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山西2023~2024高一4月份期中调研测试
数学试题
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．复数的虚部为（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，则圆锥的高为（ ）
A． B．4 C．3 D．
4．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，且，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为关于的一元二次方程的一个根，则（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
6．在三棱锥中，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，且，若，则（ ）
A．64 B．32 C．24 D．8
8．如图，在四边形中，已知，．若，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的母线和它的轴可以不平行
B．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱
C．正四面体一定是正三棱锥
D．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．若两个非零向量，满足，则与同向
C．若向量，满足是，则
D．若向量，满足，则存在唯一实数，使得
11．已知复数，的实部分别为，，虚部分别为，，则（ ）
A．的取值范围为[0，2]
B．在复平面内对应的点位于单位圆上
C．若为纯虚数，则
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为______（用坐标表示）．
13．如图，以直角梯形直角腰所在直线为旋转轴，旋转一周得到一个圆台，已知，，，则该圆台的表面积为______．
14．定义：．已知，，分别为的三个内角，，所对的边，若，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知复数，，，且是纯虚数．
（1）求的值；
（2）若复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且，，三点共线，求的值．
16．（本小题满分15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且）．
（1）求；
（2）若，是线段上的一点，，，求．
17．（本小题满分15分）
一个竖直放置的几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形．
（1）根据三视图，求其表面积和体积；
（2）若该容器内盛有其体积的水，当该容器的一个侧面水平放置时，求容器内水面的高度．（容器壁的厚度忽略不计）
18．（本小题满分17分）
在中，内角，，的对边分别为，，，，边上的两条中线，相交于点．
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
（3）若，，，求的余弦值．
19．（本小题满分17分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求；
（2）设外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围．
山西2023~2024高一4月份期中调研测试
数学试题
参考答案及多维细目表
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A D D A C
题号 7 8 9 10 11
答案 B B ABD ABC AB
1．【答案】C
【解析】，解得．
2．【答案】A
【解析】由题意可得，由复数的基本概念可得其虚部为．
3．【答案】D
【解析】扇形的圆心角为，半径为3，根据弧长公式可以得到扇形的弧长为．
又扇形的弧长等于底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为，
根据圆锥的体积公式得到圆锥的高为．
4．【答案】D
【解析】，，如图1，取的中点为坐标原点，以为，轴为轴建立坐标系．
斜二测直观图为矩形，，，，可得在原图（图2）中，平行四边形中，，平行四边形的面积为．
5．【答案】A
【解析】为方程的一个根，另一个根为，可得解得故．
6．【答案】C
【解析】在中，作，垂足为，又，，．
为三棱锥的外接球球心，半径为．
三棱锥的外接球的表面积为．
7．【答案】B
【解析】，，画出示意图可得，，且点为线段的中点，，，．
8．【答案】B
【解析】设，，，四边形内角和为，，在中，由正弦定理，得，解得．
在中，由正弦定理，得，解得．
．
，，
当，即时，取最小值．
9．【答案】ABD
【解析】根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误；
底面是正方形，且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正四棱柱，因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，故B错误；
正四面体一定是正三棱锥，故C正确；
棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何体，其侧棱延长线需要交于一点，其上底面与下底面相似，若该多面体上、下底面不相似，则其侧棱延长线不能交于一点，故D错误．
10．【答案】ABC
【解析】由题意知，，设，不存在使得同时成立，与不共线，则可作为平面的一组基底，故A正确；
设与的夹角为，，两边平方得，，即，，与同向，故B正确；
若，则，，即，故C正确；
当，时，不存在实数，使得，故D错误．
11．【答案】AB
【解析】由题意可得
，
因此的取值范围是[0，2]，故A正确；
易得，故其在复平面内对应的点为，，故B正确；
，
即，，，，，，
故，故C错误；
由选项B可知，在单位圆上，根据复数的几何意义，可以看作单位圆上的点到点的距离，易知，故D错误．
12．【答案】，
【解析】依题意得，向量在向量方向上的投影向量为．
13．【答案】
【解析】，，，，，
圆台的上底面半径，下底面半径，母线，
由圆台的表面积公式得．
14．【答案】2
【解析】依题意可得，化简得．
为的内角，，
，
．
15．解：（1）由题意可得，
由于复数是纯虚数，则解得．
（2）由（1）可得，，则点，，，
，．
，，三点共线，，，．
16．解：（1），
由正弦定理，得，即，
，，．
（2）设，则，，解得，
．
，由正弦定理，得．
．
17．解：（1）依题意，可知该几何体为直三棱柱，底面面积为．
表面积为，体积为．
（2）该容器内的水的体积为．
当容器水平放置时，此时形成底面为等腰梯形的直四棱柱，容器内水面的高度即为该梯形的高，设为．
剩余没有水的部分为正三棱柱，其底面为正三角形，设其高为．
该正三棱柱的体积为．
底面的面积为，边长为1，．
．该容器内水面的高度为．
18．解：（1）连接，则平行于且为中位线，．
．
（2）在中，由余弦定理，得．
在中，由余弦定理，得
．
（3），
，
．
又，，
．
19．解：（1），代入，得．
．又，．
（2）解法一：由正弦定理，得，，
，，．
令，，则．
由余弦定理，得，，，，，，，，当且仅当时取等号．
而，且可以无限接近于1，即，的取值范围为．
解法二：由正弦定理，得，．
设的内心为，．
由得．
由余弦定理，得，即，
，．，的取值范围为．

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