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2023-2024学年第二学期九年级第二次月考
数学
说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 下列各式中，计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
3. 石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C D.
4. 一个由两个长方体组成的几何体按如图所示的方式水平放置，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 点向右平移3个单位长度后，恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
6. 某校举行以“我和我的祖国”为主题的演讲比赛，7位评委给某同学打分（满分10分），该同学的得分情况是8，6，8，7，8，5，7．对于该组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数为7 B. 众数为8 C. 中位数为7 D. 方差为2
7. 如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，是等边三角形，是边上一点，连接，点在的延长线上，且，延长交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
9. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与一次函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（ ）
A. 10 B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. ________．
12. 分解因式：_____．
13. 我国明代商人，珠算发明家程大位在《算法统宗》中记载了这样一个问题：一古寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，碗刚好够用．问古寺内共有和尚多少人 根据上述问题，可知和尚的总人数是________．
14. 如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，连接并延长至点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点．
（1）若，则________．
（2）________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
（2）以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 劳动教育已纳人人才培养全过程，某学校加大劳动教育投人，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率．
18. 观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第6个等式：________．
（2）写出你猜想的第个等式：________（用含的式子表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 安徽省科技馆是大型公益性科普教育场所，开馆以来，吸引了大量学生和家长前去参观和体验．如图1，这是馆内的一个全国最大的球状屏幕，图2是它的示意图，是球屏的平面图，的直径为28米，是测角仪，高度为0.5米．垂直水平地面，此时测得球屏视线最上部的仰角为，即，视线最下部的仰角为，即．视线与相切，切点分别为和．求点到的距离．（参考数据：，，，，，）
20. 如图，菱形对角线相交于点，分别过点作的平行线，且与相交于点．
（1）求证：四边形矩形．
（2）求四边形与菱形的面积比．
六、（本题满分12分）
21. 某中学近期举行了“我的中国梦”歌手大赛，根据初赛成绩，选出了5位歌手．为了了解学生最喜爱的歌手，随机抽取若干名学生进行投票，投给自己最喜爱的歌手，每人都要投票且只投一人，将投票结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图．
（1）本次随机抽取的学生人数为________，并补全条形统计图．
（2）若参与投票的学生共有500名，可估计出其中最喜爱歌手的学生人数为_______，扇形统计图中所占的圆心角的度数为________°．
（3）学校计划在4位歌手中随机抽取2位分享心得体会，求恰好选中歌手和歌手的概率．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，某同学设计了一条抛物线取不同的值，便可得到不同的抛物线，设抛物线与直线交于点．
（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）设点的纵坐标为，当取得最小值时，抛物线上有两点，且，请求出的最小值，并比较与的大小．
（3）当抛物线与线段有公共点时，求出的取值范围．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形是正方形，是对角线，点和点分别在边和上，且，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）当为中点时，求．
（3）求证：．2023-2024学年第二学期九年级第二次月考
数学
说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可．
【详解】解：的相反数是3，
故选：A．
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的运算，合并同类项，对于A，根据同类项的定义判断，对于B，根据幂的乘方法则计算并判断，对于C，D，根据同底数幂乘法和除法法则计算，并判断．
【详解】A．不能合并，所以A不正确，该选项不符合题意；
B．，所以B不正确，该选项不符合题意；
C．，所以C不正确，该选项不符合题意；
D．，所以D正确，该选项符合题意．
故选：D．
3. 石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
4. 一个由两个长方体组成的几何体按如图所示的方式水平放置，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了组合体的三视图，从上面观察组合体得出平面图形，再画出图形即可．
【详解】从上面观察组合体是外面是一个正方形，中间有一个正方形，且都是实线，如图所示．
故选：C．
5. 点向右平移3个单位长度后，恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，反比例函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求出点B的坐标即可解决问题．
【详解】解：由题意知，，
∵在的图象上，
∴．
故选：C．
