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参考答案：
1．A
【分析】利用对数函数定义求出定义域即得.
【详解】函数的定义域是.
故选：A
2．B
【分析】利用两角差的正切公式求解.
【详解】因为
所以，
，
故选：B
3．C
【分析】
根据等比数列下标和性质计算可得.
【详解】在是等比数列，，，又，所以，
又，是方程两根，
所以.
故选：C
4．C
【分析】求导判断出函数的单调区间即可做出选择.
【详解】∵，∴.
令，得.
则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.
选项A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；
选项B：违背函数在区间上单调递减. 判断错误；
选项C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；
选项D：违背函数在区间上单调递减. 判断错误.
故选：C
5．C
【分析】分甲单独一人执勤一个场馆和甲和另一个人一起执勤一个场馆两种情况求解即可.
【详解】分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有种；
第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有种，则共有24种.
故选：C
6．B
【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.
【详解】由题意得，展开式中含的项为，
所以展开式中含项的系数为.
故选：B
7．A
【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得，由已知条件可得四边形为矩形，则，，再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.
【详解】由已知，则双曲线的一条渐近线，即，
又，即，且四边形为矩形，
所以，则，
又根据椭圆定义可知，
所以离心率．
故选：A
8．D
【分析】令且恒成立，根据的极值点得到矛盾，有两个不同的零点，利用三次函数性质判断单调性，进而求参数范围.
【详解】由题意，令，
若恒成立，易知：当时，当时，
所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点．
设的两个零点分别为，则，
结合三次函数的图象与性质知： ，
在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意，
此时需，得，所以实数的取值范围为．
故选：D.
9．BCD
【分析】对A，借助二项式的展开式的通项公式计算即可得，对B，可借助二项式的展开式的通项公式可求得各系数的值即可得，对C，由、、，、，借助赋值法计算即可得；对D，借助赋值法计算即可得.
【详解】对于A，对，有，
则，故A错误；
对于B，令，则有，即，
因为，
所以，，，
，，
故有，故B正确；
对于C，由、、，、，
则，
令，则有，
即，又，
故，故C正确；
对于D，令，则有，即，
又，故，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
【详解】对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，
利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】求出函数的零点判断A；利用导数探讨函数在上的取值情况判断B；利用导数探讨单调性及极值情况判断CD.
【详解】对于A，依题意，，即和是函数的零点，A错误；
对于B，当时，令，求导得，函数在上递增，当时，，
而在上递增，值域为，
因此当时，，则无最大值，B正确；
对于C，，
令，求导得，
当时，令，则，即在上递增，
，则在上递增，，
因此在上递增，即在上单调递增，C正确；
对于D，当时，，
求导得，显然函数在上递增，
而，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递增，则，
即当时，，则，又，
因此为的一个极小值点，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
12．ABD
【分析】依题意可得为直角三角形，设，，利用勾股定理及双曲线的定义求出，即可判断A，对称性可知为等腰直角三角形，即可求出，从而得到，即可判断B，曲线与双曲线的交点即为，联立双曲线方程，求出，即可求出，从而求出，即可判断C，由双曲线的定义及所给条件求出，即可得到为等边三角形，从而判断D.
【详解】因为为平面上一点，且，所以为直角三角形，
设，，在中由勾股定理可得①，
由双曲线的定义可得②，
②式的平方减①式可得，所以，故A正确；
由对称性可知为等腰直角三角形，因此，又且，
所以，故B正确；
因为，所以点在以为直径的圆上，所以该圆的圆心为原点，半径为，
即曲线与双曲线的交点即为，由，
则，即（负值舍去），所以，
所以离心率，故C错误；
由题意可知，，则，
所以，即为等边三角形，则直线的斜率为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题关键是双曲线的定义及性质的应用，双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到，的关系．.
13．1
【分析】利用向量差的坐标运算，结合模的坐标表示计算得解.
【详解】向量，，则，
所以.
故答案为：1
14． 1 3
【分析】令后可求得值，然后由二项式定理结合多项式乘法法则求得的系数．
【详解】令，则，解得，
中的系数为，中的系数为，
所以中的系数为．
故答案为：1；3．
【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和，对于两个多项式相乘问题，注意利用多项式乘法法则得出某项的系数．
15．
【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】依题意，事件甲、乙只有一人摸到红球，
则，而，
所以.
故答案为：
16．
【分析】将问题转化为两个函数的最值，利用导数求解的最值，利用二次函数的性质求解的最值，即可求解.
【详解】由题意知，
由题意，且的对称轴为直线，
所以当时，．
设，则，所以，
当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又，所以在区间上只有一个零点，
设为，且当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以当时，，所以，即．
因此，实数的取值范围是．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，根据相互独立事件的概率公式求出、，再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据全概率公式计算可得.
【详解】（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出公差，由得到，从而得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）利用等差数列求和公式得到；
（3）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设公差为，
中，令得，
又，则，解得，
故；
（2）；
（3），
则①，
故②，
故①-②得
，
故.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）正弦边角关系及和角正弦公式得，结合三角形内角的性质求，再应用二倍角公式有，进而确定大小；
（2）应用余弦定理及求得、，正弦定理求，即可求边上的高.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
所以，又，
所以，又，则.
因为，即，又，所以，
因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理，得.
将，代入，得，
解得或（舍去），则.
因为，所以，
设边上的高为，则.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在图1中，连接，证明四边形为正方形，则，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）易得，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）在图1中，连接，
因为是的中点，，
所以四边形为正方形，
所以，
故在图2中，，
又平面，
所以平面，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以平面；

