资源简介

永定区2024年春季学期七年级期中质量监测试卷
数 学
考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方运算及合并同类项运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方运算及合并同类项运算法则分别判断，进而得出答案．
【详解】解：A．，原式计算错误，故此选项不合题意；
B．，原式计算错误，故此选项不符合题意；
C．，原式计算正确，故此选项符合题意；
D．与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．
故选：C．
2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式对各选项分别进行判断．
【详解】解：A、中两项都是相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、中两项都是相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、两项都是相同，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 已知是完全平方式，则常数k可以取（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题关键．完全平方公式：，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：是完全平方式，
，
，
故选：C．
5. 把分解因式，应提取的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键．
【详解】解：，
把分解因式，应提取的公因式是，
故选：C．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将化为使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.
【详解】，
故选：A.
【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.
7. 已知光在真空中的速度大约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，则地球与太阳的距离大约是（ ）
A. 0.6×106m B. 6×105m C. 15×1010m D. 1.5×1011m
【答案】D
【解析】
【分析】根据路程等于速度乘以时间，然后根据科学记数法表示即可求解．
【详解】解：依题意地球与太阳的距离大约是，
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握幂的运算是解题的关键．
8. 解方程组①和方程组②，比较简便的方法是（ ）
A. 均用代入法 B. 均用加减法
C. ①用代入法，②用加减法 D. ①用加减法，②用代入
【答案】C
【解析】
【分析】利用加减消元法与代入消元法判断即可．
【详解】解：①是用y表示x的形式，用代入法解答合适；
②中的方程中的y的系数互为相反数，用加减法比较合适；
故选C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟记解方程的方法是解题的关键．
9. 我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，列出二元一次方程组，即可求解，本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是：正确理解题意，列出等量关系．
【详解】解：由“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，”可列式：，
由“如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，”可列式：，
根据题意可列二元一次方程组：，
故选：．
10. 如图是一个由5张纸片拼成的一个大长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张大正方形纸片大小一样，面积记为S1，另外两张长方形纸片大小一样，面积记为S2，中间一张小正方形纸片的面积记为S3，则这个大长方形的面积一定可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设S3的边长为x，S2的长为y，则S1的边长为y-x，S2的宽为y-2x，然后根据长方形面积公式结合整式混合运算的运算法则进行分析计算．
【详解】解：设S3的边长为x，S2的长为y，则S1的边长为y-x，S2的宽为y-2x，
∴大长方形的长为2y-x，大长方形的宽为2y-3x，
∴S大长方形=（2y-x）（2y-3x）
=4y2-6xy-2xy+3x2
=4y2-8xy+3x2
=3（x2-2xy+y2）+（y2-2xy），
又∵S1=（y-x）2=y2-2xy+x2，S2=y（y-2x）=y2-2xy，
∴S大长方形=3S1+S2，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2结构是解题关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
12. 若，，则___________；
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则将原式变形后整体代入计算即可．
【详解】解：，，
，
故答案为：6．
13. 已知，满足，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．由可得，即可求解．
详解】解：，
由得：，
∴．
故答案为：3
14. 已知 是关于x， y的二元一次方程， 则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，由定义得，即可求解；理解“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，二元一次方程的标准形式（，）．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
故答案：．
15. 与的大小关系是________（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．根据幂的乘方法则，将每一个数化为指数相同的数，再比较底数．
【详解】∵，
∵
∴．
故答案为：．
16. 计算的结果等于 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，利用平方差公式即可算得答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
17. 已知方程组和的解相同，则______.
