资源简介 2024年赣州市十八县(市)二十四校期中联考高三数学试卷说明:1.全卷满分150分,考试时间120分钟.2.全卷分为试题卷和答题卡,答案要求写在答题卡上,不得在试卷上作答,否则不给分.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合,再由交集的定义求解即可.【详解】因为可得,由可得:或,解得:或因为或,所以.故选:C.2. 已知复数,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据共轭定义可得,即可根据复数的加减运算得,由模长公式即可求解.【详解】因为,所以,所以故选:D3. 已知命题:,:,则是的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意,利用指数函数与对数函数的性质,分别求得的范围,结合充分、必要条件的判定方法,即可求解.【详解】因为:,可得,解得,又由,可得,所以是的必要不充分条件.故选:B.4. 已知一个圆柱形容器轴截面是边长为3的正方形,往容器内注水后水面高度为2,若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球,则此时水面的高度为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件,容器中放入铁球后,总体积为,由此列方程求解即可.【详解】由已知可得圆柱的底面半径为,往容器内注水后水面高度为2,此时放入一个半径为1的实心铁球,铁球的直径为,所以铁球完全没入水中,设此时水面的高度为,则,解得.故选:C5. 已知定义在上的函数的图象关于点中心对称,且当时,,则( )A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象关于点中心对称得,求得,再利用对称性得.【详解】因为对任意的都有,且,所以,所以.故选:A6. 已知函数()在点处的切线为直线,若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为,则实数( )A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】求得函数在点处的切线方程,得到切线与坐标轴交点坐标,由面积求得.【详解】易知,,且,所以直线,它与两坐标轴的交点坐标分别为和,可得,又,解得.故选:C7. 十进制计数法简单易懂,方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数,如十进制下,,用七进制表示68这个数就是125,个位数为5,那么用七进制表示十进制的,其个位数是( )A. 1 B. 2 C. 5 D. 6【答案】D【解析】【分析】由题意将题目转化成除以7的余数问题,用二项式知识求解即可.【详解】由题意知个位数应为除以的余数,因为,除以的余数为.故选:D.8. 如图,已知双曲线:(,)的右焦点为,点是双曲线的渐近线上的一点,点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形,且,则双曲线的离心率是( )A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意,得到,求得且,进而得到,进而求得点,代入双曲线方程,化简求得,结合,即可求解.【详解】因为四边形是一个平行四边形,且,可得,即,由双曲线,可得,渐近线方程为,即,可得,且,因为直线,可得,又因为,所以即,代入双曲线方程,可得,整理得,所以,可得,即,所以离心率.故选:A.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 若实数,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A,根据对数函数的性质判断B,利用特殊值判断C,根据幂函数的性质判断D.【详解】因为在定义域上单调递减且,所以,故A正确;因为在定义域上单调递增且,所以,故B正确;当时,,故C不正确;因为在定义域上单调递增且,所以,故D正确.故选:ABD10. 在正三棱柱中,已知,点,分别为和的中点,点是棱上的一个动点,则下列说法中正确的有( )A. 存在点,使得平面 B. 直线与为异面直线C. 存在点,使得 D. 存在点,使得直线与平面的夹角为45°【答案】BCD【解析】【分析】作图可知A错误;B正确;当点P与点A重合时,证明面可得C正确;当时,由线面角的定义和等腰直角三角形可得D正确.【详解】A:如图(1),因为与相交,所以与平面相交,故选项A错误;B:如图(1),因为平面,平面,平面,所以直线与为异面直线,故选项B正确;C:如图(2),当点P与点A重合时,因为,面,面,所以,又,且都在面内,所以面,又面,所以,故选项C正确;D:当时,此时为等腰直角三角形,因为面,所以为在面内的投影,所以为所求线面角,所以直线与平面所成的角为,故选项D正确.故选:BCD.11. 已知函数,其中,,若直线是函数图象的一条对称轴,函数在区间上的值域为,则( )A. B.C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】AD【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴求出,即可判断A选项;结合正弦函数的图象进行分类讨论即可判断B选项;利用整体代入法结合正弦函数的单调区间即可判断CD选项.【详解】对于A,由直线是函数图象的一条对称轴,得到.又因为,得到,故A正确;对于B,因为,在区间上的值域为,所以或,且,因此.若,则,或.因为,得,此时,当时,,,不符合条件.若,则,或.因为,得或或.当时,,当时,,,符合条件.当时,,当时,,,不符合条件当时,,当时,,,不符合条件.综上,当时,,符合条件,故B错误;对于C ,当时,,所以在区间上不是单调递增,故C错误;对于D,当时,,所以在区间上单调递减,故D正确.故选:AD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 若直线:与圆:交于,两点,则______.【答案】【解析】【分析】首先确定圆心和半径,应用点到直线距离公式求圆心到直线的距离,再由几何法求弦长即可.