6. 某校举行以“我和我的祖国”为主题的演讲比赛，7位评委给某同学打分（满分10分），该同学的得分情况是8，6，8，7，8，5，7．对于该组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数为7 B. 众数为8 C. 中位数为7 D. 方差为2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差．根据平均数，众数，中位数，方差的定义求解判断即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为5，6，7，7，8，8，8，处在最中间的数是7，
∴这组数据的中位数为7，故C不符合题意；
∵这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为8，故B不符合题意；
这组数据的平均数为，故A不符合题意；
这组数据的方差为 ，故D符合题意；
故选：D．
7. 如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理以及圆内接四边形的性质，无法证明，故可判断A；由平分可得，故可判断B；由圆内接四边形的性质可判断C；由垂径定理可判断D
【详解】解：A、 无法证明，故选项A错误，符合题意；
B、∵平分，∴，∴，故选项B正确，不符合题意；
C、∵四边形内接于，∴，故选项C正确，不符合题意；
D、∵平分，∴，∴，∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：A
8. 如图，是等边三角形，是边上一点，连接，点在的延长线上，且，延长交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作交于点作于点，设，由得，证明是等边三角形，得求出，再，根据相似三角形的性质可求出结论
【详解】解：过点作交于点作于点，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
设，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
故选：B
9. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与一次函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象得出，从而判断出二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴，且二次函数对称轴在y轴的左侧，得，即可得出答案．
【详解】解：根据二次函数图象得出，
抛物线对称轴为
∴
∴二次函数的开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴为；
一次函数的图像经过第一、二、四象限，
故选：C．
10. 如图，矩形的边分别是上的动点，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接和，当的值最小时，的最小值为（ ）
A. 10 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理等知识，先判断三点共线时，的值最小，设，．在中，可由勾股定理求出3．求得，，作于点，得，由求出．作点关于直线的对称点，则，连接与的交点，求出即为所求
【详解】解：根据题意得：点的轨迹在以点为圆心，的长为半径的圆上，所以当三点共线时，的值最小，此时，．
设， ．
在中，
∴，即
解得，3．
∴，，
作于点，
则，
∴，
在和中，
．
如图，作点关于直线的对称点，则，
连接与的交点即所求，此时的值最小，且，
在中，．
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. ________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算，原式先化简，，再计算减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
12. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
13. 我国明代商人，珠算发明家程大位在《算法统宗》中记载了这样一个问题：一古寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，碗刚好够用．问古寺内共有和尚多少人 根据上述问题，可知和尚的总人数是________．
【答案】624人
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设寺内有x个和尚，根据寺内和尚吃饭及喝粥的碗共有364个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设寺内有x个和尚，
依题意，得：
解得
故答案为：624人
14. 如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，连接并延长至点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点．
（1）若，则________．
（2）________．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】先作轴，根据三角函数求出，，可得答案；根据平行线分线段成比例可得，且相似比均为，进而根据相似三角形的性质表示，，，，的面积，然后根据三角形的面积公式求出比值．
【详解】（1）如图，过点作轴．
在中，，，
．
（2）如图，连接，作轴于点，交于点．
分别是的中点，
，且相似比均为．
设的面积为，则的面积为的面积为，
的面积为的面积为．
与的高相等，
．
故答案为：，3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，求反比例函数系数，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例等，过图象上的某一点向坐标轴作垂线是解决反比例函数问题的常用方法．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、系数化1的步骤解一元一次不等式即可．
详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
系数化为1，得．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的．
（2）以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查位似图形的作图及轴对称图形的作法，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据位似图形的作法作出图形即可；
（2）根据轴对称图形的作法作出相应图形即可．
【小问1详解】
如图所示：即为所求；
【小问2详解】
即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 劳动教育已纳人人才培养全过程，某学校加大劳动教育投人，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率．
