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专题6 三角形的范围与最值问题
【典例1-1】
1．已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
2．在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)求的最大值.
【题后反思】在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值.
【举一反三】
3．已知锐角中，角的对边分别为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．记的内角，，的对边分别为，，，且边上的高.
(1)若，求；
(2)已知中角和是锐角，求的最小值.
【典例2-1】
5．已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】
6．已知锐角内角及对边，满足.
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【题后反思】本类题型需要根据题意选择方法，范围问题多转化为三角函数值域问题，最值问题可以用基本不等式直接求解.同时，需要注意三角形中一些基本的性质，例如两边之和大于第三边，大边对大角等.
【举一反三】
7．中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．
8．设的内角所对的边分别为，，，若，且，则的周长的取值范围是 ．
【典例3-1】
9．已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是 ．
【典例3-2】
10．在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角；
(2)求边上中线长的取值范围.
【题后反思】中线问题多采用中线向量公式并结合平面向量的平方转化法；角平分线问题多转化为两个三角形面积和等于大三角形面积，通过两个等角与公共边进行联系；高的问题多采用等面积法或图形求解法（在图形中找出高，结合已知角或自变量在直角三角形中表示高的长度）.
【举一反三】
11．记的内角的对边分别为的面积.
(1)若，求；
(2)已知为上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段长度的最大值.
①为的平分线；②为边上的中线.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求BC边上的高AD的最大值．
【典例4-1】
13．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
【典例4-2】
14．已知在，角所对的边分别是，且．
(1)求的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【题后反思】牢记三角形的面积公式：
（1）为三角形的底，为对应的高）
（2）.
此外，面积求最值时往往通过余弦定理的表达式进行整理，再利用基本不等式直接得到最值.
【举一反三】
15．已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
16．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
【典例5-1】
17．正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】
18．已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为 ．
【题后反思】平面向量+三角形问题，出现直角多采用坐标法，常规图形采用平面向量运算的定义法与转化法.此类题型一定要数形结合寻找一些题目隐藏的条件与关系，从而达到简化计算量的目的.
【举一反三】
19．在中，，，，则的取值范围是 ．
20．莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为 .
【典例6-1】
21．如图，在平面四边形ABCD中，，，且的面积为.

(1)求A，C两点间的距离；
(2)设的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.作的内切圆，求这个内切圆面积的最大值.
【典例6-2】
22．已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
【题后反思】对于外接圆相关的范围与最值问题，可以通过正弦定理联系三角形基本量与外接圆半径，列出表达式后统一化为角或统一化为边，结合不等式或函数求解答案；对于内切圆相关问题，可以通过面积拆分法联系内切圆半径与三角形基本量，结合三角形等面积法即可得到相关关系.
【举一反三】
23．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.
(1)求B及a，c；
(2)若线段MN长为3，其端点分别落在边AB和AC上，求△AMN内切圆半径的最大值.
24．如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.