【详解】由圆,故圆心,半径为,直线,故圆心到直线的距离为,.故答案为:.13. 如图是一个弓形(由弦与劣弧围成)展台的截面图,是弧上一点,测得,,,则该展台的截面面积是______.【答案】.【解析】【分析】设出弓形所在圆的半径为,用扇形面积减去三角形面积即可.【详解】如图:设展台所在的圆的圆心为,半径为,,则,即,,所以展台的面积为故答案为:.14. 已知数列是有无穷项的等差数列,,公差,若满足条件:①是数列的项;②对任意的正整数,都存在正整数,使得.则满足这样的数列的个数是______种.【答案】【解析】【分析】设是数列中的任意一项,则,均是数列中的项,由已知,设,则.因为,所以,即数列的每一项均是整数,所以数列的每一项均是自然数,且是正整数. 由题意,设,则是数列中的项,所以是数列中的项.设,则,即.因为,故是的约数,进而分类讨论求解即可.【详解】设是数列中的任意一项,则,均是数列中的项,由已知,设,则由等差数列定义得.因为,所以,即数列的每一项均是整数,所以数列的每一项均是自然数,且是正整数.由题意,设,则是数列中的项,所以是数列中的项.设,则,即.因为,故是的约数.所以.当时,,得,故,共种可能;当时,,得,故,共种可能;当时,,得,故,共种可能;当时,,得,故,共2种可能;当时,,得,故,共2种可能;当时,,得,故,共1种可能;当时,,得,故,共1种可能;当时,,得,故,共1种可能.综上,满足题意数列共有(种).经检验,这些数列均符合题意.故答案为:.【点睛】首先根据等差数列概念和已知条件列得出的每一项均是自然数,且是正整数,再利用同样思路,由是数列的项得出是的约数,进而分类讨论得解.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数(,,),函数和它的导函数的图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)已知,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由函数与的图象可得,,再通过图象过点,得到(2)根据倍角公式对进行化简即可求解.【小问1详解】,由图象可以得到:,因为图象过点,,所以,所以,所以.【小问2详解】由,得,,.16. 已知四棱锥的底面是一个梯形,,,,,,.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由题意可得,又,由线面垂直的判定定理可得平面,再由面面垂直的判定定理即可证明;(2)以为原点,所在直线分别为轴,轴,作出轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量,由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】设的中点分别为,连接.因为,所以.因为,所以.在梯形中,,所以,,,因此,所以,又,平面,,所以平面.又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】如图,以为原点,所在直线分别为轴,轴,作出轴,建立空间直角坐标系,则.则,,设平面的法向量,,即,令,得到,,即.设平面的法向量,则,则,令,得到,,即..因为二面角是锐二面角,所以二面角的余弦值是.17. 已知函数().(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若当时,函数取得极大值,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当时,,对求导,解不等式即可得出答案;(2)对求导,令,求出,分类讨论,和,求出的单调性和最值即可得出的单调性,即可得出答案.【小问1详解】当时,,,由得,所以函数的单调递增区间是;【小问2详解】,,依题意,存在实数且,使得当时,,当时,.记,则().记.①当时,,,在区间上单调递减,存在实数且,使得时,,即,单调递减,因此当时,,当时,,函数在时取得极大值.②当时,,因此,即,在区间上单调递增,当时,,不是函数的极大值点.③当时,,,函数在区间上单调递增,当时,,即,函数单调递增,即当时,,因此,不是函数的极大值点.综上,实数的取值范围是.【点睛】关键点睛:本题第二问的关键点在于能够根据极值点的定义,确定函数在左右的单调性,所以对求导,令,求出,分类讨论,和,求出的单调性和最值即可得出在左右的单调性,即可得出答案.18. 某药厂生产的一种药品,声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效,病人服用该药一个疗程,有90%的可能性治愈,有10%的可能性没有治愈;若该药对患有该疾病的病人无效,病人服用该药一个疗程,有40%的可能性自愈,有60%的可能性没有自愈.(1)若该药厂声称的有效率是真实的,利用该药治疗3个患有该疾病的病人,记一个疗程内康复的人数为,求随机变量的分布列和期望;(2)一般地,当比较大时,离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布,若,则可以近似看成随机变量,,其中,,对整数,(),.现为了检验此药的有效率,任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验,如果一个疗程内至少有人康复,则此药通过检验.现要求:若此药的实际有效率为,通过检验的概率不低于0.9772,求整数的最大值.(参考数据:若,则,,)【答案】(1)分布列见解析,数学期望为.(2)【解析】【分析】(1)因为,由二项分布的概率公式求出随机变量的分布列,再由二项分布的均值公式求出;(2)康复的人数为随机变量,则,可得出,由正态分布的对称性结合原则求解即可.【小问1详解】记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件,则,因此,,,,则的分布列为:的数学期望.【小问2详解】若该药品的有效率为,由(1)得,一个疗程内,使用该药后的康复率也为,记康复的人数为随机变量,则,设,设,所以整数的最大值为19. 