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3简单的轴对称图形
第1课时
学习目标
经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．探索并了解“三线合一”有关性质，应用“三线合一”的性质解决一些实际问题．
学习策略
1.先精读一遍教材第121页到124页，用红笔进行勾画“三线合一”有关性质, 线段垂直平分线的有关性质；再针对课前预习二次阅读教材，并回答问题.
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑.
学习过程
一.复习回顾：
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,能找出对称轴吗？
二.新课学习：
1.自学教材P124，回答以下问题
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴．
（2）等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
（3）等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所
在的直线呢？
沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．
三..尝试应用：
1、下列命题正确的个数是（　　）
①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;
③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;
④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC( )
A．是中心对称图形，不是轴对称图形
B．是轴对称图形，不是中心对称图形
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．以上都不正确
3.我们知道等腰三角形是轴对称图形，你认为它有____条对称轴．对于等腰三角形对称轴的问题，芳芳、丽丽、园园有了不同的看法．
芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线．”
丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线．”
园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线．”
你认为她们谁说的对呢？
请说明你的理由______________________________________________
自主总结：
1.等腰三角形是 _____ 图形
2.等腰三角形 ， ， 重合（也称 ）它们所在的直线都是三角形的
3.等腰三角形的 相等
五.达标测试
一、选择题
1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A.过顶点的直线 B.底边上的高
C.顶角平分线所在的直线 D.腰上的高所在的直线
2．下面四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A.有一个内角为45度的直角三角形 B.有一个内角为60度的等腰三角形
C.有一个内角为30度的直角三角形 D.两个内角分别为36度和72度的三角形
3．下列字母中：H、F、A、O、M、W、Y、E，轴对称图形的个数是（ ）
A.5 B.4 C.6 D.7
二、填空题
4．等腰三角形的对称轴是 .　
5．在△ABC中，AB =AC，∠A=80°，则∠B= ．　
6．已知M、N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间关系是 ．
三、解答题
7.如图1，在一条河同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置；
8.如图所示，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最小.
9.圆、长方形、正方形都是轴对称图形，说出他们分别有几条对称轴.
已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长.
答案：
3 简单的轴对称图形
第1课时
一、选择题
1．答案：C
解析：解答：对称轴是直线，故B错；须过底边中点，故A错，D错，综上，选C.
分析：解决本题关键是首先确定对称轴是直线，其次确定过什么特殊点.
2．答案：C
解析：解答：对于选项A，有一个内角为45度的直角三角形，三个内角分别是45°、90°、45°，是等腰三角形，是轴对称图形；选项B，有一个内角为60°的等腰三角形，三个角度数分别为60°、60°、60°，是等边三角形，是轴对称图形；对于C，有一个内角为30度的直角三角形，三个角度数分别为30°、90°、60°，不是等腰三角形，不是轴对称图形；对于D，两个内角分别为36度和72度的三角形，三个角度数分别为36°、72°、72°，是等腰三角形，是轴对称图形；综上，选C.
分析：解决本题关键是判断是不是等腰三角形，是的就是轴对称图形，否则就不是.
3．答案：D
解析：解答：从第一个字母研究，只要能够找到一条对称轴，令这个字母沿这条对称轴折叠后，两边的部分能够互相重合，就是轴对称图形，可以得出：字母H、A、O、M、W、Y、E这七个字母，属于轴对称图形，故选D.
分析：本题关键是找到一条对称轴，解决方法是针对每一字母逐一研究，涉及到的知识点较为单一.
二、填空题
4．答案：底边的垂直平分线
解析：解答：∵对称轴是直线
∴等腰三角形的对称轴也是直线
∵等腰三角形有两条边相等
∴这两条边是轴对称后能够重合的两条线段
∴这两边的非公共点是轴对称点
∴等腰三角形的对称轴是其底边的垂直平分线
分析：本题关键是把求等腰三角形的对称轴转化成求线段的对称轴.
5．答案：50°
解析：解答：∵AB=AC
∴根据轴对称的性质，将线段BC对折重合后，点A在折痕上
∴线段AB、AC关于折痕轴对称
设折痕与BC交点为D
则△ABD、△ACD关于直线AD轴对称
∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°
分析：本题关键是利用轴对称性质，得到∠B =∠C，再利用三角形内角各可以求得.
6．答案：∠MAN=∠MBN
解析：解答：∵原题当中没有说明点M、N在线段AB的位置，
∴可能有以下四种情况：
①如图①，点M、N在线段AB两侧时
∵M、N是线段AB的垂直平分线上任意两点
∴点A、B两点关于直线MN轴对称
∴线段MA、MB两点关于直线MN轴对称
同理线段NA、NB两点关于直线MN轴对称
∴△MAN与△MBN关于直线MN轴对称
∴∠MAN =∠MBN
②如图①，当点M、N在线段AB同侧时，
按照①中逻辑推理，同样可以得到∠MAN =∠MBN；
②③如图③，当点N在线段AB上时，同理可得∠MAN =∠MBN；
④如图④，当点M在线段AB上时，同理可得∠MAN =∠MBN.
