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2023一2024 学年高三第三次模拟考试 7．倾斜角为 0 的直线 l 经过抛物线 C: :/= l6x 的焦点 F，且与 C相交于 A,B 两叔若 0E ［奇， fJ,
数学 则 I AF II BF I 的取值范围为
A. [ 128,256] B. [ 64,256] C. [ 64, 196
3 ] D. ［早， 128]
注意事项：
＆ 设 a ＝~,b= ln捞 4— l n 4
l ． 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 。 2 ,c= 2 ,其中 e 是自然对数的底数，则e
2 ． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 A. b< a< c B. a< c< b C. b< c< a D. c< b< a
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
答题卡上 。 写在本试卷上无效 。
求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
3 ． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 。
9．已知由 5 个数据组成的一组数据的平均数为 7 ，方差为 2 ，现再加入一个数据 1 ，组成一组新数
4． 本试卷主要考试内容：高考全部内容 。
据，则
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 A． 这组新数据的平均数为 3 B． 这组新数据的平均数为 6
题目要求的． 20 25 C． 这组新数据的方差为— D． 这组新数据的方差为一
3 3
l ． 下列集合中有无数个元素的是
4 1 0．已知 m,11,l 为空间中三条不同的直线，a,/3,Y 为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确
A. 位EN l2- EN } B. { x E z 12.. E N}
工 的是
C. 位EN | — E Z } D. {x E Q J2
4- E N} A. 若 a飞＝m ， m上Y，则 a上兀f3上Y
X
2 . 已知 z= (l — 3 i )(a+ i)(aE R) 为纯虚数，则 a= B．若 mC立， n亿a ，则 m 与 n 为异面直线
c 1 D 1 C. 若 anf3= L,f3n y=m,rna= ,1 ，且 l们n=P ，则 PEn
A. 3 B. —3 . _3 _3
D. 若 m上a,m上/3,a /灯，则 {3// y
3 . 已知向量 a=(4,3), lb l =4 ，若 a 与 b 的夹角为于，则 a b= 11. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2x+ 6) = J( - 2x ) ，且 f(x— 1) + f(x + l) = f( —2),
5
A. 10 B. 10/3 C. 5 D. 5岛 若f( —) ＝ l ，则2
4. 已知直线伈 2x+my— l=O,L2 : Cm+ l)x+3y+ l=O ，则“m=2”是“ l 1 II [产的
A. f(2024) = 1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
B. f(x) 的图象关于直线 x= — 3 对称
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
5. 已知球 0 的半径为 5 ，点 A 到球心 0 的距离为 3 ，则过点 A 的平面 a 被球 0 所截的截面面积 C. J(x)是周期函数
的最小值是 2025 D. ~( 1 - l) k盯(k-— ) ＝ 2025
A. 汪 B. 1纭 C. 1际 D. 20亢 k = 1 2
6．如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的已换成 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 1 5 分．
X
r 得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是 12 ． 双曲线 E : 2 －一凶— = 1 的实轴长为 4 ，则 a= .A. . (n+1)C,I a2+a + 2 2a +3
l-ll-
A._l__ 1 = 1 1 3 . 已知函数 f(x ) =sin wx—岛cos wx Cw>O ) ，若存在 X1 E [O ，式，使得 f(x 1 ) ＝— 2 ， 则 w 的最
nC; nC尸 (n-l)C,r1+ 1 l l
_2 _2 小值为 ... .
B. 忑十nC,广l=( n— l)C,r1- 1 l 1__3 6 3 14．如图，在扇形 OAB 中，半径 OA=4 ， 乙AOB= 90 ° ,C 在半径 OB 上， D 在半 A
C. l + l = l l- 1- l 1-4
(n+1)C,r1 (n+ l)C尸 nC+ 1 4 12 -12 1:A取了形弧；的动占（不包含端点），则平行四边形 BCDE 的周 OD丿
l- l- 1- l l
D. -20 -5 (n + 1)C; (n+ 1)C尸 = nC巳 5 20 30
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. (17 分）
15. (13 分） 已知椭圆 C: ~+fz =l(a > b> O) 的左、右顶点分别是 A1,A2 ，椭圆 C 的焦距是 2,
已知函数 f位） ＝xln x .
(1)求 f(x ) 的极值； 3 P（异于 A 1 ,A 2 )是椭圆 C 上的动点，直线 A1 P 与 A 2 P 的斜率之积为一—.
4
(2)若过点 (a,b)可以作两条直线与曲线 y=f位）相切，证明 ： b(1)求椭圆 C 的标准方程．
(2)F1 ，几分别是椭圆 C 的左、右焦点，Q 是L,.PF1 凡内切圆的圆心，试问平面上是否存在
定点 M,N，使得 I QMl+I Q阳为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由
16. (] 5 分）
如图，在四面体 ABCD 中， AB =AC=AD = BC = BD, BC_l_ BD, E, F 分别为 AB,AC 的
中点
19. (17 分）
(])证明：平面 ACD上平面 BCD.
函数 J(x) = [x]称为取整函数，也称为高斯函数，其中 [x]表示不超过实数 x 的最大整数，
(2)求平面 BDF 与平面 CDE 夹角的余弦值．
例如： [ 3. 2 ] = 3, [ 0. 6 ] = 0, [— 1. 6 ] = - 2. 对于任意的实数 X , 定义 ( X) =
A
厂J ，心］＋主， l 数列 { a,，｝ 满足 an= （丘）
巨］＋ l , x>[x]＋了 ·
Bfr=---f- -f- - - ------- ----~ D (1)求 a 13 , a2024 的值．
(2)设 bn= n+ a,' ，从全体正整数中除去所有妇剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数
列 { c,, } .
