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盐城市六校2023-2024学年度第二学期期中考试
高一年级数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则
A. B. C. D. 2
【答案】C
2．已知向量＝(2，3)，＝(－1，2)，若与共线，则m的值为
A. B. 2 C. D.
【答案】D
3．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，则△ABC一定是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
【答案】A
4．给出下列四个命题，其中正确的是
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；
③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；
④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
A. ②③ B. ①②③ C. ①② D. ②③④
【答案】A
5．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，
是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图所示的是一个圆形，
圆心为O，A，B是圆O上的两点，若AB＝4，则＝
A. 4 B. 8 C. D. 16
【答案】B (
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)
6．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量， 则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若(1，2)，(3，4)，则||＝
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
7．如图，在正方体中，点E是上底面的中心， 则异面直线AE与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
8．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan Atan C，则B＝
A．30° B．45° C．120° D．60°
【答案】D
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝，则下列结论中正确的是
A.与夹角为 B.＝－1 C.⊥() D.||＝
【答案】ABD
10．下列各式正确的是
A. cos215°－sin15°cos15°＝ B. (1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2
C. D.
(
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)【答案】BD
11．欧拉公式(其中i为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有
A. 为纯虚数
B. 的共轭复数为
C. (θ∈[，])的最大值为
D. 若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为
【答案】AD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
12．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为　 　cm．
【答案】9
13．若α∈(0，)，sin(α－)＝，则cosα＝　 　．
【答案】
14．如图，某景区有三条道路AB,BC,AC，其中AB长为2千米，是正北方向，BC长为千米，是正东方向，某游客在道路AC上相对B东偏北度的且距离B为千米的位置，则＝　 　．
【答案】
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(本小题满分13分)
(
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)已知，，在同一平面内，且＝(1，2).
(1)若||＝，且∥，求；
(2)若||＝，且()⊥()，求与的夹角的余弦值．
【答案】(1)因为，，所以设＝t＝t(1，2)＝(t，2t).
由得：，解得t＝±3.
；
(2)又由()⊥()，则有，
变形可得，
又，则有，
设与的夹角为，则有，
故与的夹角的余弦值为
16．(本小题满分15分)
在平面直角坐标系中，已知向量＝(,－1)，＝(cosα,sinα).
(1)若，tan(α＋β)＝，求的值；
(2)若与的夹角为且α∈(－π，0)，求α的值.
【答案】(1)因为，且，所以，，所以 ，故；
(2)因为，，
所以,，
(
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)，因为与的夹角为，所以，
即，所以，因为，所以，所以，所以.
17．(本小题满分15分)
已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；
(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．
【答案】（1）因为点A、B、C不能构成三角形，所以点A、B、C三点共线，所以，因为，，所以，即，所以若点A、B、C不能构成三角形，则.
（2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，则：
①若A为直角，此时，即，
所以，
②若B为直角，此时，即，由
所以所以，
③若C为直角，此时，即，解得，
所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，则或或.
18．(本小题满分17分)
如图，在凸四边形ABCD中，已知AB＝AD＝4,BC＝6.
(1)若∠ADB＝，C＝，求cos∠BDC的值；
(2)若CD＝2，四边形ABCD的面 (
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)积为4，求cos(A＋C)的值．
【答案】(1)在△中，,,.
在△中，由正弦定理得，，.
∵BC＜BD，∴∠BDC＜C，0＜∠BDC＜
(2)在△、△中，由余弦定理得，
，，
从而①，
由，得②，
得，,

19．(本小题满分17分)
已知△ABC中, 角A，B，C对应边分别为a，b，c.
(1)求证：sin2A－sin2B＝sin(A－B)sin(A＋B)；
(2)已知a2＝b2＋bc.
①若C＝，求A；
②若△ABC是锐角三角形，且a＝1，求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1).
(
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)(2)①因为，由正弦定理得：,
又,所以,
由(1)知,又,所以或(舍),
即,又,,所以.
②因为，，所以；在△ABC中由正弦定理得:
，所以，,
所以△ABC的周长为,
又△ABC是锐角三角形，由得,
所以，所以，
即△ABC的周长的取值范围是.
(
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)盐城市六校2023-2024学年度第二学期期中考试
高一年级数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则
A. B. C. D. 2
2．已知向量＝(2，3)，＝(－1，2)，若与共线，则m的值为
A. B. 2 C. D.
3．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，则△ABC一定是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
4．给出下列四个命题，其中正确的是
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；
③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；
④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
A. ②③ B. ①②③ C. ①② D. ②③④
5．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，
是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如右图所示的是一个圆形，
圆心为O，A，B是圆O上的两点，若AB＝4，则＝
A. 4 B. 8 C. D. 16
6．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量， 则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.
若(1，2)，(3，4)，则||＝
(
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)A. B. 2 C. D. 4
7．如图，在正方体中，点E是上底面的中心， 则异面直线AE与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
8．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan Atan C，则B＝
A．30° B．45° C．120° D．60°
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝，则下列结论中正确的是
A.与夹角为 B.＝－1 C.⊥() D.||＝
10．下列各式正确的是
A. cos215°－sin15°cos15°＝ B. (1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2
C. D.
11．欧拉公式(其中i为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有
A. 为纯虚数
B. 的共轭复数为
C. (θ∈[，])的最大值为
D. 若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
12．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为　 　cm．
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)13．若α∈(0，)，sin(α－)＝，则cosα＝　 　．
14．如图，某景区有三条道路AB,BC,AC，其中AB长为2千米，是正北方向，BC长为千米，是正东方向，某游客在道路AC上相对B东偏北度的且距离B为千米的位置，则＝　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(本小题满分13分)
已知，，在同一平面内，且＝(1，2).
(1)若||＝，且∥，求；
(2)若||＝，且()⊥()，求与的夹角的余弦值．
16．(本小题满分15分)
在平面直角坐标系中，已知向量＝(,－1)，＝(cosα,sinα).
(1)若，tan(α＋β)＝，求的值；
(2)若与的夹角为且α∈(－π，0)，求α的值.
17．(本小题满分15分)
已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；
(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．
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)
18．(本小题满分17分)
如图，在凸四边形ABCD中，已知AB＝AD＝4,BC＝6.
(1)若∠ADB＝，C＝，求cos∠BDC的值；
(2)若CD＝2，四边形ABCD的面积为4，求cos(A＋C)的值．
19．(本小题满分17分)
已知△ABC中, 角A，B，C对应边分别为a，b，c.
(1)求证：sin2A－sin2B＝sin(A－B)sin(A＋B)；
(2)已知a2＝b2＋bc.
①若C＝，求A；
②若△ABC是锐角三角形，且a＝1，求△ABC周长的取值范围.
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