（2）由（1）知，，
则即为二面角所成角的平面角，
因为平面平面，
所以，即，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，可取，
则，可取，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

21．(1)
(2)
【分析】（1）根据对称性判断三点中哪两点在椭圆上并求出 ；
（2）由题意，M点必定在线段AB的垂直平分线上，设直线l的方程，根据l的斜率确定m的范围.
【详解】（1）由椭圆的对称性可知点和在上，代入方程得，
设的半焦距为，则离心率为，，所以，解得，
则椭圆；
（2）
由题意直线的斜率存在，设为，
则，联立得：，
设，的中点设为，
，，
，
解得 ，且，则，，
又 ，所以 ， ，
解得：，，且，
当时，， ，
当 时，，
所以；
22．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出，，依题意两数相等，即可得到方程，解得即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（3）利用导数说明的单调性，即可求出的最小值，从而得到的解析式，再利用导数求出的最大值，即可得证.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，，
因为两条切线平行，所以，解得
（2）由（1）可知，令，即，
即，即，又，解得，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，函数的最小值为.
（3）证明：因为，，，
令，则，即，
所以当时解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
所以在处取得极小值即最小值，
所以，
即的最小值为的解析式为，，
则，令，解得，
所以当时，即在上单调递增，
当时，即在上单调递增，
所以在处取得极大值即最大值，即，
所以，即当时，总有.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
答案第1页，共2页西安市雁塔区第二中学2023-2024学年度第二学期第一次阶段性测评高二年级数学试题
姓名： 班级：
单选题：本小题共8题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．已知则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是等比数列，，且，是方程两根，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
6．展开式中含项的系数为（ ）
A．30 B． C．10 D．
7．已知双曲线的一条渐近线l与椭圆交于A，B两点，若，（是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本小题共4题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
11．已知函数，则下列说法正确的有
A．有唯一零点
B．无最大值
C．在区间上单调递增
D．为的一个极小值点
12．已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（ ）
A．当为双曲线上一点时，的面积为4
B．当点坐标为时，
C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为
D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量，，则= .
14．若展开式中各项系数和为8，则 ，展开式中项的系数为 .
15．袋中有5个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则 ．
16．已知函数，，若对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤.
17.（10分）为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
18．（12分）已知等差数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若令，求数列的前项和
19．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求边上的高.
20．（12分）如图，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图2.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
21．（12分）已知椭圆的离心率为，三点，，中恰有两点在椭圆上.
(1)求的标准方程；
(2)设过点的直线（不为轴）与交于不同的两点，若点满足，求的取值范围.
22．（12分）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
答案第1页，共4页

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