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长汀县2024届初中毕业班第二次教学质量检查
九年级数学试题
（考试时间：120分钟；满分150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列四个数中，是负数的为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确是（ ）
A B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，下列说法正确的是（ ）
A. 样本容量是1000 B. 每个学生是个体
C. 1000名学生是所抽取的一个样本 D. 30000名学生是总体
5. 已知关于x的不等式组，至少有两个整数解，且存在以2，a，5为边的三角形，则a的整数解有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 在中，，若，则的值是（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（　　）
A. B. 4 C. 2 D. 6
8. 如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
9. 如图，依据尺规作图痕迹，若，，则的度数为（ ）
A 50° B. 60° C. 66° D. 80°
10. 如图，在矩形中，平分，点P是线段上一定点，点F，G分别是，延长线上的点，且，过点P作交于点H，以下判断不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 化简：_________．
12. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．若，则的度数是______．
13. “一带一路”是国家的发展战略，计划用年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破亿美元，把用科学记数法表示为_________________．
14. 已知一组数据，，，，众数为，则方差为______．
15. 定义新运算：，若，则的值是______．
16. 已知抛物线经过点，，，，且，则m的取值范围是______．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中m，n满足．
19. 如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
20. 为迎接全市“英语学科创新大赛”，某中学举行了选拔赛，该校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把竞赛成绩按不达标、达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆心角______度；
（2）补全条形统计图；
（3）A，B，C，D四人本次竞赛成绩均为满分，现从中随机抽取两人代表学校参加市级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，B两人同时参赛的概率．
21. 运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
（1）求小美每分钟跑多少米？
（2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
22. 如图，已知是的直径，点D是圆上一点，过点D作的切线交延长线于点C，连接，．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳篷的学问
素材1 为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳篷，便于社区居民休憩．图1侧面示意图中，墙记为，遮阳棚记为，直线为太阳光线，为太阳光的阴影．据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端到地面的距离小于时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头．
素材2 如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米．
素材3 如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得米，米，，，．
示意图
问题解决
任务1 如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感，请你写出一条增强安全感的建议．
任务2 如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）．
任务3 如图3，求墙的长，阴影的长．
24. 已知抛物线．
老师您好，因为和图2相关题干和解析都没有涉及到D点，所以就都删掉了，给老师添麻烦了。
（1）对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
（2）当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积；
②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
25. 已知，，．
探究一：如图（1），点D在上（点D不与点B，C重合），且．
①连接，当时， ______．
②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接，设为最大值为a，的最小值为b，则______．
③如图（2），若把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接交于点F，求的最大值．
探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段绕点A逆时针旋转得线段，再把线段逆时针旋转得线段交于点P，与的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q．长汀县2024届初中毕业班第二次教学质量检查
九年级数学试题
（考试时间：120分钟；满分150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列四个数中，是负数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正数与负数，绝对值，零次幂，负整数指数幂，有理数的乘方，掌握以上知识点是解题的关键．
根据绝对值的性质判断A选项；根据零次幂判断B，负整数指数幂判断C选项；根据有理数的乘方判断D选项．
【详解】解：，是正数，不符合题意；
，是正数，不符合题意；
，是正数，不符合题意；
，是负数，符合题意；
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，单项式的乘法与除法运算，利用相应的运算法则逐一分析各选项即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
4. 为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，下列说法正确的是（ ）
A. 样本容量是1000 B. 每个学生是个体
C. 1000名学生是所抽取的一个样本 D. 30000名学生是总体
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的意义，根据总体、个体、样本、样本容量的意义逐项分析即可，准确理解和掌握各个统计概念的意义是解题的关键．
【详解】解：为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，
样本容量是1000， 因此A正确，符合题意；
每个学生的视力情况是个体，因此 B不正确，不符合题意；
1000名学生的视力情况是所抽取的一个样本，因此C不正确，不符合题意；
30000名学生的视力情况是总体，因此D不正确，不符合题意；
故选：A．
5. 已知关于x的不等式组，至少有两个整数解，且存在以2，a，5为边的三角形，则a的整数解有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，熟练掌握根据不等式组的整数解求参数取值范围和三角形三边关系是解题的关键．先根据不等式组的整数解和三角形三边关系分别求出的取值范围，再根据为整数求出的值即可求解．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
关于x的不等式组，至少有两个整数解，
至少有两个整数解为，
，
存在以2，a，5为边的三角形，
，即，
，
a的整数解只有6，共1个．
故选：B．
6. 在中，，若，则的值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数定义，先利用勾股定理得出和的关系，再利用余弦函数的定义即可得出答案．
【详解】由勾股定理得
，
由余弦函数的定义得
，
故选：D．
