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浙江省 A9 协作体 2023 学年第二学期期中联考
高二数学参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分
9．ACD（每选对一个给 2 分） 10．ABC（每选对一个给 2 分） 11．BD（每选对一个给 3 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12． 2160 13． 288 14． a e
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．解：
（1）当 a = 4， B = 3,5 ……………………2 分
又 A = 2,6 ……………………4 分
所以 A B = 2,5 ………………6 分
（2）由已知， A B ………………7 分
当 a 0时， B = 1 a,1+ a …………………9 分
1+ a 6
A B，则 ，即 a 5 ………………12 分
1 a 2
综上 a 5 .…………………13 分
16．解：
（1）因第二次取到黑球，则第一次取到白球，……………………2 分
记第 i 取到白球事件为 Ai ，第 j 取到白球事件为 B ， j
3 2 3
则 P (A B ……………………6 分 1 2 ) = =
5 4 10
（2） X = 0,1,2,3 ……………………8 分
2
P (X = 0) = ……………………9 分
5
3 2 6
P (X =1) = = ……………………10 分
5 5 25
3 3 2 18
P (X = 2) = = ……………………11 分
5 5 5 125
2 6 18 27
P (X = 3) =1 P (X = 0) P (X =1) P (X = 2) =1 = …………12 分
5 25 125 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
2 6 18 27
P
5 25 125 125
……………………13 分
A9 协作体 高二数学参考答案 第 1 页 共 4 页
{#{QQABbQQQggCIAIBAABhCUQWgCkEQkAACAAoOhBAIsAAByQNABAA=}#}
2 6 18 27 147
X 的数学期望为 E (X ) = 0 +1 + 2 + 3 = ……………………15 分
5 25 125 125 125
17．解：
1
（1）当m = 1时， f (x) = ln x 2x +1， f (x) = 2 …………………2 分
x
1 (2x 1)
又 f (x) = 2 =
x x
(2x 1) 1
令 f (x) 0，则 0，即 x 0, 时， f (x)单调递增……………4 分
x 2
(2x 1) 1
令 f (x) 0 ，则 0 ，即 x ,+ 时， f (x)单调递减…………5 分
x 2
（求导 2 分，单调区间答对一个给 2 分，答对两个给 3 分）
1 1 1
当 x = 时， f (x)有极大值为 f = ln = ln 2， f (x)无极小值…………7 分
2 2 2
（不化简不扣分，极大极小搞错扣 1 分）
1 2mx +1
（2） f (x) = + 2m =
x x
当m 0， f (x) 0， f (x)在 (0,2 单调递增，
fmax (x) = f (2) = ln 2 + 4m +1， ………………9 分
1
2m x +
2mx +1 2m
当m 0， ( ) f x = =
x x
1 1
f (x)在 0, 上单调递增， ,+ 上单调递减， ………………10 分
2m 2m
1 1
① 2，即 m 0 ， f (x)在 (0,2 上单调递增，
2m 4
fmax (x) = f (2) = ln 2 + 4m +1， ………………12 分
1 1 1 1
② 2，即m ， f (x)在 0, 上单调递增， , 2 上单调递减， 2m 4 2m 2m
1 1
f (x) = f = ln = ln ( 2m)， ………………14 分 max
2m 2m
1
4m + ln 2 +1,m
综上： 4fmax (x) = ………………15 分
1 ln ( 2m) ,m
4
18．解：
1
（1）①由题意 X B 5, ， ………………2 分
2
所以 P(X 2) = P (X = 0) + P (X =1) + P (X = 2) ………………4 分
5 5 5
0 1 1 1 1= C5 +C
1 2
5 +C5 = ………………6 分
2 2 2 2
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{#{QQABbQQQggCIAIBAABhCUQWgCkEQkAACAAoOhBAIsAAByQNABAA=}#}
1
②由题意 X B n, ， 0.4n X 0.6n ， 0.1n X 0.5n 0.1n， …………8 分
2
2 0.25n
所以 P ( X ) = P ( X 0.5n 0.1n) 1 =1 0.98 …………10 分
2 2(0.1n)
解得 n 1250 ，即发射次数至少为1250 次。 …………12 分
（2）由题意 X B (2024,0.7)
2024!
则 P (X = m) =Cm 0.7m0.32024 m = 0.7m 0.32024 m 2024
(2024 m)!m!
2024!
P (X = m +1) =Cm+1 0.7m+10.32023 m = 0.7m+12024 0.3
2023 m …………13 分
(2023 m)!(m +1)!
（写出任意一个给 1 分）
2024!
0.7m+1 0.32023 m
P (X = m +1) Cm+1 0.7m+10.32023 m 2023 m2024 ( )!(m +1)!又 = =
P (X = m) Cm 0.7m0.32024 m 2024!2024 0.7m 0.32024 m
(2024 m)!m!