已知椭圆:()的左焦点为,上顶点为,的两顶点,是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点,为椭圆的下顶点时,,且的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)若的平分线经过点,求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知条件和椭圆的性质解方程组可得;(2)设直线方程,由点在角平分线上结合到角公式(或斜率公式)可得;然后设设的方程为,直曲联立,用韦达定理表示化简得到和直线经过定点,再代入方程①得到;最后利用弦长公式表示出三角形的面积再结合基本不等式求出最值.【小问1详解】由条件得,解得,所以椭圆的方程为;【小问2详解】由的平分线经过点,得到的斜率都存在,点的坐标为,可设,点的坐标为,所以,化简得到.由已知得到直线斜率存在,设的方程为,,联立方程组,得,①,,由,得到,所以,得,根据韦达定理得,化简得,即或.又当时,直线经过点,不符合题意,因此,,直线经过定点,将代入方程①得,由,解得.面积.设,,则,当且仅当时取等号,因此面积的最大值为.【点睛】关键点点睛:本题第二问关键是能利用“的平分线经过点”这个条件得到到角公式或斜率间的关系.2024年赣州市十八县(市)二十四校期中联考高三数学试卷说明:1.全卷满分150分,考试时间120分钟.2.全卷分为试题卷和答题卡,答案要求写在答题卡上,不得在试卷上作答,否则不给分.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则( )A. B. C. D.2. 已知复数,则( )A. B. C. D.3. 已知命题:,:,则是( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件4. 已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为3的正方形,往容器内注水后水面高度为2,若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球,则此时水面的高度为( )A. B. C. D.5. 已知定义在上的函数的图象关于点中心对称,且当时,,则( )A. B. 0 C. 1 D. 26. 已知函数()在点处的切线为直线,若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为,则实数( )A. B. 1 C. 2 D.7. 十进制计数法简单易懂,方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数,如十进制下,,用七进制表示68这个数就是125,个位数为5,那么用七进制表示十进制的,其个位数是( )A. 1 B. 2 C. 5 D. 68. 如图,已知双曲线:(,)的右焦点为,点是双曲线的渐近线上的一点,点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形,且,则双曲线的离心率是( )A. B. 2 C. D. 3二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 若实数,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.10. 在正三棱柱中,已知,点,分别为和的中点,点是棱上的一个动点,则下列说法中正确的有( )A. 存在点,使得平面 B. 直线与为异面直线C. 存在点,使得 D. 存在点,使得直线与平面的夹角为45°11. 已知函数,其中,,若直线是函数图象的一条对称轴,函数在区间上的值域为,则( )A B.C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12 若直线:与圆:交于,两点,则______.13. 如图是一个弓形(由弦与劣弧围成)展台的截面图,是弧上一点,测得,,,则该展台的截面面积是______.14. 已知数列是有无穷项的等差数列,,公差,若满足条件:①是数列的项;②对任意的正整数,都存在正整数,使得.则满足这样的数列的个数是______种.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数(,,),函数和它的导函数的图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)已知,求的值.16. 已知四棱锥底面是一个梯形,,,,,,.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.17. 已知函数().(1)当时,求函数的单调递增区间;(2)若当时,函数取得极大值,求实数的取值范围.18. 某药厂生产的一种药品,声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效,病人服用该药一个疗程,有90%的可能性治愈,有10%的可能性没有治愈;若该药对患有该疾病的病人无效,病人服用该药一个疗程,有40%的可能性自愈,有60%的可能性没有自愈.(1)若该药厂声称的有效率是真实的,利用该药治疗3个患有该疾病的病人,记一个疗程内康复的人数为,求随机变量的分布列和期望;(2)一般地,当比较大时,离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布,若,则可以近似看成随机变量,,其中,,对整数,(),.现为了检验此药的有效率,任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验,如果一个疗程内至少有人康复,则此药通过检验.现要求:若此药的实际有效率为,通过检验的概率不低于0.9772,求整数的最大值.(参考数据:若,则,,)19. 已知椭圆:()的左焦点为,上顶点为,的两顶点,是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点,为椭圆的下顶点时,,且的面积为.(1)求椭圆方程;(2)若的平分线经过点,求面积的最大值. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 江西省赣州市十八县市二十四校2024届高三下学期期中联考数学试题(原卷版).docx 江西省赣州市十八县市二十四校2024届高三下学期期中联考数学试题(解析版).docx