7. 如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB=30°，OD=1，则AB的长为（　　）
A. B. 4 C. 2 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可求出∠AOD的度数，在Rt△AOD中根据已知条件求出AD的长度，再根据垂径定理即可求出AB的长度．
【详解】解：∵OC⊥AB
∴AD=BD，
∴∠AOD=2∠CEB=60°
∴AD=
∴AB=2AD=．
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理．根据垂径定理得到线段和弧相等是解题的关键．
8. 如图，E是的边的中点，延长交的延长线于点F，若，，则的长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，证出，由证明，由全等三角形的性质得出，由平行线的性质证出，求出，即可得出的长．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的边的中点，
∴，
在和中，
∴；
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
9. 如图，依据尺规作图痕迹，若，，则的度数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 66° D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．本题先证明，求解，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可得：是的角平分线，
∴；
∵，
∴
故选：C．
10. 如图，在矩形中，平分，点P是线段上一定点，点F，G分别是，延长线上的点，且，过点P作交于点H，以下判断不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据矩形和角平分线得到，然后证明出，然后得到，，即可证明出，进而判断A选项；根据题意得到和是等腰直角三角形，然后证明出，得到，即可判断B选项；根据等腰直角三角形的性质得到，然后由全等三角形的性质得到，进而得到，即可判断C选项；根据和不一定相等即可判断D选项．
【详解】∵在矩形中，平分，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，故A正确；
∵，
∴是等腰直角三角形
∵四边形是矩形
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴，故B正确；
∵是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴，故C正确；
∵和是等腰直角三角形，但是直角边和不一定相等
∴不一定成立，故D选项错误．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 化简：_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平平方根性质计算即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，牢记性质是解题关键．
12. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．若，则的度数是______．
【答案】##28度
【解析】
【分析】本题主要查了平行线的性质．根据平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
13. “一带一路”是国家的发展战略，计划用年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破亿美元，把用科学记数法表示为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：有5个位数，根据科学记数法要求表示为，
故答案为：．
14. 已知一组数据，，，，的众数为，则方差为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方差公式及众数的定义，熟练掌握方差公式及众数是解题的关键，根据众数的定义求得的值，进而利用方差公式即可求解．
【详解】解：∵一组数据，，，，的众数为，
∴，
∴，
∴．
15. 定义新运算：，若，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义下的运算，异分母的加法，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．根据题目所给的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
则．
故答案为：．
16. 已知抛物线经过点，，，，且，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解抛物线的对称轴为直线，结合抛物线的开口方向可得距离抛物线的对称轴越远函数值越大，再建立不等式解题即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上，
∴距离抛物线的对称轴越远函数值越大，
∵抛物线经过点，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据二次根式化简，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，以及绝对值符号化简即可解答．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中m，n满足．
【答案】，
【解析】
【分析】题目主要考查整式的混合运算及绝对值和平方的非负性，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算完全平方公式及平方差公式，然后计算加减法，最后计算除法即可，再代入求值即可得出结果．
【详解】解：原式
．
由，得，
当，时，
原式．
19. 如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF(SSS)即可.
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.
20. 为迎接全市“英语学科创新大赛”，某中学举行了选拔赛，该校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把竞赛成绩按不达标、达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆心角______度；
（2）补全条形统计图；
（3）A，B，C，D四人本次竞赛成绩均为满分，现从中随机抽取两人代表学校参加市级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，B两人同时参赛的概率．
【答案】（1）144 （2）详见解析
（3）
【解析】
【分析】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）由成绩打标的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，用乘以优秀人数所占百分比即可解决问题；
（2）求出成绩良好的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为： 144；
【小问2详解】
解：成绩良好的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有2种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
21. 运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
（1）求小美每分钟跑多少米？
（2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】（1）小美每分钟跑360米
（2）小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
【小问1详解】
解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
【小问2详解】
设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
22. 如图，已知是的直径，点D是圆上一点，过点D作的切线交延长线于点C，连接，．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关知识，切线的性质，相似三角形的性质和判定，注意连接是圆中常用的辅助线．
（1）要证，联想到证；
（2）由条件，可求得、的长，要求的长，结合已求得的边长，联想到利用（1）中得到的，得到对应边成比例，进一步列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的直径，
