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2024年高考数学复习专题 练习★★
平面向量数量积的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．
知识导图
考点分类讲解
考点一：求参数的最值(范围)
规律方法　利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1.
【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC，点D满足＝，点E为线段CD上异于C，D的动点，若＝λ＋μ，则λ2＋μ2的取值范围是________．
【变式1】设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为 ．
【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则函数的最小值为 .
【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为(　　)
A.＋ B.
C. D．1
考点二：求向量模、夹角的最值(范围)
易错提醒　找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．
【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
【例2】　(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且＝4，则a与a－b夹角的余弦值的最小值为________．
【变式1】(2023·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【变式2】(2023·杭州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________．
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
考点三：求向量数量积的最值(范围)
规律方法　向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
【例3】　(1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且AB＝1，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则·的最大值为(　　)
A. B. C．1＋ D．2＋
【变式1】(2023·台州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(含边界)一点，M为边BC的中点，则·的取值范围是(　　)
A．[－2,6] B．[－1,9]
C．[－2,4] D．[－1,6]
【变式2】(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．0 B．－ C．－ D．－2
【变式3】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M为直角外接圆O上的任意一点，，则的最大值为 ．
强化训练
单选题
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
2．（23-24高三上·江西吉安·期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知是圆：的直径，、是圆上两点，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量与垂直，则的最小值为1
D．向量与的夹角正切值的最大值为
2．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．存在最大值
D．的最小值为
3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若的外心为O，则为定值2
C．若，则点Q的轨迹长度为
D．若且，则存在点，使得的最小值为
三、填空题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 .
2．（23-24高三上·山西太原·期末）已知非零向量，夹角为，则的最小值为 .
3．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，则的最小值为 .
四、解答题
1．如图，在△ABC中，，，，D为BC的中点，E为AB边上的动点（不含端点），AD与CE交于点O，.

(1)若，求的值；
(2)求的最小值，并指出取到最小值时x的值.
2．（22-23高三·北京·阶段练习）已知非零平面向量，的夹角为，.
(1)证明：；
(2)设，求的最小值.
3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知
(1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若函数，求的最小值.
4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．

(1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围；
(2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值．
5．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．

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