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百校联赢·2024安徽名校大联考二
数 学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的绝对值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，熟记运算法则是解题关键．根据负数的绝对值是其相反数进行作答即可．
【详解】解： 的绝对值为6，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，无法计算，故选项不符合题意；
B、，原计算错误，故选项不符合题意；
C、，原计算错误，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据题中题干的三视图，与选项的几何体进行分析，即可作答．
【详解】解：∵俯视图的正方形在左上方，
∴只有C选项是符合的；
故选：C
4. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及其解集在数轴上的表示方法．先解不等式组中的每个不等式，从而得出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由不等式①得：，
由不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
把不等式组的解集在数轴上表示出来，如图：
．
故选：A
5. 下列函数中，当时，的值随的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质，根据性质逐项分析即可，熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：A、，是一次函数，，故随增大而减小，故不符合题意；
B、，是反比例函数，，在每个象限里，随的增大而减小，故不符合题意；
C、，是一次函数，，故随增大而增大，故符合题意；
D、，是二次函数，，故当图象在对称轴轴左侧，即时，随的增大而减小，故不符合题意．
故选：C．
6. 如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果．
【详解】解：连接，则：
∴，
∵正方形内接于，
∴，
∴，
∴；
故选C．
7. 如果从两个奇数和两个非0的偶数中任选两个不重复的数组成一个两位数，恰好组成偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率，解题的关键是正确画出树状图找到所有情况数，恰好为偶数的情况数．根据题意用树状图列出所有情况，然后找出组成的数为偶数的情况数，最后根据概率公式进行求解即可．
【详解】解：设A、B表示两个奇数，C、D表示两个非零偶数，由题意可得，
总共有种情况，组成的数为偶数的情况有6种，
∴，
故选：A．
8. 如图，点P在正方形的边上，以为边作矩形，且边过点A．若，则矩形的面积为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设，根据四边形是正方形，得，根据四边形是矩形，得，证明，故，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即矩形的面积为，
故选：A
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．
由选项中图象可判断符号不同和符号相同，分类讨论求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
当抛物线对称轴在轴右侧时，，
∴符号不同，
当时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方，A不符合题意；
当时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方，C不符合题意；
当抛物线对称轴在轴左侧时，，
∴符号相同，
当时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴上方，B不符合题意；
当时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴下方，D符合题意；
故选：D．
10. 如图，在等边中，，M为的中点，D，E分别是线段上的动点，，以为边向上作等边，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质，得证，取的中点N，连接，经分析，当时，取最小值为，即可作答．
【详解】解：在边上截取，连接，
∵，都是等边三角形
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
取的中点N，连接，
∴，
∴，
∴．
当时，取最小值为，
∵，
∴线段的最小值为．
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分；满分20分）
11. 计算：______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义化简计算即可．
详解】解：，
故答案为：3．
12. 国家统计局公布了2023年的人口数据：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人，其中208万用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵万，
∴万用科学记数法表示为．
故答案为：．
13. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，，，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设正方形的边长为，则，，根据全等三角形的性质得到，根据即可求解．
【详解】解：设正方形边长为，则，，
∵，，
，
，，
，
，
，
解得：，
∴正方形的边长等于1，
故答案为：1．
14. 如图，O为坐标原点，反比例函数（，）的图象与矩形的两边相交于点D，E，点A，C分别在x，y轴上，轴于点F，轴于点G．若，．
（1）线段的长为______．
（2）连接，若，则矩形的面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定反比例解析式，以及矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．
（1）根据点D的纵坐标为1，确定，得出，根据得出，根据点E在反比例函数即可求解；
（2）令与交于点H，根据，，得出，再根据勾股定理得出，算出，即可求解；
【详解】（1）∵，
∴点D的纵坐标为1，
∵点D在反比例函的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴，
即点E的横坐标为，
∵点E在反比例函数图象上，
∴点E的纵坐标为，
∴；