0.7 (2024 m)
= …………15 分
0.3(m +1)
P (X = m) P (X = m +1)
（或有 也得 2 分）
P (X = m) P (X = m 1)
所以当m =1417时， P (X = m)最大。 …………17 分
19．解：
（1） a = 0时， f (x) = ln x + 2， ………………2 分
k = f (1) = 2 ………………3 分
又 f (1) =1，所以 y 1= 2 (x 1)
即切线方程为： y = 2x 1 ………………5 分
a 1 a
（2）法一： f (x) = ln x + 2 ， f (x) = + 0，所以 f (x)在 1,+ )2 上单调递增，…6 分 x x x
又 f (1) = 2 a
当 0 a 2 时， f (x) f (1) = 2 a 0 ，所以 f (x)在在 1,+ )上单调递增，…7 分
f (x) f (1) =1 1恒成立； ………8 分
当 a 2时， f (1) = 2 a 0，所以存在 0，当 x (1,1+ )时， f (x) 0 ，
f (x)在 (1,1+ )上单调递减， f (x) f (1) =1，不成立。 ………10 分
综上，0 a 2 ………11 分
法二： f (x) = (x a) ln x + x 1，
当 x =1时恒成立， ………6 分
x 1
当 x 1时， 0 a x + ………7 分
ln x min
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{#{QQABbQQQggCIAIBAABhCUQWgCkEQkAACAAoOhBAIsAAByQNABAA=}#}
2 1
(ln x) + ln x + 1
x 1 2 1
令 g (x) = x + ， g (x) = x ，令 h(x) = (ln x) + ln x + 1， 2
ln x (ln x) x
1 1 1 2x ln x + x 1
h (x) = 2ln x + = 0 ，所以 h (x)在 (1,+ )上单调递增，
x x x2 x2
h(x) h(1) = 0，所以 g (x) 0， g (x)在 (1,+ )单调递增 ………8 分
x 1
所以 gmin (x) = lim x + =1+1= 2，（此处用洛必达法则解出来的扣 1 分） ………10 分
x→1 ln x
综上，0 a 2 ………11 分
a 1 a
（3）法一： f (x) = ln x + 2 ， f (x) = + 0，所以 f (x)在 (0,+ )上单调递增，
x x x2
1 1
又 f (a) = ln a +1 ln +1= 0 ， f =1 ae 0 ，
e e
1 a
所以存在 x0 ,a ，有 f (x0 ) = ln x0 + 2 = 0， ………13 分
e x0
当 x (0, x )时， f 0 (x) 0 ， f (x)单调递减，当 x (x0 ,+ )时， f (x) 0 ， f (x)单调递增，
所以 f (x) = f (x ) = (x a) ln x + x = x ln2 x x ln x + x ………15 分 min 0 0 0 0 0 0 0 0 0
令 q (x) = x ln2 x x ln x + x ， q (x) = ln2 x 3ln x = ln x (ln x + 3) 0
1 1 1 1 1 1
所以 q (x)在 ,a 上单调递增，即 q (x) q = + + = ，
e e e e e e
1 1
综上：当 a 1时， f (x) . ………17 分
e e
法二：令 g (a) = f (x) = ( ln x)a + x ln x + x
1
当 ln x = 0 ，即 x =1时， g (a) =1 （恒成立）………12 分
e
1
当 ln x 0 ，即 0 x 1时， g (a) = ( ln x)a + x ln x + x 在 a ,1 时单调递增，
e
1 1 1 1 1
g (a) g = x ln x + x ，令 h(x) = x ln x + x ， h(x) h = ……14 分
e e e e e
1
当 ln x 0，即 x 1时， g (a) = ( ln x)a + x ln x + x 在 a ,1 时单调递减，
e
1
g (a) g (1) = (x 1) ln x + x，令 (x) = (x 1) ln x + x，则 (x) 1 …16 分
e
1 1
综上：综上：当 a 1时， f (x) . ………17 分
e e
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{#{QQABbQQQggCIAIBAABhCUQWgCkEQkAACAAoOhBAIsAAByQNABAA=}#}绝密★考试结束前
浙江省 A9 协作体 2023 学年第二学期期中联考
高二数学试题
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．命题“ x 0， x2 x +1 0 ”的否定是
A． x 0 ， x2 x +1 0 B． x 0， x2 x +1 0
C． x 0， x2 x +1 0 D． x 0 ， x2 x +1 0
2．下列求导数的运算中错误的是
1
A． (2x ) = 2x

ln 2 B． ln ( x) = x
1 1
C． = D． (sin x cos x)
= cos 2x
x 2x x
P ( 1) 1
3．已知随机变量 服从正态分布 N (3, 2 )，且 = ，则 P (3 5) =
P ( 5) 5
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 5 3 5
4．某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占