，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
，
．
【小问2详解】
，，，
，
．
由（1）知，
，
设，则，，
，
，
解得，
∴的长为．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳篷的学问
素材1 为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳篷，便于社区居民休憩．图1侧面示意图中，墙记为，遮阳棚记为，直线为太阳光线，为太阳光的阴影．据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端到地面的距离小于时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头．
素材2 如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米．
素材3 如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得米，米，，，．
示意图
问题解决
任务1 如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感，请你写出一条增强安全感的建议．
任务2 如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）．
任务3 如图3，求墙的长，阴影的长．
【答案】任务1：遮阳棚外端到地面的距离小于米，人进出时没有安全感．增强安全感的建议如下：适当扩大的度数使；任务2：阴影的长为米；任务3：
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
任务1：过点B作于点G，于点F，在中，算出，从而得出，根据米米，即可解答；
任务2：中，算出，从而得出；
任务3：过点B作于点E，作于点F，证明四边形为矩形，算出，，在中，表示出，，在中，表示出，从而表示出，根据即可解答．
【详解】解：
任务1：如图所示，过点B作于点G，于点F，
则四边形是矩形，
∴，，
在中，，，，
∴．
∴，
∴，
∴米米，
∴遮阳棚外端到地面的距离小于米，人进出时没有安全感．
增强安全感的建议如下：适当扩大的度数使．
任务2：如图所示，在中，，
∴，
∴阴影的长为米．
任务3：解：如图所示，过点B作于点E，作于点F，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
∴．
24. 已知抛物线．
老师您好，因为和图2相关的题干和解析都没有涉及到D点，所以就都删掉了，给老师添麻烦了。
（1）对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
（2）当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积；
②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】（1）定点坐标为
（2）①；②面积为定值，面积为4．
【解析】
【分析】（1）本题考查的是含参数的函数过定点问题，找到函数中的参数，确定参数的系数，令系数为零即可解决．
（2）① 本题考查了求两条线段之差的最大值问题，解决问题的关键在于找到何时取得最大值，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，、为定点，为动点，于是有，即当、、三点在一条直线上时取得最大值，利用待定系数法求出过点、的直线解析式，然后求出直线与轴交点即为所求的最大值时的位置，的距离可求，坐标已求，根据三角形面积公式可得面积．
② 由于，是抛物线上异于，的两个动点，要在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，那么必然这个三角形的三个顶点是确定的，、为定点，于是直线存在定点使得的面积是定值．要确定直线存在定点，即需求带参数的函数过定点问题，需要确定参数的系数，令系数为零即可求恒过的定点．设，，直线：，直线：，直线：，将直线、、的解析式分别与抛物线解析式联立，利用根与系数的关系，求得解析式中系数与之间的关系式，再联立直线和直线解析式，其交点始终在直线上，可得到的关系式，然后化简将直线：变为只含一个参数的方程，即可求出直线恒过的定点，最后利用几何关系求出的面积．
【小问1详解】
解：，
当时，恒成立，
对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点．
【小问2详解】
解：① 当时，抛物线的解析式为，
令，解得，，
，．
为抛物线顶点，
点横坐标，纵坐标为，
，
当P，D，C三点在一条直线上时，取得最大值，
如图1，连接并延长，交x轴于点P，
设直线的解析式为，
将点，的坐标分别代入，
得解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
．
② 的面积为定值，面积为4．
解：如图2，
设，，直线：，直线：，直线：，
将点的坐标代入直线的解析式，得．
将点坐标代入直线的解析式，得．
联立直线与抛物线的解析式，得，
整理得，
则，（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）．
同理可得，，
，，
，，
，
．
联立直线与直线的解析式，得解得，
直线与直线的交点始终在直线上，
，化简得，
，
直线：，
当时，，
即不论为何值，直线EF恒过定点．
如图3，过点Q作轴于点K，
，，，，
，
，
，，
．
【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数，含参数的函数过定点问题，两条线段之差的最大值问题，联立函数解析式求交点的问题，一元二次方程根与系数的关系以及几何图形面积的求解；熟悉掌握含参数的函数过定点问题的方法，求两条线段之差最大值的理论依据，联立函数解析式求交点，利用根与系数的关系化简参数，切割几何图形求面积等方法是解决问题的关键．
25. 已知，，．
探究一：如图（1），点D在上（点D不与点B，C重合），且．
①连接，当时， ______．
②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接，设为最大值为a，的最小值为b，则______．
③如图（2），若把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接交于点F，求的最大值．
探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段绕点A逆时针旋转得线段，再把线段逆时针旋转得线段交于点P，与的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q．
【答案】探究一：①；②；③当时，取得最大值，为；探究二：射线经过点，理由见解析
【解析】
【分析】探究一：①过点D作于点G，可证明是等腰直角三角形．则，进而得到，则．②由旋转性质可得，则点在以A为圆心，为半径的圆上运动，故当点在延长线上时，取得最小值，当点在延长线上时，取得最大值，据此求出a、b的值即可得到答案；③由旋转的性质得，则证明，推出，则当时，取得最大值，为；
探究二：由旋转的性质可得，，则；再证明关于轴对称，得到．利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得；同理可得直线的解析式为．直线的解析式为，直线的解析式为，据此求出点Q的坐标，再在中，求出当时，y的值即可得到结论．
【详解】解：探究一：①如图1，过点D作于点G，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴．
②由旋转的性质可得，
∴点在以A为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在延长线上时，取得最小值，当点在延长线上时，取得最大值，
∵，
∴的最大值，的最小值，
∴．
③由旋转的性质得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，为．
探究二：射线经过点Q，理由如下：
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，，
如图所示，过点M作轴于H，则是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵线段绕点逆时针旋转90°得线段，
∴．
∵，
∴，
∴关于轴对称，
∴．
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在当时，，
∴，
同理可得直线的解析式为．
直线的解析式为，
直线的解析式为
联立解得
∴．
在中，当时，，
∴射线经过点．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，相似三角形的性质与判定，一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，旋转的性质等等，解题的关键在于熟练掌握相关知识。

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