（2）令与交于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值，，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
当时，原式．
16. 某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长，线上销售利润比原计划增长，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
【答案】该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解决本题的关键．
设去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，根据题意得，解方程组得出计划线上线下的利润，再计算实际利润即可．
【详解】解：设去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，
根据题意得，解得，
∴万元，万元．
答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段，画出线段；
（2）将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，画出线段；
（3）在外找一点P，画出射线，使得平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转 ，根据题意结合网格特点画出图形是解此题的关键．
（1）根据所给平移方向作图即可；
（2）根据所给旋转方式作图即可．
（3）观察网格得为等腰直角三角形，根据斜边的中点P，作射线即可
【小问1详解】
如图所示：线段即为所求
【小问2详解】
如图所示：线段即为所求
【小问3详解】
如图所示：射线即为所求
18. 【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黄梅花的盆数为______；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______；
问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程；
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第2个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第3个图案中黄梅花的盆数可表示为，
第4个图案中黄梅花的盆数可表示为，
…；
第n个图案中黄梅花的盆数可表示为；
故答案为：；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，
第2个图案中红梅花的盆数可表示为，
第3个图案中红梅花的盆数可表示为，
第4个图案中红梅花的盆数可表示为，
…；
第n个图案中红梅花的盆数可表示为；
故答案为：；
（3）根据题意得，
整理得，即，
解得（舍去）或．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，无人机在点A处测得大楼顶端D的俯角为，垂直上升8米到达B处，测得大楼底端C的俯角为，已知米，求大楼的高度．
参考数据：，，，，，．
【答案】大楼的高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角问题，正确作出辅助线、构造直角三角形是成为解题题的关键．
如图，过点A，B作的垂线，分别与的延长线交于点E、F，然后在和中解直角三角形求得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图，过点A，B作的垂线，分别与的延长线交于点E，F，
在中，，米，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
又∵，
∴（米），即大楼的高度约为27.1米．
20. 如图，已知平行四边形的两个顶点A，B均在上，边与相交于点E，，连接交于点F，延长交于点G．
（1）若平行四边形的面积为80，，，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）如图1：连接OB，先说明，再根据已知条件及平行四边形的面积公式可得，再由垂径定理可得，最后利用勾股定理列方程解答即可；
（2）如图2，分别连接，先证明可得，即，最后结合即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图1：连接OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴．
∵平行四边形ABCD的面积为80，，，
∴，
∴，解得：,
在直角中，，
由勾股定理得，解得．
【小问2详解】
解：如图2，分别连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 寒假期间，某校举行学生参加家务劳动视频评比，成绩记为分（），分为四个分数段：，，，．学校从人的参赛视频中随机抽取了部分视频统计成绩，并绘制了统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）样本成绩的中位数落在第______分数段中；
（3）若分以上（含分）成绩的学生被评为“劳动能手”，根据统计成绩，试估计全校被评为“劳动能手”的学生人数．
【答案】（1）补图见解析；
（2）；
（3）人．
【解析】
【分析】（）根据的学生人数及其百分比求出随机抽取的学生人数，即可得到和学生人数，进而可补全频数分布直方图；
（）根据中位数的定义即可求解；
（）用乘以80分以上（含80分）成绩的学生占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，看到统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得，随机抽取的学生为人，
∴的学生为人，
∴的学生为人，
∴补全频数分布直方图如图：
【小问2详解】
解：∵随机抽取的学生为人，
∴按照从低到高的顺序排列，中位数为第位和第位成绩的平均数，
∴中位数落在第分数段中，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
答：估计全校被评为“劳动能手”的学生人数为人．
七、（本题满分12分）
22. 在四边形中，点E为的中点，分别连接．
（1）如图1，若，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若平分，求证：；
（2）如图2，若，，，，求的长．
【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识：
（1）（ⅰ）证明，可得，即可求证；（ⅱ）分别作于点H，于点P，于点Q，证明，可得，再由角平分线的性质可得，从而得到，继而得到，再由，可得，即可求证；
（2）过点A作，交的延长线于点F，连接，证明，可得，，从而得到，证明，得到，在直角中，根据勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：（ⅰ）∵，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
