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2024年浙江省九年级中考数学复习专题 ——“赵爽弦图”问题
一、单选题
1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作交的延长线于点，设的长直角边为，短直角边为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，解得：，由，，说明，继而得到，在中，根据勾股定理得到，即可得解．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
由题意知，两个正方形之间是个全等的直角三角形，
设的长直角边为，短直角边为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴，，
，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题为解直角三角形综合运用题，考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，等角对等边，锐角三角函数．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的性质，得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，进而得到，由，得到，代入，即可求解，
本题考查了，直角三角形斜边中线等于斜边一半，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：找到相似三角形．
【详解】解：由题意可知：，，，，，
∴，
∵点为BC的中点，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴，即：，
设，
∴，解得：或（舍），
故选：C．
3．（2024·浙江·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，连接交，，于点，，，若，，是的四等分点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质．连接，，则点，，，，在同一条直线上，且，设，依题意得，，证和相似得，则，进而可求出，，则，然后在中由勾股定理求出，则，据此可得的值．
【详解】解：连接，，如下图所示：
，，是的四等分点
点，，，，在同一条直线上，
，
设，
依题意得：，，
，
∴，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连接，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，证明，得出，求出，，，，根据，，得出，求出，求出，，根据勾股定理求出，得出．
【详解】解：设，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵两对全等的直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．
5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接并延长交的延长线于点M，如，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．1.4
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形的应用，在中，根据，设，，从而利用勾股定理求出，再设，根据题意可得，，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而求出，最后在中，利用勾股定理求出，进行计算即可解答．
【详解】在中，，
，
设，，
，
设，
由题意得：，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在“赵爽弦图”中，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长交于点，若正方形的面积为49，正方形的面积为1，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】在，设，，则，进而得出，勾股定理得出，根据折叠的性质以及等面积法得出，，证明，得出，进而，根据，即可求解．
【详解】解：依题意，在，设，，则
∴
解得：
∴，
根据翻折的性质可得，则
∴，
∴
∴
即
解得：
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
7．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解．
【详解】解：过点D作交的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，
即，，，
由题意得，，解得，
在中，，则，
，
则，
∴，
故选：A．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
8．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）三国时期，我国数学家赵爽创造了一副“勾股图方图”，证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形和一个小正方形，如图大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，分别取和的中点M，N，连接，则的长为 （　　）

A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，根据勾股定理解求出x的值，作交的延长线于点K，易证四边形是矩形，再用勾股定理解即可．
【详解】解：大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
，，
设4个全等的直角三角形中较短的直角边长为x，即，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
M，N分别是和的中点，
，．
如图，作交的延长线于点K，

则，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理中的弦图问题，涉及矩形的判定与性质，解题的关键是求出全等直角三角形中较短的直角边长．
9．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，连接，过作交于，证明，四边形是平行四边形，可得，，设，，，，，，，，由题意可设，由等面积法可得：，再利用面积公式可得答案．
【详解】解：如图，连接，过作交于，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，

∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，设，
∴，，，，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
由题意可设，
由等面积法可得：
，
解得：，（负根舍去），
∴，
∴，
故选A
【点睛】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的求解是解本题的关键．
10．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）一堂数学课中，老师讲解“赵爽弦图”，为了培养学生的想象力和动手能力，要求学生用“类比”方法进行探究．小文同学结合之前学习的菱形，编了一个菱形版“赵爽弦图”，如图，菱形中，四边形是矩形，与是全等的等腰直角三角形，延长交于M点，若且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明得到过点B作交延长线于N，则是等腰直角三角形，得到，利用菱形的性质求出，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，进而求出，从而求出，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵与是全等的等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴
过点B作交延长线于N，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
二、填空题
11．（2024·浙江宁波·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，是正方形的面积，是正方形的面积．若，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，设直角三角形的两条直角边为斜边为，根据 可得和以及和的关系，用表示出正方形和正方形的面积，相比即可．
【详解】
解：设直角三角形的两条直角边为斜边为，
，
，
，
，
，
由勾股定理可得：
，
∵，，
∴，
故答案为：．
12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点、、，若，则的值是 ．
【答案】/
【分析】设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案．
【详解】解：设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
即，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，求出的长是解题的关键．
13．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则 ．

【答案】
【分析】根据题意得出，即，解方程得到（负值舍去）即可得到结论．
【详解】解：如图所示:

，，
，，
与的面积相等，
，
，
，
，若令，则，由公式法解得或（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
14．（22-23九年级下·浙江绍兴·阶段练习）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，的面积为3，则 ．
【答案】
【分析】由正方形的性质和等腰三角形的性质可得出．即可证，得出，从而可得出．设，则，根据三角形的面积公式可列出关于x的方程，解出x的值，即得出，，最后根据勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，
∵四边形和四边形都为正方形，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
∵大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．通过证明得出是解题关键．
15．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25．小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用，表示直角三角形的两条直角边， ．
（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形，中间的小正方形为正方形，连接，交于点，交于点， ．
【答案】 /1.5
【分析】（1）根据三角形面积得到ab，在根据勾股定理计算即可；
（2）根据已知条件证明和，计算即可；
【详解】（1）∵大正方形的面积为25，
∴大正方形的边长为5，
又∵小正方形的面积为3，四个直角三角形全等，
∴三角形的面积为，
∴，
由勾股定理得：，
化简得：，
即，
∴；
故答案是：；
（2）由题可得四个直角三角形全等，
∴，，
又∵正方形EFGH，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
，
即，
即；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和全等三角形的应用，准确计算是解题的关键．
16．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是 ．
【答案】16
【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，则2x2-16x=-16，整体代入可得结论．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为48，
∴AB2=48，
设AE=x，
∵AE+BE=8，
∴BE=8-x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
∴x2+（8-x）2=48，
∴2x2-16x=-16，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE=CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，
∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF） FG=EF FG=S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8 x）=2x2-16x+48=-16+48=32，
则S△CFP-S△AEP的值是16；
故答案为：16．
【点睛】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
试卷第1页，共3页
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2024年浙江省九年级中考数学复习专题 ——“赵爽弦图”问题
一、单选题
1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点，点为的中点．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2024·浙江·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，连接交，，于点，，，若，，是的四等分点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连接，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，如图①是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积法可以证明勾股定理．如图2连接并延长交的延长线于点M，如，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．1.4
6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在“赵爽弦图”中，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长交于点，若正方形的面积为49，正方形的面积为1，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
7．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）

A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）三国时期，我国数学家赵爽创造了一副“勾股图方图”，证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形和一个小正方形，如图大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，分别取和的中点M，N，连接，则的长为 （　　）

A． B．2 C． D．3
9．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（ ）

A． B． C． D．
10．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）一堂数学课中，老师讲解“赵爽弦图”，为了培养学生的想象力和动手能力，要求学生用“类比”方法进行探究．小文同学结合之前学习的菱形，编了一个菱形版“赵爽弦图”，如图，菱形中，四边形是矩形，与是全等的等腰直角三角形，延长交于M点，若且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024·浙江宁波·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，是正方形的面积，是正方形的面积．若，则 ．
12．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点、、，若，则的值是 ．
13．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则 ．

14．（22-23九年级下·浙江绍兴·阶段练习）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若，的面积为3，则 ．
15．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积为25．小正方形的面积为3．
（1）如图1，若用，表示直角三角形的两条直角边， ．
（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形，中间的小正方形为正方形，连接，交于点，交于点， ．
16．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是 ．
试卷第1页，共3页
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