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2024年高考数学复习专题 练习★★
函数的公切线问题（4大考点+强化训练）
函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．
【知识导图】
【考点分析】
考点一：求两函数的公切线
规律方法　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
【例1】已知抛物线和，如果直线l同时是和的切线，称l是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
(1)a取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
【变式】（2023·云南保山·统考二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考点二：与公切线有关的求值问题
规律方法　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．
【例2】（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知，．
(1)若在处的切线也与的图象相切，求的值；
(2)若在恒成立，求的取值集合．
【变式】设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．
(1)用t表示a，b，c；
(2)若函数在上单调递减，求t的取值范围．
考点三：判断公切线条数
规律方法　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．
【例3】曲线C1：与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是 。
【变式】 曲线C1：与曲线C2：(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
考点四：求参数的取值范围
规律方法　利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．
【例4】（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【变式】若函数
【强化训练】
一、单选题
1．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”．下列方程：①；②；③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
2．已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021上·四川成都·高三成都七中期中）如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024上·山西运城·高二统考期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．
7．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
8．（2024下·重庆·高二重庆一中校考开学考试）已知函数，（，），若存在直线l，使得l是曲线与曲线的公切线，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
9．判断曲线与曲线的公切线的条数，并说明理由.
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
11.已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.

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