即；
（ⅱ）如图1，分别作于点H，于点P，于点Q，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分，
即，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，过点A作，交的延长线于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴，
在直角中，，
∵，，
∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求a，b的值；
（2）点M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N．
（ⅰ）如图1，当时，求线段的长；
（ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，当线段的长度最小时，求点M的横坐标m的值．
【答案】（1），
（2）（ⅰ）；（ⅱ）m的值为或
【解析】
【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）（ⅰ）先计算的解析式，然后设，则，，根据题意得到方程求出m值，即可求出的长；
（ⅱ）作于点R，由（ⅰ）可得，，，然后分为点Q在PN的左侧和点Q在PN的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．
【小问1详解】
由题意得，解得；
【小问2详解】
（ⅰ）当时，，
∴，
设直线为，
∵点，
∴，解得，
∴直线为，
设，则，，
∵，
∴，解得，经检验符合题意，
当时，，
∴，，
∴；
（ⅱ）作于点R，
由（ⅰ）可得，，，
的面积为，的面积为，
∴，解得；
当点Q在PN的左侧时，如图1，
Q点的横坐标为，纵坐标为，
∴R点的坐标为，
∵N点坐标为，∴，
∴，
∴当时，NQ取最小值；
当点Q在PN的右侧时，如图2，
Q点的横坐标为，纵坐标为，
∴R点的坐标为，
∵N点的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，NQ取最小值．
综上，m的值为或．百校联赢·2024安徽名校大联考二
数 学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的绝对值为（ ）
A B. C. D. 6
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
4. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列函数中，当时，的值随的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如果从两个奇数和两个非0的偶数中任选两个不重复的数组成一个两位数，恰好组成偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点P在正方形的边上，以为边作矩形，且边过点A．若，则矩形的面积为（ ）
A 1 B. C. D.
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在等边中，，M为的中点，D，E分别是线段上的动点，，以为边向上作等边，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分；满分20分）
11. 计算：______．
12. 国家统计局公布了2023年的人口数据：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人，其中208万用科学记数法表示为______．
13. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，，，，则______．
14. 如图，O为坐标原点，反比例函数（，）的图象与矩形的两边相交于点D，E，点A，C分别在x，y轴上，轴于点F，轴于点G．若，．
（1）线段的长为______．
（2）连接，若，则矩形面积为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值，，其中．
16. 某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长，线上销售利润比原计划增长，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段，画出线段；
（2）将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，画出线段；
（3）在外找一点P，画出射线，使得平分．
18. 【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黄梅花的盆数为______；
（2）第1个图案中红梅花盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______；
【问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，无人机在点A处测得大楼顶端D的俯角为，垂直上升8米到达B处，测得大楼底端C的俯角为，已知米，求大楼的高度．
参考数据：，，，，，．
20. 如图，已知平行四边形的两个顶点A，B均在上，边与相交于点E，，连接交于点F，延长交于点G．
（1）若平行四边形的面积为80，，，求的长；
（2）求证：．
六、（本题满分12分）
21. 寒假期间，某校举行学生参加家务劳动视频评比，成绩记为分（），分为四个分数段：，，，．学校从人的参赛视频中随机抽取了部分视频统计成绩，并绘制了统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）样本成绩的中位数落在第______分数段中；
（3）若分以上（含分）成绩的学生被评为“劳动能手”，根据统计成绩，试估计全校被评为“劳动能手”的学生人数．
七、（本题满分12分）
22. 在四边形中，点E为的中点，分别连接．
（1）如图1，若，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若平分，求证：；
（2）如图2，若，，，，求的长．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求a，b的值；
（2）点M线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点P，交抛物线于点N．
（ⅰ）如图1，当时，求线段的长；
（ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q，连接，，，使得与的面积相等，当线段的长度最小时，求点M的横坐标m的值．

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