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2023-2024学年上海市第二中学高一年级下学期
期中数学试卷
2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.在0到范围内，与角终边相同的角是______.
2.设角的终边经过点，那么______.
3.若一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的______.
4.函数的最小正周期为______.
5.已知锐角满足，则______.
6.已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则______.
7.若函数的最小值为1，则实数______.
8.已知，且是第三象限的角，则______.
9.已知，为单位向量且夹角为，设，，在方向上的数量投影为______.
10.已知角满足，则______.
11.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则______.
12.已知函数的部分图象如图中实线所示，圆与图象交于，两点，且在轴上，则圆的半径为 　　．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2024年4月20日谷雨节气到2024年12月6日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为　　
A． B． C． D．
14.下列等式中不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
15.为了得到函数的图象，可以将的图象　　
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
16.设函数在上单调递减，则下述结论：
①关于中心对称；
②关于轴对称；
③在上的值域为；
④方程在有4个不相同的根．
其中正确结论的编号是　　
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）若，，求；
（2）若的面积为，，求
18.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知，的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量的夹角是锐角，求实数的取值范围
19.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值
20.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中种植荷花用于观赏，，两点分别在两岸，上，，顶点到河两岸的距离，，设．
（1）若，求荷花种植面积（单位：的最大值；
（2）若，且荷花的种植面积为，求．
21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值2023-2024学年上海市第二中学高一年级下学期
期中数学试卷
2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.在0到范围内，与角终边相同的角是______.
【答案】
【解析】与角终边相同的角的集合为，
取，可得．
在0到范围内，与角终边相同的角是
2.设角的终边经过点，那么______.
【答案】
【解析】角的终边经过点，，，，
，，那么
3.若一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的______.
【答案】3
【解析】设原来扇形的半径为，弧长为，圆心角为．变化后的扇形的半径为，弧长为，圆心角为．
则，，，．
4.函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】由正切函数的周期公式得：
5.已知锐角满足，则______.
【答案】
【解析】
6.已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则______.
【答案】
【解析】不共线，
，
，存在实数，使，
，
，解得
7.若函数的最小值为1，则实数______.
【答案】3
【解析】因为，，
由题意得，
解得．
8.已知，且是第三象限的角，则______.
【答案】
【解析】，
，即，
是第三象限的角，
9.已知，为单位向量且夹角为，设，，在方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】
，且；
在方向上的数量投影为：
10.已知角满足，则______.
【答案】
【解析】，
11.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则______.
【答案】
【解析】连接，如图所示，
因为平行四边形中，为的中点，为的中点，
所以
，
所以，
所以．
12.已知函数的部分图象如图中实线所示，圆与图象交于，两点，且在轴上，则圆的半径为 　　．
【答案】
【解析】函数的最小正周期满足：，解得，即，所以．
因为点、关于点对称，所以，
由图象可得的最大值点为，所以，，
结合，取得，表达式为．
因此可得，所以圆的半径
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2024年4月20日谷雨节气到2024年12月6日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数位，
从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个格，
所以转过的弧所对圆心角的弧度数为．
故选：．
14.下列等式中不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】与不是恒相等的
故选C
15.为了得到函数的图象，可以将的图象　　
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】将 的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，
故选：．
16.设函数在上单调递减，则下述结论：
①关于中心对称；
②关于轴对称；
③在上的值域为；
④方程在有4个不相同的根．
其中正确结论的编号是　　
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】函数在上单调递减，
；
，
又因为，所以时，．
；
对于①，，所以①错；
对于②，，未达最值，所以②错；
对于③，
所以③对；
对于④，以为周期，在上只有两个根，端点不是根，
所以在有4个不同根，所以④对．
故选：．
三、解答题 (本大题满分48分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）若，，求；
（2）若的面积为，，求
【答案】（1）2；（2）
【解析】
（1）因为，，所以，
由正弦定理，可得；
（2）因为的面积为，
所以，因为，，
所以，解得，
由余弦定理可得，即
18.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知，的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量的夹角是锐角，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由，，与的夹角为，
所以，
所以；
（2）由与的夹角是锐角，
所以，且与不能同向共线；
即，且，；
所以，且，；
解得或；
所以实数的取值范围是
19.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值
【答案】（1），递增区间为；
（2）时，取得最小值0
【解析】
（1）因为函数
函数最小正周期是；
当
即
函数单调递增区间为
（2）；
所以当时，即时，取得最小值0
20.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中种植荷花用于观赏，，两点分别在两岸，上，，顶点到河两岸的距离，，设．
（1）若，求荷花种植面积（单位：的最大值；
（2）若，且荷花的种植面积为，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
由题可得，，．
（1）当时，，，
所以，
又因为，，，
所以，当且仅当时取等号．
所以荷花种植区域面积的最大值为．
（2）因为，，所以，，
故，，，
从而，
所以，①
所以．
又因为，所以，②
由①②解得：
21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，
即；
（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则；
（3）点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去）．
故实数的最小值为．

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