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静安区2023学年第二学期期中教学质量调研
高三数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2024.4
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________．
【答案】{红,黄}；
【解析】
【分析】根据集合的定义即可求解.
【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄．
故答案为：红，黄．
2. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.
【详解】因为，
所以复数是纯虚数，则满足，则，
故答案为：.
3. 函数定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
4. 若单位向量、满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为单位向量、满足，
所以，
所以
.
故答案为：
5. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的性质，求出，即可求得结果.
【详解】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为，
又，所以数学分数属于闭区间的概率为，
所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人.
故答案为：
6. 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻_______（单位：s）．
【答案】
【解析】
【分析】可求出导函数，根据即可求解．
【详解】由题可得：，
可得，又，
可得．
故答案为：．
7. 已知等比数列的前项和为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解.
【详解】由等比数列的前项和为，
可得，，，
所以，解得，经检验符合题意.
故答案：.
8. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
【答案】②③④
【解析】
【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③.
【详解】对于①，取，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，当，要证，即证，
即，即证，
而恒成立，
当时，，所以，故③正确.
对于④，，所以，故④正确.
故答案为：②③④.
9. 正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】求出正四棱锥的体积，再利用等体积法可求得其距离为.
【详解】设底面正方形的中心为，的中点为，如下图所示：
易知，高，所以其斜高，
由对称性可知点到侧面与侧面的距离相等，
易知侧面和侧面与的面积，
正四棱锥的体积为，
设点到侧面的距离为，
由等体积法可得，
解得.
故答案为：
10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下：
一批产品中有次品的个数 0 1 2
概率 0.3 0.5 0.2
则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01）
【答案】##0.91；
【解析】
【分析】根据条件概率公式求解，，，即可利用全概率公式求解．
【详解】设事件表示一批产品中有个次品，1，，
则，，，
设事件表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，
则，，，
所以．
故答案为：0.91．
11. 已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．
【详解】当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故时，取得最小值，
解得，．
故答案为：3．
12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，曲线上任意一点求得的最小值为，进而求得心吧面积的最大值.
【详解】解：由曲线方程，
由点“爱心线”上任意一点且点在轴的右侧，
所以点“爱心线”上任意一点的最小距离，一定出现在爱心线位于轴的右侧的点，
当时，可得，
设曲线上任意一点，且，
有，
因为的最小值为，所以的最小值为，
当时，心吧面积为最小值为；
当时，心吧面积为的最大值为.
故答案为：.
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论.
【详解】易知，其中，
由周期公式可得其最小正周期为.
故选：A
14. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A. 若,,则 ； B. 若,,,则 ；
C. 若，，则 ； D. 若，，，,则．
【答案】C
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】若，，则或与相交或与异面，故A错误；
若，，，则或与相交，故B错误；
若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确；
若，，，，当与相交时，有，否则，与不一定平行，故D错误．
故选：C．
15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，双曲线的离心率，
因为是减函数，所以当时，，所以，所以，故选B.
考点：双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.
16. 如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的，有；
（2） 结合律，即对于任意的，有；
（3） 对于任意的，方程与在中都有解．
例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解.
以下关于“群”的真命题有（ ）
①自然数集关于自然数的加法（）构成群；
②有理数集关于有理数的乘法（）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（）构成群；
④复数集关于复数的加法（）构成群.
A. 0个； B. 1个； C. 2个； D. 3个.
【答案】B
【解析】
【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.
【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误；
对于②，，在有理数集中无解，错误；
对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误；
对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，
且对任意的，方程与有复数解，正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 根据已知条件，结合余弦定理即可求解.
（2）解，利用正弦定理先求，再由即可求解；解，先利用正弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解；解，先利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理，有，所以
【小问2详解】
解1：由正弦定理，有，即
所以
解2：由正弦定理，有，即
所以
故，
解3：由余弦定理，有，所以
故，
18. 某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.
（1）求身高不低于170cm学生人数；
（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
① 求从这三个组分别抽取的学生人数；
② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．
【答案】（1）60人；
（2）①30人，20人，10人；②
【解析】
【分析】（1）先求出,的频率可得结果．
（2）①由分层抽样可得各组的人数; ②分别列举各种情况可得概率．
【小问1详解】
由频率分布直方图可知,的频率为
，
故身高在以上的学生人数为（人．
【小问2详解】
①，，三组的人数分别为，，人．
因此应该从，，三组中每组各抽取（人，（人，（人．
②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，
则从6名学生中抽取2人有15种可能：
,，,，,．,，,，,，,，,，
,，,，,，,，,，,，,．
其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：,，,，,，,，
,，,，,，,，,．
所以组中至少有1人被抽中的概率为．
19. 如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．
（1）求四面体的体积；
（2）试判断与证明以下两个问题：
① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
【答案】（1）2； （2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为．可知为三棱锥的高，利用等面积法求得，再由棱锥体积公式求解；
（2）①过点作，垂足为，由直线与平面垂直的判定与性质证明；
②利用反证法证明在平面上不存在经过点的直线，使得．
【小问1详解】
过点作，垂足为．
平面平面，两平面交线为， 平面，
平面，
由以及可得．
；
【小问2详解】
①在平面上存在经过点的直线，使得．
证明：过点作，垂足为．
平面，平面，
，
又，平面，
平面，
平面，故可得，
即存在；
②在平面上不存在经过点的直线，使得，
证明：假设存在，
不在平面内，在平面内，则平面，
与平面矛盾．
不存在．
20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
（2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）解法1；以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆的方程，得到，联立方程组，求得，设圆的半径为，求得圆的方程为，进而得到函数的解析式；解法2：以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，得到，，进而得到函数的解析式；
（2）解法1：求得圆弧的长为，得到圆弧的长为，进而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得，得到圆弧的长，求得圆弧的长为，进而得到过桥道路的总长度；
（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝土的值.
