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机密★启用前
2024年初中学业水平模拟考试
数学
本试卷共8页．全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分30分）
1. 下列四个数中最小的数是（ ）
A. B. 3.14 C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较，解答此题的关键是要明确：正实数负实数．
根据实数大小比较的方法判断即可．
【详解】解：∵
∴所给的四个数中，最小的数是．
故选：D．
2. 下列汽车图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、是中心对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方和单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选C．
4. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖，其规定获奖数学家年龄不得超过40岁．截至目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则该组由年龄组成的数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 29，31 B. 29，29 C. 31，30 D. 30，31
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
根据中位数和众数的定义求解可得．
【详解】解：∵出现的次数最多，
∴这组数据的众数是31，
把这些数从小到大排列为：，
则中位数是：；
故选：C．
5. 已知一元二次方程有一个根是，则的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故选：B．
6. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 守株待兔 B. 水中捞月
C. 三角形三边之长为 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，根据必然事件定义：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行逐一判断即可求解，熟知必然事件的定义是解题的关键．
【详解】解：、守株待兔是随机事件，不符合题意；
、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
、三角形三边之长为是不可能事件，不符合题意；
、若，则必然事件，符合题意；
故选：．
7. 如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，观察函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
由一次函数图象与轴的交点坐标结合函数图象，即可得出：当时，，此题得解．
【详解】解：观察函数图象，可知：当时，．
故选：A．
8. 某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“”活动，为学生全面发展搭建平台．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解答此题的关键．
先根据五边形内角和定理得出，再根据进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得，，
∵，
∴，
故选：C．
9. 如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
A．若添加，根据可判定；
B．若添加，根据可判定；
C．若添加，不能判定；
D．若添加，则，根据可判定；
故选C．
10. 如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．
首先求得每一次转动的路线的长，发现每3次循环，找到规律然后计算即可．
【详解】如图：
解：转动一次顶点A至点，旋转，路线长是：，
转动第二次顶点至点，未动，路线长是：0，
转动第三次顶点至点，旋转，路线长是：，
以此类推，每三次循环，
故顶点A转动三次经过的路线长为：，
∵9次旋转重复了（遍），
∴顶点A转动在整个旋转过程中所经过的路程之和为：，
故选：A.
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
11. 的相反数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
12. 某校为了了解各班是否落实了“双减”政策，切实减轻了学生作业负担，在九（1）班随机调查了10名学生每天完成作业的时长，调查数据统计如下表：
时长 2.5 2 1.5 1 0.5
人数 1 2 4 2 1
请你估计九（1）班学生每天完成作业的平均时长约是______h．
【答案】1.5
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的定义求解即可．
【详解】解：小时．
故答案为：1.5．
13. 国家能源局印发《2023年能源工作指导意见》提出，结构转型深入推进．2023年，风电、光伏发电量占全社会用电量的比重不断增大，其中太阳能电池（光伏电池）产量达5.4亿千瓦．数据5.4亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：5.4亿，
故答案为：．
14. 分解因式：__________.
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．解题的关键在于正确的分解因式．
15. 如图，点都在圆上，顺次连接，若，则______度．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
根据圆内接四边形的性质可求．
详解】解：∵四边形据圆内接四边形，，
，
故答案为：60．
16. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于两点，分别连接，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，设交轴于点，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解．
【详解】解：如图，设交轴于点，
，，
则，
故答案为：．
17. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径．画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
由作图可知，平分，由此可证明，即可解决问题；
【详解】解：由作图可知，平分，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
18. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，为的直径，弦，垂足为寸，寸，则直径的长度为______寸．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接，
∵，且寸，
∴寸，
设圆的半径的长为，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，
解得：
∴(寸)，
故答案为：．
三、解答题（本大题8个小题，共66分.19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数运算、零指数幂及负整数指数幂的运算、特殊角三角函数值，关键在于知识点的应用，熟记特殊角的三角函数值．
分别利用绝对值的性质、求特殊角的三角形函数值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题考查分式的运算法则，根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式
当时，原式
21. 如图，正方形中，点分别是边的中点，．分别连接交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到两组对应边成比例且夹角相等，即可证明两三角形相似；
（2）根据相似三角形的对应角相等可以得到，然后根据等量代换可以得到的度数解题即可．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，
又点分别是边的中点，
，
又，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
即．
22. 2022年4月21日新版《义务教育课程标准（2022年版）》颁布，某校结合“双减”政策和新课标要求，优化了课程设计，决定增设“足球”、“篮球”、“书法”、“木工”及“编程”等五门校本课程以进一步提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，为优化师资配备，学校面向参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程”（要求必须选修一门且只能选修一门）的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有______名学生参与了本次问卷调查；“篮球”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