综上，一定有∠MAN =∠MBN
分析：本题关键是考虑到不论点M、N与线段AB的位置如何，求得∠MAN=∠MBN原理相同，这是关键点.
三、解答题
7.解答：∵两点之间线段最短
∴需要能将AM、BM两边转化到一条直线上
∴用轴对称可以办到
求点M的位置的具体步骤如下：
①作作点A关于直线BC的轴对称点A’
②连结A’B交BC于点M
②③连结AM
则点M就是所求作的点，能够使M到A和B的距离之和最短.
解析：分析：本题关键是要分析出如何求点M的方法，这是关键点.
8.答案：所求点如下图所示
解答：∵△PQM的三条边中PQ已经确定
∴只需要另外两边之和最短
∵两点之间线段最短
∴需要能将其它两边转化到一条直线上
∴用轴对称可以办到
求点M的位置的具体步骤如下：
①作作点P关于直线BC的轴对称点P’
②连结P’Q交BC于点M
②③连结PM
则点M就是所求作的点，能够使PQM的周长最小.
解析：分析：本题关键是要分析出如何求点M的方法，这是关键点.
9.答案：无数条｜2条｜4条
解答：∵对于圆来说，过圆心的任意一条直线，都能够将这个圆分成能够互相重合的两部分
∴过圆心的直线，都是圆的对称轴
∴圆有无数条对称轴
∵对于长方形来说，过其中心平行于边的直线，都能够把它分成能够互相重合的两部分
∴长方形有2条对称轴
∵对于正方形来说，属于长方形的对称轴，对其也成立；
∴正方形首先有2条对称轴
又∵正方形的每一条对角线所在的直线，也能够把这个正方形分成能够互相重合的两部分
∴正方形另外还有2条对称轴
综上，正方形有4条对称轴
解析：分析：本题关键是要分析出每一种图形对称轴的由来，这是关键点.
10.答案：22
解答：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，
∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9；
当三边长为4，4，9时，4+4＜9
不能构成三角形，舍去；
当三边长为4，9，9时，能够构成三角形，
此时，周长为4+9+9 =22
答：它的周长是22.
解析：分析：本题关键是要考虑到是否能够构成三角形，这是易错点.3简单的轴对称图形
第2课时
学习目标
经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．探索并了解“三线合一”有关性质，应用“三线合一”的性质解决一些实际问题．
2.探索并了解线段垂直平分线的有关性质，应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
3.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力，初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
学习策略
1.先精读一遍教材第121页到124页，用红笔进行勾画“三线合一”有关性质, 线段垂直平分线的有关性质；再针对课前预习二次阅读教材，并回答问题.
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑.
3.再精读一遍教材第125页到126页，用红笔进行勾画角的平分线的方法；再针对课前预习二次阅读教材，并回答问题.
4.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑.
学习过程
一.复习回顾：
1、什么样的图形叫做轴对称图形？
答：把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
2、下列图形哪些是轴对称图形？
二.新课学习：
1.自学教材P126-129，回答以下问题
（1）线段是对称图形吗？
（2）线段垂直平分线的性质？
（3）角平分线的性质？
三..尝试应用：
1．如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
2．如图，在△ABC，PM，QN分别垂直平分AB，AC，则: (1)若BC=10，则△APQ的周长=_____; (2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
3．如图，在Rt△ABC中，∠ C= 90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若DE=5cm，则CD=（ ）
4．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（ ）。
A．点P在∠B的角平分线上 B．点P在∠ACE的角平分线上
C．点P在∠DAC的角平分线上 D．点P到A，B，C三点的距离相等
自主总结：
1.线段是 图形。 的直线是它的一条
2.垂直于一条线段，并且 的直线，叫做这条线段的 （简称 ）
3.角是 图形， 所在的直线是它的
4.角平分线上的点到（ ）
五.达标测试
一、选择题
1．如图，点P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，若点N到∠AOB的两边距离相等，且PN＝NQ，则点N一定是（ ）．
A．∠AOB的平分线与PQ的交点
B．∠OPQ与∠OQP的角平分线的交点
C．∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点
D．线段PQ的垂直平分线与∠OPQ的平分线的交点
2．如图所示的尺规作图是作
A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆
C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角
3．右图的尺规作图是作（ ）
A.线段的垂直平分线 B.一个半径为定值的圆
C.一条直线的平行线 D.一个角等于已知角
二、填空题
4．如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC的面积为 cm2．
5．概念考察．
（1）公理： 的两个三角形全等，（简称 ，字母表示 ）
（2）公理： 的两个三角形全等，（简称 ，字母表示 ）
（3）公理： 的两个三角形全等，（简称 ，字母表示 ）
（4）判定： 的两个三角形全等．（字母表示：AAS）
（5）简述“三线合一”： ．
（6）勾股定理的内容是： ．
（7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ．
（8）角平分线上的点到角两边的距离 ．
6．如图，在中，，，则的一条中线是 ，一条角平分线是 .