17. (1 5 分） CD求 { c,,} 的通项公式；
甲、乙两个不透明的袋中各装有 6 个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有 3 个红球、 3 个 l l l l l l 9
＠证明 ： 对任意的 nEN+ ，都有 C1 . C2. C3,, -C,, < —72 ~ .
黄球， 乙袋中有 1 个红球 、 5 个黄球．
(1)若从两袋中各随机地取出 1 个球，求这 2 个球颜色相同的概率；
(2)若先从甲袋中随机地取出 2 个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出 2 个球，记从乙袋
中取出的红球个数为 X，求 X 的分布列与期望．
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{#{QQABDQ6QogCAAoAAABgCUQVyCkIQkBGCAAoOgBAAsAABCAFABAA=}#}2023一2024学年高三第三次模拟考试
数学参考答案
1,D{x∈N1∈N)=(1,2,4,{x∈Z生∈N=1,2,4),(x∈N4∈Z={1,24)都有有限
个元素，{x∈Q4∈N有无数个元素.
2.B之=(1-3i)(a+i)=a+i一3ai-32=a+3+(1一3a)i,因为之为纯虚数，所以
a十3=0，
解得a=一3.
1-3a≠0，
3.A因为a=(4,3),所以a=√42十32=5.
又b1=4,a与b的夹角为号所以a·b=ab1cos吾=5X4×号=10.
4C当m=2时4：2x+2y-1=0.63x+3y+1=0,此时6/.当4/时，智=n子≠
,解得m=2故m=2”是h/,”的充要条件。
5.C因为球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，所以过点A的平面α被球O所截的截
面圆的半径的最小值为r=√52一3=4，则所求截面面积的最小值为πr2=16π.
6.D观察莱布尼茨三角形，可知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，故m十1)C十
1
1
(m+1)C--C
7.A不妨设A在第一象限，则IAF|=p+|AF|cos0,|BF|=p-|BF|cos0,整理得AF|=
18gBF=1中。gAF1BF=A0品因为9e[号导.所以n9E
8
[1,0ge12s.2560
8B令fx)=,则了)=1，n三.当xE(e,+o0)时，fx)<0,则fx)在e,十o)上
r2
单阿准线因为一号-号6-学空2三长芳所以9
e2
12
2
4
e2
2
>f(号)>f4),即a9.C由题可知，这组新数据的平均数为5X7+1=6,方差为×[2+(7-6)门+言×[0+1
6
-6]-9
【高三数学·参考答案第1页（共6页）】
10.ACD对于A选项，因为mCa,mCB,m⊥y,所以a⊥Y,B⊥Y,A正确.对于B选项，由mC
a,n中a,可得m与n可能平行、相交，也可能为异面直线，B不正确.对于C选项，由a∩B=l,
3∩y=m,l∩m=P,可知点P在平面a,B,Y内，即P为平面a,B,Y的公共交点，因为y∩a=
n,所以P为直线，n,l的交点，所以点P在直线n上，即P∈n,C正确.对于D选项，由m
⊥a,m⊥3，可得a∥3，因为a∥y,所以3∥Y,D正确.
11.BCD因为f(x-1)+f(x+1)=f(-2),所以f(x+1)+f(x+3)=f(-2),所以f(x
1)=f(x+3),即f(x)=f(x十4)，所以f(x)是周期为4的周期函数，则C正确，
令x=一1，得f(一2)+f(0)=f(-2),则f(0)=0,从而f(2024)=f(0)=0,故A错误.
因为f(2x十6)=f(-2x),所以f(x十6)=f(-x),所以f(一x)=f(x一6)，所以f(x)的
图象关于直线x=一3对称，则B正确.易得f(x)的周期为4，且其图象关于直线x=一3及
x=3对称，则直线x=一3十4n及x=3十4n(n∈Z)均为f(x)图象的对称轴，从而f(一2)=
f0)=0,f)=f(号)=1.令x=号，得f(受-1)+f(2+1)=0,即f(2)=-f(号)=
-1,则f(2)=f(号)=f号)=-1，故宫(-1)kf(k-2)=-f(2)+2f)-3f(号)
+4f()--2025f(4049)=1-2-3+4)+…+(2021-2022-2023+2024)+2025=
2025,故D正确，
12.】因为+a+2>0恒成立，所以双曲线E的焦点在x轴上，则2va十a+7=4,
解得a
2a+3>0,
=1或a=-2(舍去).
131
6
f(x)=sin r-3 COs(w>0)=2sin(ar-号)(w>0.因为存在∈[0，x],使得
)=-2所以wm一吾≥经解得。>≥
14.(8,12]如图，连接OE,AB.设∠AOE=20,则∠BOE=-28,∠ABE=
0,故∠OBE=0+平.在△OBE中，由正弦定理可得
BE
in(5-20)
OE
—,则BE=
OEsin(20)OEsin(20+)
sin(0+平)
sin(0+平)
=8cos(0+平).
sin(+平)
在R△ODE中，由正弦定理可得P)5,则DE=OBn20=1sn20平行四边形
BCDE的周长为2(BE+DE)=16cos(0+平)+8sin20=16cos(0+F)-8cos(20+受)
4
=-16c0s2(0+)+16c0s(0+开)+8=-16[c0s(0+)-2]+12.
【高三数学·参考答案第2页（共6页）】

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