(1)判断四边形是否有外接圆 若有，求其半径；若无，说明理由，
(2)求内切圆半径的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化简表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，由正弦定理得：，化简得：，
由余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，从而可得为锐角，
所以：，得：，则：，
所以：，
所以：的最大值为，故A项正确.
故选：A.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理可得.
（2）根据，二倍角公式和辅助角公式可将转化为
，再根据正弦函数的性质可得最大值.
【详解】（1），所以，
故，又因为，所以.
（2）
当，即时，有最大值1，
故的最大值为.
3．A
【分析】根据余弦定理以及正弦定理结合已知条件找出角的关系式，然后利用正切的二倍角公式化简，再根据角的范围求出取值范围即可.
【详解】由得：，
所以，
所以，
，
，
，
在中，由，
所以，
因为锐角三角形，
所以，
所以，
所以.
所以的取值范围是：，
故选：A.
4．(1)或；
(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式，结合正弦定理边化角得，再把代入，利用二倍角公式求出作答.
（2）利用（1）的信息，利用和角的正弦化简变形，再利用均值不等式求解作答.
【详解】（1）因为边上的高，则，
由正弦定理得，而，则，
当时，，即有，即，
显然，即，有，于是或，
所以或.
（2）在中，由，得，而和为锐角，
即，于是，
显然，从而，
因此
，当且仅当时取等号，
所以当时，的最小值.
【点睛】思路点睛：涉及三角形中的三角函数等式求最值问题，可以利用三角恒等变形结合三角形内角和定理，化成含某个角或某两个角的等式，再借助三角函数性质或均值不等式求解即可.
5．C
【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，
于是得，，解得，又有，即，
所以最大边的取值范围是：.
故选：C
6．(1)
(2).
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可得的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知求出的取值范围，再利用正弦函数的性质即可求解其范围．
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
所以，，
可得，由，可得.
（2）因为，由正弦定理，
可得，
可得
，
因为锐角三角形中，所以，解得，所以，
所以，可得.
周长的取值范围为.
7．B
【分析】根据题意由面积关系可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：，
因为，即，
整理得，
则．
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：B.
8．
【分析】由正弦定理和正弦和角公式得到，再利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合求出周长取值范围.
【详解】，由正弦定理得，
又，
所以，
由于，故，
故，
因为，所以，
由正弦定理得，；
故
，
由于，
故，
所以，
故周长的取值范围为．
故答案为：
9．
【分析】由题目条件，根据正弦定理先推出边长关系，根据面积相等，求出角平分线长，结合余弦定理，将角平分线表示成一个量的函数进行求解即可.
【详解】
对用正弦定理，可得，设，，由于为三角形内角，则，由可得，，整理得，，对，由余弦定理，，即，故，即，于是，根据基本不等式，，即，结合，解得，即，于是.
故答案为：
10．(1)
(2)
【分析】（1）将平方后，结合余弦定理即可求得答案；
（2）解法1，求得外接圆半径，过点C作，交BD延长线于E，利用余弦定理推出，结合正弦定理边化角，以及三角恒等变换，化简可得的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案；
解法2，利用平行四边形性质可得，下面解法同解法1；
解法3，利用余弦定理结合基本的不等式可求得答案；
解法4，利用三角形外接圆中线段的不等式关系，可求得答案.
【详解】（1）由，可得：，
即，
所以，而，从而；
（2）解法1：设外接圆半径为R，则，
如图所示，过点C作，交BD延长线于E，
则∽，则，

故，
所以，
，
又因为，故，则，
所以，即；
解法2：由平行四边形性质可得，
所以，
因为
，
又因为，故，则，
所以，则，即；
解法3：
因为，
所以，所以，
又因为， 结合解法2可知，
所以，即，
当且仅当时取到最大值；
解法4：
如图所示，，，
设外接圆半径为R，则，
故有外接圆如图，D为的中点，
则，

由图可知，
所以.
11．(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，由余弦定理和三角形的面积公式即可得到，再由正弦定理即可得到结果；
（2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由，再结合余弦定理与基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，所以，
由三角形的面积公式可得，所以，
所以，又，所以.
因为，所以为锐角，，
所以
，
由正弦定理得，即，
所以.
（2）选择条件①：
在中由余弦定理得，即，
即，故，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
选择条件②：
由点为的中点得，
平方得，
在中由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时等号成立，
故有
，
从而，故的最大值为.
12．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；
（2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解.
【详解】（1）根据正弦定理可得，
又，∴．
∵,∴．
（2），∴，
当且仅当时取等号.
∵，∴，
∴，
∴，∴AD的最大值为.
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得
，
因为、，则，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
故，
因此，面积的最大值为.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角得到，知值由范围求角即可；
（2）由（1），已知，由一组对边角已知可得，借助这一常数利用正弦定理化边为角，再由三角恒等变换化简面积表达式求解最值.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
整理可得，又，所以．
（2）因为，所以由正弦定理得，
所以，
又，所以，
所以
又因为，可得，
所以（当且仅当时，等号成立），
可得，
由，,
即面积的取值范围是．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，得到，利用正弦定理角转边，得到，再利用余弦定理即可求出结果；
（2）利用条件，结合，得到，再利用基本不等式，得到，从而求出结果.
【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以.
（2）因为是角的平分线，则，
又，
又，所以，得到，
又因为，得到，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，
即面积的最小值是．
16．(1)，
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合B为锐角，可得B的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求，由题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其范围．
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴，
∵B为锐角，∴，∵，
由正余弦定理可得：，
整理可得，解得．
（2）∵，
∴，，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
17．D
【分析】设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可得解．
【详解】解：设为外接圆的圆心，
因为，所以，
当弦的长度最短时，，
在中，由正弦定理知，外接圆半径，即，
所以，
因为，即，
所以，
因为点为线段上的动点，
所以当点与点重合时，；
当点与点重合时，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
综上，，
所以．