三、解答题
7．如图，a、b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场。现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等。请用尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹。
8．如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P, 使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN,有一同学说：“只要作一个角平分线、一条线段的垂直平分线，这个茶水供应点的位置就确定了”，你认为这位同学说得对吗？请说明理由，并通过作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹.
9．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，求CE的长.
10．已知:如图,△ABC中,请你按下列要求读句画图: (“作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹并写出结论)．
⑴用尺规作图作∠BAC的角平分线AD交边BC于D点;
⑵作线段AD的垂直平分线EF,交AD于E点,交BC的延长线于F点；
⑶ 根据 ⑴,⑵作图, 连结AF, 若∠B=40°,请求出∠CAF的度数.
答案：
3 简单的轴对称图形
第2课时
一、选择题
1．C．
【解析】
试题分析：根据角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，所以本题到∠AOB的两边距离相等的点在∠AOB的平分线上；根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以到点P，Q两点距离相等的点在线段PQ的垂直平分线上，满足两种情况，点N一定是∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点．故选C．
考点：1．角平分线的判定定理；2．线段垂直平分线的判定定理．
2．A
【解析】解：设这条线段为AB，上边两弧的交点为C，下面两弧的交点为D．
∵AC=BC，
∴点C在AB的垂直平分线上，
同理点D在AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴是线段的垂直平分线，
故选A．
3．A
【解析】
试题分析：根据与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可得图中的由两弧相交得到的两个点是这条线段垂直平分线上的点，根据两点确定一条直线可得过这两点的直线是这条线段的垂直平分线．
解：设这条线段为AB，上边两弧的交点为C，下面两弧的交点为D．
∵AC=BC，
∴点C在AB的垂直平分线上，
同理点D在AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴是线段的垂直平分线，
故选A．
点评：用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
二、填空题
4．20
【解析】解：如图，过点C作CF⊥OM于点F，
∵BE是线段OA的垂直平分线
∴OB=AB=10
∵OP是∠MON的角平分线
∴CF=CA=4
∴△OBC的面积=×OB CF=×10×4=20（cm2）
故填20．
5．（1）两边和它们的夹角对应相等，边角边，SAS；
（2）三边对应相等，简称：边边边或SSS
（3）两角和它们的夹边对应相等，角边角，ASA
（4）两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；
（5）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；
（6）直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；
（7）相等；
（8）相等．
【解析】
试题分析：根据三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质即可得出结果．
解：（1）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称：边角边或SAS；
故答案为：两边和它们的夹角对应相等，边角边，SAS；
（2）三边对应相等的两个三角形全等，边边边，SSS；
故答案为：三边对应相等，简称：边边边或SSS
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称：角边角或ASA；
故答案为：两角和它们的夹边对应相等，角边角，ASA
（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称：角角边或AAS；
故答案为：两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；
（5）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；
故答案为：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；
（6）勾股定理：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；
故答案为：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；
（7）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
故答案为：相等；
（8）角平分线上的点到角两边的距离相等；
故答案为：相等．
点评：此题考查了全等三角形的判定方法、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质；熟记各个判定定理和性质定理是解决问题的关键．
6．、
【解析】
试题分析：根据三角形的中线、角平分线的定义即可得到结果.
由题意得的一条中线是，一条角平分线是.
考点：本题考查的是三角形的中线，角平分线
点评：解答本题的关键是掌握角的平分线把角分成两个大小相同的小角，且都等于大角的一半。三角形的中线的概念：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线．
三、解答题
7．如图所示：
【解析】
试题分析：连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．
①以A为圆心，以任意长为半径画圆，分别交铁路a和公路b于点B、C；
②分别以B、C为圆心，以大于BC为半径画圆，两圆相交于点D，连接AD，则直线AD即为∠BAC的平分线；
③连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，则直线EF即为线段MN的垂直平分线；
④直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点．
考点：本题主要考查了线段垂直平分线及角平分线的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的到线段两端的距离相等；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
8．答：这位同学说的对，理由如下：
因为角平分线上的点到这个角两边的距离相等，而线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以只要作出∠BAC的平分线，再作出线段MN的垂直平分线，两条直线的交点P就是茶水供应点的位置．
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作出∠BAC的平分线与线段MN的垂直平分线，交点就是点P所在的位置．
9．10
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．
：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BDE=90°，
∵∠B=30°，
∴BE=2DE=2×5=10，
∴CE=BE=10．
考点：本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用
点评：解答本题的关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型。
10．⑴ 图略⑵ 图略⑶40°
【解析】⑴ 图略
⑵ 图略
⑶ ∵EF是AD的垂直平分线
∴FA=FD （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠FAD=∠FDA （等边对等角）
即 ∠1＋∠2＝∠3
∵∠3＝∠B＋∠4
∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠4
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠4
∴∠2＝∠B＝40°
（1）用尺规作角平分线（见数学课本）
（2）用尺规作线段的垂直平分线（见数学课本）
（3）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、等边对等角与角平分线性质的相结合

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