【小问1详解】
解法1、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，圆的方程为，
由，得，，
过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为，
所以直线的斜率为，其方程为，将其代入，
得点的坐标为，
经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为，
则，即，解得，
所以，圆的方程为，
故用函数表示过桥道路为 .
解法2、如图所示，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
作圆与x轴相切于点，并和圆切于点，
设圆的半径为，则，即，解得，
所以圆的方程为，
将直线的方程代入得，点的坐标为，
所以用函数表示过桥道路为.
【小问2详解】
解法1：由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为3.398，
由点的坐标为，点的坐标为，得，
所以圆弧的长为32.175，
所以过桥道路的总长度为，
解法2：因为，，
则，即，
所以圆弧的长为，
又由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为，
所以过桥道路的总长度为63.9．
【小问3详解】
解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面，
高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形（）为底面，高为10米的柱体，
提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？
方案1：，
所以，铺设过桥路需要混凝土10（）．
方案2：，
所以，铺设过桥路需要混凝土10（）．
21. 已知，记（且）．
（1）当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；
（2）试讨论函数的奇偶性；
（3）拓展与探究：
① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析； （3）①当时，函数有对称中心，理由见解析；②答案见解析.
【解析】
【分析】（1）当时，求得，分和，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；
（2）根据题意，分别结合和，列出方程求得的值，即可得到结论；
（3）根据题意，得到当时，函数有对称中心，且时，对于任意的，都有，并且．
【小问1详解】
解：当时，函数 ，可得，
若时，，故函数在上单调递增，函数在上无最值；
若时，令，可得，
当时，，函数在上为严格减函数；
当时，，函数在上为严格增函数，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值．
综上：当时，函数在上无最值；当时，最小值为，无最大值．
【小问2详解】
解：因为“为偶函数”“对于任意的，都有”
即对于任意的，都有，并且；
即对于任意的，，可得，
所以是为偶函数的充要条件．
因为“为奇函数”“对于任意，都有”，
即对于任意的，都有，并且，
即对于任意的，，可得，
所以是为奇函数的充要条件，
当时，是非奇非偶函数.
【小问3详解】
解：①当时，函数有对称中心，
当时，对于任意的，都有，并且．
证明：当时，令，解得为函数的零点，
由，
可得；
② 答案1：当时，函数有对称轴．
即当时，对于任意的，都有，并且，
参考证明：当时，由，
可得，
答案2：当时，的图象关于y轴对称，
即对于任意的，都有，
答案3：当时，函数的零点为，即
【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.静安区2023学年第二学期期中教学质量调研
高三数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2024.4
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________．
2. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________．
3. 函数的定义域为________．
4. 若单位向量、满足，则________．
5. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为_______．
6. 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻_______（单位：s）．
7. 已知等比数列前项和为，则的值为________．
8. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
9. 正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______．
10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下：
一批产品中有次品的个数 0 1 2
概率 0.3 0.5 0.2
则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01）
11. 已知实数，记．若函数在区间上最小值为，则的值为________．
12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
14. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A. 若,,则 ； B. 若,,,则 ；
C. 若，，则 ； D. 若，，，,则．
15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的，有；
（2） 结合律，即对于任意的，有；
（3） 对于任意的，方程与在中都有解．
例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解.
以下关于“群”真命题有（ ）
①自然数集关于自然数加法（）构成群；
②有理数集关于有理数的乘法（）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（）构成群；
④复数集关于复数的加法（）构成群.
A. 0个； B. 1个； C. 2个； D. 3个.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的值．
18. 某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.
（1）求身高不低于170cm的学生人数；
（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
① 求从这三个组分别抽取的学生人数；
② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．
19. 如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．
（1）求四面体的体积；
（2）试判断与证明以下两个问题：
① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
（2）并按你方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
21. 已知，记（且）．
（1）当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；
（2）试讨论函数的奇偶性；
（3）拓展与探究：
① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）

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