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淮南实验中学2023—2024学年八年级数学下学期期中卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 中，a、b、c分别为、、对边，下列条件中能判断为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
3. 等式成立的条件是（ ）
A. B. C. 或 D.
4. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（　　）
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
9. 如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
10. 如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）
A. 12 B. 10 C. 9.6 D. 4.8
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 使式子有意义的的取值范围是_________．
12. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_________．
13. 已知，，则的值为_________．
14. 如图，在中，对角线相交于点O，，则长为_________．
15. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和27，则阴影部分的周长为_________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是_________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17. 计算：
（1）
（2）
18. （1）如图1在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，画一个面积为2的平行四边形（矩形除外）；
（2）在图2在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，中画一个，使其三边长分别为，，．
19. 如图，在中，点D在上，，，，．求AC的长．
20. 如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接，，交于点O，，
求证：四边形是矩形．
21. 勾股定理是人类早期发现并证明重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是多少？
22. 先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
……
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：______；
（2）请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
（3）请利用你发现规律，计算：
．
23. 如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接，与交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．淮南实验中学2023—2024学年八年级数学下学期期中卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐个判断即可求解．
【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
、是最简二次根式，该选项符合题意；
、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
、被开方数含有开方开得尽的因数4，不是最简二次根式，该选项不合题意；
故选：．
2. 中，a、b、c分别为、、的对边，下列条件中能判断为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、∵，
∵，
∴最大角
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，，
∴，
∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴是直角三角形，故本选项符合题意
故选：D．
3. 等式成立的条件是（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质列出不等式，解不等式即可得出结论，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故选：A．
4. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
C、∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
5. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，，
故选：B．
6. 如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】A、∵四边形为平行四边形，
∴，即．
又，
∴四边形为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
B、无法证明四边形为平行四边形，该选项符合题意．
C、∵四边形为平行四边形，
∴，即．
又，
∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
D、∵四边形为平行四边形，
∴，．
又，，，
∴．
∵，，
∴．
∴四边形为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键．
7. 已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是（　　）
A B.
C. 或 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键．根据题意，图形结合，分类讨论，结合平行线之间距离的计算方法即可求解．
【详解】解：如图①，a与c之间的距离为；
如图②，a与c之间的距离为．
∴a与c之间的距离为或．
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
【详解】解：∵点A坐标为（2，3），
∴OA==，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA=OB=，
∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键．
9. 如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以四边形的面积一半．
【详解】解：设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高，
∴．
故选：C．
10. 如图，在中，，，点D，E分别是边上的动点，连结，F，M分别是的中点，则的最小值为（　　）
A. 12 B. 10 C. 9.6 D. 4.8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，正确得出的值是解题的关键．过点B作于H，当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可．
【详解】过点B作于H，
∵F，M分别是的中点，
∴，
当取最小值时，的值最小，
由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 使式子有意义的的取值范围是_________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：且．
12. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，利用勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意，利用三角形中位线定理可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长．
【详解】解：∵在矩形中，，，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点，，，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵点O为的中点
∴，
故答案为：．
13. 已知，，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加法，平方差，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握异分母分式相加，先通分，再相加．
根据题意得出，，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，对角线相交于点O，，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
由平行四边形的性质可知，，由勾股定理求，则，由勾股定理得，，计算求解，进而可求的长．
【详解】解：∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为12和27，则阴影部分的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
先根据正方形的面积得出正方形的边长，进而得出阴影部分的长和宽，即可解答．
【详解】解：∵两相邻正方形的面积分别为12和27，
∴两相邻正方形的边长分别为和，
∴阴影部分长为，宽为，
∴阴影部分的周长，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得，，，再分当点F靠近点C时，，当点F靠近点O时，则，两种情况利用勾股定理先求出的长，进而得到的长，设出的长，进而得到的长，在中，由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：在长方形中，，，
由折叠的性质可得，，，
恰好是边的三等分点，
∴当点F靠近点C时，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得到，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
当点F靠近点O时，则，
在中，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得到，
∴，
解得，
∴点的坐标是；
综上所述，点的坐标是或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算是解题关键；
（1）根据二次根式的加减混合运算法则求解即可；
（2）根据完全平方公式，平方差公式计算求解即可；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
18. （1）如图1在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，画一个面积为2的平行四边形（矩形除外）；
（2）在图2在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，中画一个，使其三边长分别为，，．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理与网格，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理与网格是解题的关键．
（1）根据，令底为1，作平行四边形即可；
（2）由勾股定理构造，，，然后作即可．
【详解】（1）解：如图1，平行四边形即为所求；
（2）解：如图2，即为所求；
19. 如图，在中，点D在上，，，，．求AC的长．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理判定，再在中利用勾股定理列方程即可解答．
【详解】解： ∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
设．
∵，，
∴．
∴．
解得．
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键在于熟练掌握定理，灵活运用．
20. 如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接，，交于点O，，
求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，先证明四边形为平行四边形，再证明即可得到结论．
【详解】证明：在平行四边形中，，，，
则．
又，
．
四边形为平行四边形，
，．
∵，
．
又∵，
，
又，
，
，
，即，
平行四边形为矩形．
21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意设未知数列方程是解题的关键；设绳索的长是，则，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设绳索长是，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
绳索的长是；
22. 先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
……
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：______；
（2）请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
（3）请利用你发现的规律，计算：
．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，以及找规律，解题关键在于通过仔细观察找出式子和数之间的关系，并用关系式表示出来．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律得出算式，最后求解即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
．
23. 如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接，与交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，则根据可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得，进而得到结论．
【小问1详解】
于点，．
，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
，
，
．
在与中，
，
．
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理，根据证明是解题的关键．

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