（2）补全调查结果的条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“足球”、“篮球”、“编程”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人中至少有一人选到“编程”这门课程的概率．
【答案】（1）60，120
（2）见解析 （3）小刚和小强两人中至少有一人选到“编程”这门课程的概率为
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）由选修“编程”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，根据选修“篮球”的学生人数和占比即可解决问题；
（2）求出选修“书法”、“木工”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人中至少有一人选到“编程”这门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名，
则“篮球”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：60，120；
【小问2详解】
解：条形统计图中，选修“木工”的学生人数为：（名，
则选修“书法”学生人数为：（名，
补全条形统计图如下：
；
【小问3详解】
解：把“足球”、“篮球”、“编程”三门校本课程分别记为、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人中至少有一人选到“编程”这门课程的结果有5种，
小刚和小强两人中至少有一人选到“编程”这门课程的概率为．
23. 为深入贯彻党的二十大精神，全面落实习近平总书记关于“把红色资源利用好、把红色基因传承好”的重要指示精神，培养学生的爱国情怀和责任担当，某校计划组织高一的师生共1302人到韶山开展红色研学活动．已知1台A型大巴车可以坐乘客49人，每日租金960元，一台B型大巴车可以坐乘客37人，每日租金780元．
（1）若计划租赁A型大巴车比租赁B型大巴车多2辆，要让每一位师生都有座位，且每辆汽车恰好坐满，问需租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆？
（2）为确保研学活动安全与效果，学校决定再增派两位校级领导带队，若计划租赁两种型号的大巴车共32台，且总费用不超过27200元，共有哪几种租赁方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【答案】（1）A型大巴车16辆，型大巴车14辆
（2）三种方案见解析，A型大巴车10辆，B型大巴车22辆，总费用最低为26760元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意，可以列出相应的二元次方程组，从而可以求得租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆；
（2）根据题意，可以求得的取值范围，再根据为整数，即可得到有多少种租车方案，再写出w与的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到哪种租车方案最省钱，并求出最低费用．
【小问1详解】
解：设租赁A型大巴车x辆，B型大巴车y辆，
由题意得：，
解得，
答：租赁型大巴车16辆，型大巴车14辆．
【小问2详解】
设租赁型大巴车辆，租赁型大巴车辆，
则由题意得：，
解得：，
为正整数，
．．
有三种方案，第一种：A型大巴车10辆，B型大巴车22辆，
总费用为最低；
第二种：A型大巴车11辆，B型大巴车21辆，
总费用为；
第三种：A型大巴车12辆，B型大巴车20辆，
总费用为；
故第一种方案“A型大巴车10辆，B型大巴车22辆”，总费用最低，最低为26760元．
或：设总费用为元，则有：，
，
当取最小值10时．总费用有最小值，最小值为26760元．
24. 如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上．
（1）转动连杆，使成平角，，如图②，求连杆端点离桌面的高度是多少？
（2）将图②中的连杆绕点顺时针旋转，使，再将连杆绕点逆时针旋转，使，如图③，此时连杆端点离桌面的高度又是多少？（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点作，垂足，解直角三角形求出，即可解决问题．
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点．解直角三角形求出，，最后求出结果即可．
【小问1详解】
解：过点作，垂足，如图所示：
在中，，，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
答：D离桌面的高度为．
【小问2详解】
解：过点作，垂足为，过点作，垂足，过作垂足为交于点．如图所示：
根据作图可知，四边形和四边形为矩形，
∴，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
在中，，
，
解得：，
在中，，
，
解得：，
，
答：此时离桌面的高度约为．
25. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
（1）请你直接写出两点的坐标，并求直线的表达式．
（2）如图②，点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，以点为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求的值．
（3）设点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点．是否存在这样的点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合，切线的性质，解直角三角形；
（1）分别令为，解方程得出的坐标，进而待定系数求得直线的解析式，即可求解；
（2）过点作轴的垂线交直线于点，设，，得出的关系式，进而过点作直线垂线交直线于点，则，得出的关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）设，，又，，分，，为对角线时，根据中点坐标公式，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，
解得：
∴，
当时，
∴
设直线的解析式为，将，代入得
解得：
∴直线的解析式为
【小问2详解】
如图所示，过点作轴的垂线交直线于点，
∴设，
∵在直线的上方，
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
过点作直线垂线交直线于点，则
∴
∵是的切线，
∴即为的半径，
∴当时，取得最大值，此时取得最大值
【小问3详解】
解：∵，抛物线的对称轴为直线，
点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点．
设，，又，
①当为对角线时，
，解得：，则，则；
②当为对角线时，
，解得：，则，则；
③当为对角线时，
，解得：，则，则；
综上所述或或
26. 【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．
（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中，______度，之间的数量关系是______．
【问题延伸】
（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：
①线段的数量关系是______；
②线段的数量关系是______；
请任选一个你的猜想说明理由．
【问题解决】
（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）①，②，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据小红组的研究方法写出求解过程即可；
（2）猜想①可由（1）得到结论，仿照（1）过程证明；选择猜想②证明：根据正方形性质和旋转性质可将绕点B逆时针旋转，得到，证明G、D、F、C共线，和得到，，进而可得结论；
（3）在y轴正半轴上截取，连接，，利用（1）中结论知，根据坐标与图形性质得到，，进而得到，，由求得，则，即可求解．
【详解】解：（1）如图2，
∵在中，，
∴，
由旋转性质得，，，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，又，，
∴，则，
在中，，
∴，
故答案为：，；
（2）猜想：①；②；
选择猜想②，证明过程如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
如图③，将绕点B逆时针旋转，得到，则，，，，
∴，则G、D、F、C共线，
∵，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：①；②；
（3）如图，在y轴正半轴上截取，连接，，则，
由（1）得，
∵点，点，
∴，，
∴，，
∴，解得，
∴，
则点C坐标为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握利用旋转的性质构造全等三角形探究线段之间的关系是解答的关键．机密★启用前