【答案】该作物平均每年的增产率为10%．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率的公式列出方程，再求出解即可．
【详解】解：设该作物平均每年的增产率为，根据题意，得
，
解得（不合题意，舍去）．
答：该作物平均每年的增产率为．
18. 观察下列等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题．
（1）写出第6个等式：________．
（2）写出你猜想的第个等式：________（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察等式发现规律，总结规律．
（1）观察前几个等式的规律，即可写出第6个等式；
（2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式．
【小问1详解】
解：观察等式可知：
第6个等式：，
故答案为：；
小问2详解】
解：第个等式：，
证明：左边 ，
右边，
左边=右边，
，
故答案为：
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 安徽省科技馆是大型公益性科普教育场所，开馆以来，吸引了大量学生和家长前去参观和体验．如图1，这是馆内的一个全国最大的球状屏幕，图2是它的示意图，是球屏的平面图，的直径为28米，是测角仪，高度为0.5米．垂直水平地面，此时测得球屏视线最上部的仰角为，即，视线最下部的仰角为，即．视线与相切，切点分别为和．求点到的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】点至的距离为3.3米．
【解析】
【分析】本题主要考查切线长定理和解直角三角形-----仰角俯角问题，连接，求出米和米，从而可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
与相切，
平分．
，
．
又的直径为28米，
米．
在中，米．
由题意得四边形是矩形，
米．
在中，米，
米．
答：点至的距离为3.3米．
20. 如图，菱形的对角线相交于点，分别过点作的平行线，且与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）求四边形与菱形的面积比．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，菱形的性质：
（1）欲证明四边形是矩形，只需推知四边形是平行四边形，且有一内角为90度即可；
（2）求出菱形的面积，矩形的面积即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形为菱形，
．
∴，
，
四边形为平行四边形，
平行四边形为矩形．
【小问2详解】
解：四边形为菱形，
．
又菱形的面积，
矩形的面积，
四边形与菱形的面积比为．
六、（本题满分12分）
21. 某中学近期举行了“我的中国梦”歌手大赛，根据初赛成绩，选出了5位歌手．为了了解学生最喜爱的歌手，随机抽取若干名学生进行投票，投给自己最喜爱的歌手，每人都要投票且只投一人，将投票结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图．
（1）本次随机抽取的学生人数为________，并补全条形统计图．
（2）若参与投票的学生共有500名，可估计出其中最喜爱歌手的学生人数为_______，扇形统计图中所占的圆心角的度数为________°．
（3）学校计划在4位歌手中随机抽取2位分享心得体会，求恰好选中歌手和歌手的概率．
【答案】（1）60人，图见解析；
（2）125；54； （3）．
【解析】
【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图以及用树状图或列表法求概率：
（1）用喜爱B的人数除以所占比例即可求出随机抽取的学生人数，再求出喜爱E的人数即可祉全条形统计图；
（2）先求出喜爱A的人数在样本听占比，再用500乘这个比例即可得到参与投票中最喜爱歌手的学生人数，用乘喜爱歌手C的学生人数占比即可得出结果；
（3）画树状图可得出12种等可能的结果，确定出恰好选中歌手和歌手的结果有2种，再根据概率公式求解即可
【小问1详解】
解：本次随机抽取的学生人数为（人）．
最喜爱E人数为：（人）
补全条形统计图如下：
故答案为：60；
【小问2详解】
解：最喜爱歌手的学生人数为（人）；
扇形统计图中所占的圆心角的度数为，
故答案为：125；54；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
以上共有12种等可能的结果，恰好选中歌手和歌手的结果有2种，
恰好选中歌手和歌手的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，某同学设计了一条抛物线取不同的值，便可得到不同的抛物线，设抛物线与直线交于点．
（1）用含的代数式表示抛物线的对称轴及顶点坐标．
（2）设点的纵坐标为，当取得最小值时，抛物线上有两点，且，请求出的最小值，并比较与的大小．
（3）当抛物线与线段有公共点时，求出的取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）最小值是，；
（3）或．
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值：
（1）把抛物线的解析式化顶点式即可求出对称轴及顶点坐标；
（2）把代入抛物线解析式，可得，根据二次函数的最值可得的最小值，确定此时势力的线的解析式，根据增减性和图象可得与的大小．
（3）令，解出两个解，这两个解符合横坐标范围，可解答
【小问1详解】
解： ，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【小问2详解】
解：把代入抛物线解析式，得，
当时，取得最小值，且最小值是，
此时抛物线的解析式为，
当时，随的增大而增大．
．
【小问3详解】
解：当抛物线分别经过点时，
可得，
解得或．
如图1，当抛物线在对称轴右侧的部分分别经过点时，抛物线与线段有一个公共点，此时；
如图2，当抛物线在对称轴左侧的部分分别经过点时，抛物线与线段有一个公共点，此时．
综上所述，符合题意的的取值范围为或．
八、（本题满分14分）
23. 如图，四边形是正方形，是对角线，点和点分别在边和上，且，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）当为的中点时，求．
（3）求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理：
（1）证明，即可证明；
（2）由得，设，则，过点作于点，得是等腰直角三角形，证明，求出，即可得出．
（3）作于点，连接．，求出，得出，最后由勾股定理可得结论
【小问1详解】
证明：是正方形的对角线，
．
又，
，
，
．
，
，
．
【小问2详解】
解：是正方形的对角线，
．
，
．
设，则，
如图1，过点作于点，则
∵
∴，
∴是等腰直角三角形．
又，
．
，
，
，
，
．
又，
，
，
在中，．
【小问3详解】
证明：如图2，作于点，连接．
由（1）知，设，
则，
，
，
在中，．

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