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福州八中2023-2024学年第二学期期中考试高一数学
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
2、已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①，，，； ②，；
③，，； ④，.
其中正确命题的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3、已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4、一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5、1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，其中是自然对数的底，是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
6、在中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.直角或钝角三角形 D.锐角三角形
7、如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8、点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9、已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A.若，则 B.
C.若，则 D.
10、某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且.下列说法正确的有（ ）
A.
B.该圆台轴截面面积为
C.该圆台的体积为
D.沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
11、已知对任意角，均有公式.设的内角，，满足.面积满足.记，，分别为，，所对的边，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、平面向量与的夹角为，，，则等于________
13、中国古典神话故事《白蛇传》中“水没金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心在同一个水平面内的两个测量基点与，在点测得：塔顶的仰角为，在的北偏东处，在的正东方向41米处，且在点测得与的张角为，则慈寿塔的高度约为________米（四舍五入，保留整数）.
14.在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（13分）已知是复数，与均为实数.
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围
16.（15分）如图所示，已知圆是的外接圆，圆的直径.设，，，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
①；
②；
③的面积为.选择条件________.
（1）求的值；
（2）求的周长的取值范围.
17.（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.
18.（17分）已知的面积为，且且.
（1）求角的大小；
（2）设为的中点，且，求线段的长度.
（3）在满足（2）的条件下，若的平分线交于，求线段的长度.
19.（17分）已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足.
（1）求证：为定值；
（2）把三个实数，，的最小值记为，若，
求的取值范围；
（3）若，，求的最大值.

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