20%， 30% ，50% ，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 0.8 ， 0.6 ， 0.7 ，现从该
厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为
A． 0.18 B．0.21 C．0.38 D．0.69
5．关于 x的不等式 (a 1) x2 ax + a +1 0的解集为R ，则实数 a的取值范围是
2 3
A． a 1 B． a
3
2 3 2 3 2 3 2 3
C． a D． a 或 a
3 3 3 3
x2
6．已知函数 f (x) = ，则
ex
A． f (x)在 x = 2处的切线方程为 y = 0 B． f (x)的极小值为0
5
C． f (x)在 (1,+ )单调递增 D． f (x) = 2 有三个实根 e
A9协作体 高二数学试题卷 第 1 页 共 4 页
{#{QQABbQQQggCIAIBAABhCUQWgCkEQkAACAAoOhBAIsAAByQNABAA=}#}
5 n
7．已知 f (x) = (1+ x) + (1+ 2x) (n *N )的展开式中 x的系数为11，则 f (x)的展开式中 x 的偶次幂
项的系数之和为
A． 29 B．30 C．58 D．60
8．若不等式 ln x mx n 1 0(m 0)在 x (0,+ )上恒成立，则mn 的最小值为
A． e3 B． e C． e 1 D． e 3
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知事件 A, B 满足 0 P (A) 1， P (B) 0 且 P(B A) = P (B) = 0.5 ，则一定有
A． P(B) = 0.5 B． P(AB) = 0.5
C． A ， B 相互独立 D． P(A | B) = P (A)
1
10．已知 a 0,b 0 , 且 a + =1 , 则下列结论正确的是
b
b 1 1
A． a 的最小值为 B． a20 + 的最小值为
4 b2 2
a 1 1
C． 的最大值为 D． + 4b 的最大值为 4
b 4 a
ex e2
11．已知函数 2f (x)满足 x f (x) + 2xf (x) = ， f (2) = ，则 x 0 时，
x 8
2
A． x = 2为 f (x)的极值点 B． x =1为 x f (x)导函数的极值点
3 3
C． x = 2为 x f (x)的极大值点 D． x = 2为 x f (x)的极小值点
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
6
(3x 2y)
12． 的展开式中的常数项为 ▲ ．
x2 y4
13．将 3 男 3 女共 6 人排成一列，要求男生甲与其他男生不相邻，则不同的排法种数有 ▲ 种．
14．已知不等式 x + ex a ln x xa 在 (1,+ )上恒成立，则 a的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）已知集合 A = x x2 4x 12 0 ，集合 B = x x 1 a ．
（1）当 a = 4时，求 A B ；
（2）若“ x A”是“ x B”的充分条件，求正实数 a的取值范围．
A9协作体 高二数学试题卷 第 2 页 共 4 页
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16．（本小题满分 15 分）已知盒子中有5 个球，其中有 3个白球，2 个黑球，从中随机取球．
（1）若每次取 1 个，不放回，直到取到黑球为止，求第二次取到黑球的概率；
（2）若每次取 1 个，放回，取到黑球停止，且取球不超过 3 次，设此过程中取到白球的个数为
X ，求 X 的分布列及其数学期望．
17．（本小题满分 15 分）已知函数 f (x) = ln x + 2mx +1，m R ．
（1）当m = 1时，求函数 f (x) 的单调区间及极值；
（2）求函数 f (x)在 (0,2 上的最大值．
A9协作体 高二数学试题卷 第 3 页 共 4 页
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18．（本小题满分 17 分）19 世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了
一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量 X 的分布未知的情况
下，对事件 X 做出估计. 若随机变量 X 具有数学期望 E (X ) = ，方差 D(X ) = 2 ，则
2
切比雪夫定理可以概括为：对任意正数 ，不等式 P ( X ) 1 成立. 已知在某通信设
2
备中，信号是由密文“ ”和“ ”组成的序列，现连续发射信号 n次，记发射信号“ ”的
次数为 X ．
（1）若每次发射信号“ ”和“ ”的可能性是相等的，
①当 n = 5 时，求 P(X 2) ；
②为了至少有98% 的把握使发射信号“ ”的频率在 0.4 与 0.6 之间，试估计信号发射次数
n的最小值；
（2）若每次发射信号“ ”和“ ”的可能性是 7 : 3，已知在 2024 次发射中，信号“ ”发射
m 次的概率最大，求m 的值.
19．（本小题满分 17 分）已知函数 f (x) = (x a) ln x + x ．
（1）当 a = 0时，求 f (x)在 x =1处的切线方程；
（2）当 a 0时， f (x) 1在 x 1,+ )上恒成立，求 a的取值范围；
1 1
（3）若 a 1（ e是自然对数的底数），求证： f (x) ．
e e
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