【答案】14
【解析】
18. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______．
【答案】15
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解．设大正方形和小正方形的边长各为a，b，由题意可得，再运用三角形面积公式进行求解．
【详解】解：设大正方形和小正方形的边长各为，，
由题意可得，
阴影部分的面积为：
=
=
故答案为：15．
三、解答题（共66分）
19. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
将代入得，，
解得，，
将代入①得，，
∴；
【小问2详解】
解：，
①整理得，，
得，，
解得，，
将代入②得，，
解得，，
∴．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）先乘方，再进行乘法运算，最后合并同类项即可；
（2）先进行多项式乘多项式以及完全平方公式的运算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式．
21. 把下列各式分解因式：
（1）；
（2），
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法因式分解；
（1）直接提取公因式进行因式分解；
（2）先变形，再提取公因式进行因式分解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
22. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准为，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2014年两个月的收费表：
时间 项目 用水量/ 费用/元
11月 15 35
12月 18 44
请问该城市居民标准内用水及超标用水的价格是如何制定的？
【答案】正常收费标准为2元/m3，超过部分3元/m3．
【解析】
【分析】设正常收费标准为x元/m3，超过部分y元/m3，根据等量关系：①用水量是15m3时，费用35元；②用水量是18m3时，费用是44元，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设正常收费标准为x元/m3，超过部分y元/m3．
由题意，得：，
解得：，
答：正常收费标准为2元/m3，超过部分3元/m3．
【点睛】此题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，能够从表格中获得正确信息，注意收费标准的分类．
23. 用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图的正方形．
（1）请计算阴影部分的面积，并写出三个代数式之间的等量关系；
（2）根据（1）中你探索发现的结论，计算：当时，求的值．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】（1）观察图形，通过计算阴影部分的面积发现三组之间的等量关系；
（2）把已知代入（1）的结论，代数求值．
【小问1详解】
解：由题意可知，
（写出的等式成立即可）
【小问2详解】
解：由（1）的结论可知：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式及变形是解题关键．
24. 已知代数式：．
（1）化简这个代数式．
（2）若，求原代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）先进行完全平方公式和平方差公式的运算，再合并同类项即可；
（2）整式代入求值即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴．
25. 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
，
当时，的值最小，最小值是0，
当时，值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当多少时，代数式有最小值，最小值是多少．
（2）请判断有最大值还是最小值；这个值是多少？此时等于哪个数？
【答案】（1）当时，代数式的值最小，最小值是3
（2）当时，代数式的值最大，最小值是
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
（1）配方后即可确定最小值；
（2）配方后可确定当取何值时能取到最大值．
【小问1详解】
，
当时，值最小，最小值是3，
当时，代数式的值最小，最小值是3；
【小问2详解】
，
当时，的值最大，最大值是，
当时，代数式的值最大，最大值是
26. 某商店拟购进A，B两种品牌电风扇进行销售．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需400元．
（1）A，B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种品牌电风扇（1000元刚好全部用完，且两种品牌电风扇都购进）．为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
【答案】（1）A，B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元
（2）能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进7台A种品牌电风扇，2台B种品牌电风扇的进货方案
【解析】
【详解】解：（1）设A，B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元．
由题意，得解得
故A，B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元．
（2）设购进a台A种品牌电风扇，购进b台B种品牌电风扇．
由题意，得，，
其正整数解为或或
销售1台A种品牌电风扇的利润（元），
销售1台B种品牌电风扇的利润（元），
当，时，利润（元）；
当，时，利润（元）；
当，时，利润（元）．
，当时，利润最大．
故为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进7台A种品牌电风扇，2台B种品牌电风扇的进货方案．永定区2024年春季学期七年级期中质量监测试卷
数 学
考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A. B.
C. D.
3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知是完全平方式，则常数k可以取（ ）
A. B. C. D.
5. 把分解因式，应提取公因式是（ ）
A. B. C. D.
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知光在真空中的速度大约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，则地球与太阳的距离大约是（ ）
A. 0.6×106m B. 6×105m C. 15×1010m D. 1.5×1011m
8. 解方程组①和方程组②，比较简便的方法是（ ）
A. 均用代入法 B. 均用加减法
C. ①用代入法，②用加减法 D. ①用加减法，②用代入
9. 我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）
A. B. C. D.
10. 如图是一个由5张纸片拼成的一个大长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张大正方形纸片大小一样，面积记为S1，另外两张长方形纸片大小一样，面积记为S2，中间一张小正方形纸片的面积记为S3，则这个大长方形的面积一定可以表示为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：______．
12 若，，则___________；
13. 已知，满足，则______．
14. 已知 是关于x， y的二元一次方程， 则________．
15. 与的大小关系是________（填“”、“”或“”）．
16. 计算的结果等于 _______．
17. 已知方程组和的解相同，则______.
18. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______．
三、解答题（共66分）
19. 解方程组：
（1）；
（2）．
20. 计算：
（1）；
（2）．
21. 把下列各式分解因式：
（1）；
（2），
22. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准为，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2014年两个月收费表：
时间 项目 用水量/ 费用/元
11月 15 35
12月 18 44
请问该城市居民标准内用水及超标用水的价格是如何制定的？
23. 用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图的正方形．
（1）请计算阴影部分的面积，并写出三个代数式之间的等量关系；
（2）根据（1）中你探索发现的结论，计算：当时，求的值．
24. 已知代数式：．
（1）化简这个代数式．
（2）若，求原代数式的值．
25. 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
，
当时，值最小，最小值是0，
当时，的值最小，最小值是1，
最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当多少时，代数式有最小值，最小值是多少．
（2）请判断有最大值还是最小值；这个值是多少？此时等于哪个数？
26. 某商店拟购进A，B两种品牌电风扇进行销售．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需400元．
（1）A，B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种品牌电风扇（1000元刚好全部用完，且两种品牌电风扇都购进）．为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？

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