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四川省眉山市仁寿县共同体期中联合考试2023-2024学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（每小题4分,共48分）
1.下列二次根式中,与是同类二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列各式中,属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
3.函数的自变量的取值范围是（）
A. B. C.且 D.
4.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
5.用配方法解方程:,下列配方正确的是（）
A. B. C. D.
6.方程的解是（）
A. B. C. D.
7.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是（）
A. B.且 C. D.且
8.在一幅长,宽的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是,设金色纸边的宽为,那么满足的方程是（）
A. B.
C. D.
9.某同学的身高为1.6米,某一时刻他在阳光下的影长为1.2米,与他相邻的一棵树的影长为3.6米,则这棵树的高度为（）
A.5.3米 B.4.8米 C.4.0米 D.2.7米
10.如图所示,给出下列条件:①;②;③；④.其中能够判定的个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,在矩形ABCD中,E、F分别是DC、BC边上的点,且,则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
12.如图,在针角三角形ABC中,,动点从点出发到点止,动点从点出发到点止.点运动的速度为秒,点运动的速度为秒.如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时,运动的时间是（）
A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒
二、填空题（每小题4分,共24分)
13.计算:_____________.
14.若,则_____________.
15.方程的解为_____________.
16.已知是方程的两个实数根,则的值为_____________.
17.如图,要测量池塘两端A,B间的距离,在平面上取一点,连接OA,OB的中点C,D,测得米,则_____________米.
18.如图,是边长为1的等边三角形,取BC的中点,作,得到四边形EDAF,它的面积记为,取BE的中点,作.得到四边形,它的面积记作,照此规律,则_____________.
三、计算题:（每小题6分,共24分)
19.(1).计算:. (2)计算:.
四、解下列方程:(每小题6分,共12分)
20.(1) (2)..
五、解答题:(每题6分,共54分)
21.(8分)如图所示,以的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系,A、B的坐标分别为,在网格图中将作下列变换,画出相应的图形,并写出三个对应顶点的坐标:
(1)将向上平移5个单位,得;
(2)以点为位似中心,在轴的下方将放大为原来的2倍,得.
22.(8分)如图,在梯形ABCD中,,若,
(1)试说明和相似;
(2)试求梯形ABCD的中位线的长度.
23.(6分)若是关于的一元二次方程的一个解,求实数的值和另一个解.
24.(10分)如图,在直角坐标系xOy中,直线与轴,轴分别交于A,B两点,以AB为边在第二象限内作矩形ABCD,使.
(1)求点,点的坐标,并求边AB的长；
(2)过点D作轴,垂足为,求证:;
(3)求点的坐标.
25.(10分)某商店经销甲、乙两种商品,现有如下信息:
信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是5元.
信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元,乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元.
信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件,共付了19元.
请根据以上信息,解答下列问题:
(I)甲、乙两种商品的进货单价各是多少元
(II)该商品平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件,经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件,为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降元,在不考虑其他因素的条件下,当定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大 每天的最大利润是多少
26.(12分)如图,已知中,,动点沿CA方向从点向点运动,同时,动点沿CB方向从点向点运动,速度都为每秒1个单位长度,P、Q中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动.过点作,交AB边于点,连接DQ.设P、Q的运动时间为.
(1)直接写出BD的长；（用含t的代数式表示）
(2)若a=15,求当为何值时,与相似;
(3)是否存在某个的值,使P、Q在运动过程中,存在的时刻,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
数学参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1.【解答】解:,与的被开方数不同,故不是同类二次根式;
与的被开方数不同,故不是同类二次根式;
C、,与的被开方数不同,故不是同类二次根式;
,与的被开方数,相同,故是同类二次根式;故选:.
2.【解答】解:被开方数里含有能开得尽方的因数4;故本选项错误;
、符合最简二次根式的定义;故本选项正确;
C、,被开方数里含有能开得尽方的因式;故本选项错误;
,被开方数里含有分母;故本选项错误.
故选:.
3.【解答】解：根据且x≠2．故选：C．
4.【解答】解:,正确;
无法计算,故此选项错误;
C、,故此选项错误;
D、,故此选项错误;故选:.
5.【解答】解:把方程的常数项移到等号的右边,得到,方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到,配方得.故选:.
6.【解答】解:,故选:.
7.【解答】解:,一元二次方程有两个不相等的实数根,
,解得,
是二次项系数,不能为0,
且.
故选:.
8.【解答】解:挂图长为,宽为;所以,
即,所以.
即.故选:.
9.【解答】解:设这棵树的高度为.
在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的.
这棵树的高度为4.8米.故选:.
10.【解答】解:有三个.
①,再加上为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;
②,再加上为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;
③中不是已知的比例线段的夹角,不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定;故选:C.
11.【解答】解:四边形ABCD是矩形,又
即;
故选:.
12.【解答】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时,运动的时间是秒,
①若,则,
解得:;
②若,则,
解得:.
当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时,运动的时间是3秒或4.8秒.故选:.
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.【解答】解:原式
14.【解答】解:根据题意得,,解得,故答案为:-2.
15.【解答】解:
故答案是:.
16.【解答】解:根据题意得,所以原式.故答案为-2.
17.【解答】解:的中点为C,D,为的中位线,故答案为71.
18.【解答】解:的中点,为BC中点,,
,,,
的面积是,
推理,,
同理……
故答案为:
三、计算：（每小题6分，共24分）
19.【解答】（1）解:原式
（2）【解答】解:原式
20.【解答】（1）解:移项得:,
解得
(2)【解答】解:
所以无解
五、解答题：（每题6分，共72分）
21.【解答】解:,
把代入原方程得另一个根为0.5.(4分)
23.【解答】解:(1)如图所示:,
(2)如图所示:,
24.【解答】解:(1),
梯形ABCD的中位线是.
25.【解答】(1)解:在中,令,解得,
令,解得,因而,
在Rt中,;
(2)证明:由,
又
(3)解：∵△ADH∽△BAO,即
26.【解答】解:(1)设甲种商品的进货单价为元,乙种商品的进货单价为元,由题意得
解得
答:甲种商品的进货单价为2元,乙种商品的进货单价为3元.
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为元,由题意得
答:当定为0.55时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大,每天的最大利润是1705元.
27.【解答】解:(1).
(2),
∴△ADP和△BDQ相似，
或或
解得:(舍去),(舍去),
答:或6时,与相似.
(3)存在,理由是:假设存在,
即,相似比是,
设四边形CPDQ的边CQ上的高是,则的边BQ上的高是的边BC上的高是3h,
代入解得:,
答:存在某个的值,使P、Q在运动过程中,存在:4的时刻,的值是20.

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