2024年初中学业水平模拟考试
数学
本试卷共8页．全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分30分）
1. 下列四个数中最小的数是（ ）
A. B. 3.14 C. 0 D.
2. 下列汽车图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 菲尔兹奖是数学领域一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖，其规定获奖数学家年龄不得超过40岁．截至目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则该组由年龄组成的数据的众数和中位数分别是（ ）
A 29，31 B. 29，29 C. 31，30 D. 30，31
5. 已知一元二次方程有一个根是，则的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
6. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 守株待兔 B. 水中捞月
C. 三角形三边之长为 D. 若，则
7. 如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“”活动，为学生全面发展搭建平台．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
11. 的相反数是______．
12. 某校为了了解各班是否落实了“双减”政策，切实减轻了学生作业负担，在九（1）班随机调查了10名学生每天完成作业的时长，调查数据统计如下表：
时长 25 2 1.5 1 0.5
人数 1 2 4 2 1
请你估计九（1）班学生每天完成作业的平均时长约是______h．
13. 国家能源局印发《2023年能源工作指导意见》提出，结构转型深入推进．2023年，风电、光伏发电量占全社会用电量的比重不断增大，其中太阳能电池（光伏电池）产量达5.4亿千瓦．数据5.4亿用科学记数法表示为______．
14. 分解因式：__________.
15. 如图，点都在圆上，顺次连接，若，则______度．
16. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于两点，分别连接，则的面积为______．
17. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径．画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，则______．
18. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，为的直径，弦，垂足为寸，寸，则直径的长度为______寸．
三、解答题（本大题8个小题，共66分.19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，正方形中，点分别是边的中点，．分别连接交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22. 2022年4月21日新版《义务教育课程标准（2022年版）》颁布，某校结合“双减”政策和新课标要求，优化了课程设计，决定增设“足球”、“篮球”、“书法”、“木工”及“编程”等五门校本课程以进一步提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，为优化师资配备，学校面向参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程”（要求必须选修一门且只能选修一门）的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有______名学生参与了本次问卷调查；“篮球”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
（2）补全调查结果的条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“足球”、“篮球”、“编程”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人中至少有一人选到“编程”这门课程的概率．
23. 为深入贯彻党的二十大精神，全面落实习近平总书记关于“把红色资源利用好、把红色基因传承好”的重要指示精神，培养学生的爱国情怀和责任担当，某校计划组织高一的师生共1302人到韶山开展红色研学活动．已知1台A型大巴车可以坐乘客49人，每日租金960元，一台B型大巴车可以坐乘客37人，每日租金780元．
（1）若计划租赁A型大巴车比租赁B型大巴车多2辆，要让每一位师生都有座位，且每辆汽车恰好坐满，问需租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆？
（2）为确保研学活动安全与效果，学校决定再增派两位校级领导带队，若计划租赁两种型号的大巴车共32台，且总费用不超过27200元，共有哪几种租赁方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
24. 如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上．
（1）转动连杆，使成平角，，如图②，求连杆端点离桌面的高度是多少？
（2）将图②中的连杆绕点顺时针旋转，使，再将连杆绕点逆时针旋转，使，如图③，此时连杆端点离桌面的高度又是多少？（结果精确到，参考数据：）
25. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
（1）请你直接写出两点的坐标，并求直线的表达式．
（2）如图②，点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，以点为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求的值．
（3）设点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点．是否存在这样的点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
26. 【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．
（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中，______度，之间的数量关系是______．
【问题延伸】
（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：
①线段的数量关系是______；
②线段的数量关系是______；
请任选一个你的猜想说明理由．
【问题解决】
（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点坐标．

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