故选：D．
18．192
【分析】建立直角坐标系，由可得P的坐标，从而可得，再结合t的范围即可求得它的最大值．
【详解】由题意建立如图所示的坐标系，
可得，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，则，
所以的最大值为192．
故答案为：192．

19．
【分析】利用正弦定理和向量数量积的定义得，再根据的范围和正切函数的值域即可求出其范围．
【详解】根据正弦定理得，即，
，
，
，，所以，
，
即的取值范围．
故答案为：．
20．
【分析】因为点为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点在哪一条弧上.每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角或，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值.
【详解】当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，
设，，
原式
其中，，
又，，
原式取最小值.
当点落在圆弧上时，根据对称性同理可得原式取最小值.
当点落在圆弧上时，长度恒为半径2，
设，，
原式
又
，∴当时，原式取最小值.
，故原式取最小值.
故答案为：.
21．(1)
(2).
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求解；
（2）由所给条件求出B，再由内切圆性质求半径，法一利用正弦定理及正弦型函数的性质求最值得解；法二利用均值不等式求出最大值得解.
【详解】（1）在中，因为，所以.
由余弦定理可得
，
所以.
故A，C两点间的距离是 .
（2）根据三角形面积公式有，即，
又因为 ，
所以，所以，
所以，，得.
设内切圆的半径是，
因为，则.
所以
又，
因此，
解法一：在中，，.
由正弦定理得，
所以，，
于是
.
又，所以.
当时，取得最大值，从而取得最大值2.
故内切圆面积的最大值为.
解法二：
所以，
所以，当且仅当时等号成立，此时.
内切圆面积的最大值为.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合条件，进行边角转化即可得出结果；
（2）利用正弦定理，将边转角，再结合条件得到，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因为为钝角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的图像与性质知，所以
23．(1)
(2)
【分析】（1）由题得，再结合三角形面积公式和余弦定理即可得到答案；
（2）设内切圆的圆心为，半径为，根据内切圆半径公式得，代入数据有，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）由，得，又
，解得,
，或
由余弦定理，
得，
当时，，又，所以，，
当时，，矛盾
所以，，
（2）设△内切圆的圆心为，半径为，由（1）知：△ABC为等边三角形，
则，
从而（其中指的周长），
，
，
，则
，
又，当且仅当等号成立
，
，当且仅当时等号成立，.
即内切圆半径的最大值为
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用三角形内切圆半径公式，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值.
24．(1)有，；
(2).
【分析】（1）利用数量积的定义及三角形面积公式求出角D，再由正余弦定理求出角B，结合圆内接四边形的判定作答.
（2）利用三角形面积建立三角形内切圆半径的函数，再求出函数值域作答.
【详解】（1）在中，，则，
由，得，于是，而，因此，
在中, ，解得，
在中，由正弦定理，得 ，整理得，
由余弦定理，得，又，因此，有，
于是四点共圆，且四边形外接圆的半径就等于外接圆的半径，
所以四边形有外接圆，圆半径.
（2）由（1）知：，则，即有，
由，得，
又，由，故不是正三角形,又，则，
于是，又，解得，，
则，
所以内切圆半径的取值范围是.
【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c，内切圆半径，则.
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