）
3．若，，均为单位向量，且，，则的值可能为（　　）
A．－1 B．1 C． D．2
（22-23高一下·福建漳州·期中）
4．已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
（2024高一·江苏·专题练习）
5．已知，，求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围．
（22-23高二下·江苏南通·阶段练习）
【典例3-1】设与均为单位向量，它们的夹角为.若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用数量积求模的方法求解.
【详解】依题意有：，即 ，
又，；
故选：B.
（22-23高一下·江苏苏州·期末）
【典例3-2】已知中，是边（含端点）上的动点．
（1）若点为与的交点，请用表示；
（2）若点使得，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三点共线，令，由得，然后由C、O、Q三点共线，求出作答.
（2）由（1）中信息，设，则，再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律，求出，借助函数的单调求解作答.
【详解】（1）因为，则 ，又A、O、P三点共线，有，，
又，即有，而C、O、Q三点共线，于是，解得，
所以.
（2）由（1）知，，而，设，则，
由，得，即，
整理得，即，
于是，显然函数在上单调递增，
因此，
所以的取值范围.
【题后反思】已知数量积求夹角的问题使用数量积定义式代入求解转化，已知其他关系求夹角的往往通过坐标法的公式转化进行求解，最终可转化为函数值域问题，结合初等函数单调性或函数的单调性定义法进行判断值域即可.
【举一反三】
（23-24高一下·山东滨州·开学考试）
6．在平面直角坐标系中，设，，，且为单位向量，满足，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．若向量与垂直，则 D．向量与的夹角正切值最大为
（22-23高一下·甘肃定西·阶段练习）
7．设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 .
（22-23高一下·山东泰安·阶段练习）
8．设两个向量满足．
(1)若，求的夹角；
(2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
（22-23高一下·江苏·阶段练习）
【典例4-1】已知，，，，的最小值为 .
【答案】/
【分析】由得到关于，，的方程组，利用表示，，再根据二次函数的性质求出最小值.
【详解】，
，
即，解得，
，
当时，取得最小值.
故答案为：.
（22-23高一下·江苏苏州·期末）
【典例4-2】在钝角三角形中，，，，.
（1）求的值；
（2）已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）的取值范围为.
【分析】（1）由条件结合三角形面积公式求，利用表示，结合数量积的运算律求的值；
（2）设，利用表示，结合数量积运算律求，再求其最小值，由此可得的取值范围.
【详解】（1）因为，，，
又，
所以，
所以，所以或，
若，则，
则，
为三角形最大内角，不合题意；
所以，则，
，
则；
（2）由已知，设，
则，
所以，
，，
当时，取最小值，最小值为，
由恒成立可得，.
所以的取值范围为，
【题后反思】平面向量参数问题需要理解平面向量基本定理相关内容，结合定理内容列出等式，寻找参数的关系，亦可以通过图形关系与式子的特征直接判断最值.
【举一反三】
（22-23高一下·广西·期末）
9．已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 ．
（23-24高一上·河北保定·期中）
10．在扇形中，为弧上一动点，若，求的取值范围.
（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）
11．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．6
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故答案为：6.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正切公式求得正确答案.
（2）先求得的取值范围，然后根据向量的数量积运算以及不等式的性质求得的取值范围.
【详解】（1）由图可知，，
所以.
（2），则，
，则，
所以，
由于，
所以，即，
所以
,
由于，所以，
所以的取值范围是.

【点睛】已知三角函数值求角，主要是通过三角恒等变换的知识求得角的某个三角函数值，然后根据特殊角的三角函数值求得所求的角.求解向量数量积运算，可以转化为基底表示，然后利用数量积的运算律来求得正确答案.
3．AB
【分析】利用平面向量的模长公式求解.
【详解】因为，，均为单位向量，且，，
所以，所以，
又，故
而
，
所以即
所以选项C，D不正确，选项A，B正确．
故选：A，B.
4．C
【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用图形结合向量的几何意义求出最小值作答.
【详解】依题意，作，使，如图，

显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，
于是为点与直线上的点的距离，过作线段于，
所以.
故选：C
5．(1)
(2)
【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件；
（2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件；
【详解】（1）因为，
且，所以，
当与同向时，；
当与反向时，；
所以的取值范围为．
（2）由，
且，所以，
当与同向时，；
当与反向时，．
所以的取值范围为．
6．AB
【分析】对于A，根据为单位向量即可判定；对于B，等式右边展开后，结合题中条件即可判定；对于C，设，，，根据题中条件可得，再利用坐标求模公式，结合重要不等式，即可判定；对于D，利用坐标运算求得夹角的余弦值，继而求得正切值，结合条件即可判定.
【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确；
对于B，因为为单位向量，，，
所以，
故B正确；
对于C，设，，，
则，则，
，则，
又，
则由向量与垂直知，
，则，
，
故C错误；
对于D，，设向量与的夹角为，
则，
则，
则，无最大值，故D错误；
故选：AB.
7．且
【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可.
【详解】向量，，由得，，所以.
由已知得，，所以，即，且不共线.
则，所以.
又不共线，则.所以x的取值范围为且.
故答案为：且.
8．(1)
(2)且
【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求.
（2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可.
【详解】（1）
又
即
又
（2）的夹角为且
向量与的夹角为钝角
且与不共线
即
解得：且
实数t的取值范围且
9．##0.75
【分析】延长交于，令结合向量共线的推论得到，数形结合判断取最大值时的形状，进而求其最大值.
【详解】如图所示，延长交于，

令，
∵，，三点共线，
∴，
∴取最大值时，取最大值，则，
∵为外接圆的半径（定值），
∴当取得最小时，取最大值，此时，
∴为等腰三角形，且，
∴，则，，，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：延长交于，令结合向量知识，将问题化为求的最大值，数形结合进一步化为求最小值为关键.
10．
【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，求出，设与轴的夹角为，则，代入可得，求解即可.
【详解】解：设，以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，
如图，则，

不妨设与轴的夹角为，则.
因为，所以，解得，
在上单调递减，
所以当时，，为最大值；
当时，为最小值.
所以的取值范围是.
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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