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石家庄市第四十八中学2023-2024学年度第二学期期中考试
初一数学试卷
注意事项：
1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟；
2．答卷前将本人信息填写清楚；
3．答案须用黑色签字笔书写．
卷Ⅰ（选择题共42分）
一、选择题（16个小题，1-10题每题3分，11-16每题2分，共42分．四个选项中，只有一项符合题意）
1. 若，则下列不等式中正确是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，下列结论错误的是（ ）
A. 与是邻补角 B. 与是同位角
C. 与是内错角 D. 与是同旁内角
4. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A B. C. D.
6. 如图，已知，点在直线上，且到直线的距离为，则将平移过的位置，平移的距离不可以是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（　　）
A. 先右转，再直行 B. 先右转，再直行
C. 先左转，再直行 D. 先左转，再直行
8. 若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，将沿方向平移，到达，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图所示，从点到点，下列路径最短的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
13. 已知关于x的不等式整数解共有2个，若m为整数，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. 如图，直线，一副三角板放置在之间，一三角板直角边在上，三角板斜边在同一直线上．则（ ）
A. B. C. D.
15. 在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是( )
嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示
A Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ，Ⅱ都可行 D. Ⅰ ，Ⅱ都不可行
16. 如图，在中，平分．则、、的数量关系为（ ）
A. B.
C. D.
卷Ⅱ（非选择题，共58分）
二、填空题（4个小题，每题3分，共12分）
17. “与的和小于”用不等式表示为________．
18. 如图，点D，E分别在线段，上，连接，．若，，，则的大小为_______．
19. 已知，用含的代数式表示可得_______．
20. 当三角形中一个内角β是另外一个内角a的时，我们称此三角形为“友好三角形”． 如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为______________．
三、解答题（6个小题，共46分）
21. 解方程组：
（1）；
（2）
解下列不等式：
（3）
22. 某校举行了“喜迎二十大”知识竞赛，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了件奖品，其中二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少，各种奖品的单价如表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（单位：元） 8
数量（单位：件） 　　 　　
（1）请把表格填写完整（化成最简）；
（2）用含的代数式表示件奖品所需总费用 　　（化成最简）；
（3）若奖品费用不高于元，则一等奖奖品最多买多少件？
23. 补全下列推理过程：
如图，已知，求．
解：（已知）
（_______）
又（已知）
（_______）
（_______）
（_______）
（已知）
24. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成．
（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________；
（2）陈彬同学思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
25. 课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）石家庄市第四十八中学2023-2024学年度第二学期期中考试
初一数学试卷
注意事项：
1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟；
2．答卷前将本人信息填写清楚；
3．答案须用黑色签字笔书写．
卷Ⅰ（选择题共42分）
一、选择题（16个小题，1-10题每题3分，11-16每题2分，共42分．四个选项中，只有一项符合题意）
1. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质，
根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：．由，得，那么错误，故不符合题意．
B．由，得，推断出，那么B正确，故B符合题意．
C．由，得，那么错误，故C不符合题意．
D．由，得，那么错误，故D不符合题意．
2. 下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断．
【详解】选项A的反例不满足命题的条件，不符合；选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键．
3. 如图，下列结论错误的是（ ）
A. 与是邻补角 B. 与是同位角
C. 与是内错角 D. 与是同旁内角
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义逐项分析即可求解．
【详解】解：A、两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；故与是邻补角；A选项不符合题意；
B、两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；故与是同位角；B选项不符合题意；
C、两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；故与不是内错角；C选项符合题意；
D、两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内；故与是同旁内角；D选项不符合题意；
故选：C．
4. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【详解】将代入得
∴
故选C．
5. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查加减消元法解方程组．利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：若消去，
则得：；
若消去，
则得：；
故选：A．
6. 如图，已知，点在直线上，且到直线的距离为，则将平移过的位置，平移的距离不可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平行线间的距离，图形的平移，根据平行线间的距离是两平行线上两点之间连线长度的最小值即可得到答案．
【详解】解：∵直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为，
∴将a平移到b的位置，平移的距离不可以小于，
故选：C．
7. 如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（　　）
A. 先右转，再直行 B. 先右转，再直行
C. 先左转，再直行 D. 先左转，再直行
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．由两直线平行内错角相等，即可求解．
【详解】解：
由题意知：，，
∴，
∴他应该先左转，再直行．
故选：C．
8. 若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解不等式以及在数值上表示不等式的解集，先把每个选项的不等式解出来，再与数轴表示的解集作比较，即可作答．
【详解】解：由数轴得，，
A、，得，与不符合，故该选项是错误的；
B、，得，符合，故该选项是正确的；
C、得，与不符合，故该选项是错误的；
D、得，与不符合，故该选项是错误的；
故选：B．
9. 如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可作出判断．
【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
10. 如图，将沿方向平移，到达，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查平移的性质，解题关键在于根据平移的性质得出，进而得，再利用平角求解即可．
【详解】∵将沿直线向右平移后到达的位置，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
11. 如图所示，从点到点，下列路径最短的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形两边之和大于第三边可知路径最短．
【详解】解：由“三角形两边之和大于第三边”可知：
，
，
，
故：路径最短．
故选：A．
【点睛】本题考查了“三角形两边之和大于第三边”；熟练掌握该性质是解题的关键．
12. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．
【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线，
，故选项A正确，不合题意；
，故选项B正确，不合题意；
，故选项C正确，不合题意；
与不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．
13. 已知关于x不等式整数解共有2个，若m为整数，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围，再找整数m即可．
【详解】解：
解不等式①得
解不等式②得
∴不等式组的解集为：2≤x＜m，
∵不等式组只有2个整数解，所以这两个整数解为：2，3，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
∵m是整数
∴m＝4
故选：C．
【点睛】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定m的范围，是解决本题的关键．
14. 如图，直线，一副三角板放置在之间，一三角板直角边在上，三角板斜边在同一直线上．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】如图，
∵，
∴，
∴．
故选B．
15. 在作业纸上，要过点P作直线 a 的平行线 b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，ⅠⅠ，下列判断正确的是( )
嘉嘉利用直尺和三角尺，作图过程如图1所示
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ，Ⅱ都可行 D. Ⅰ ，Ⅱ都不可行
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练应用判定方法是关键，方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行得出即可．
【详解】解：由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；
方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行，判定；
故选：C．
16. 如图，在中，平分．则、、数量关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平分，则，再根据三角形的外角和，即可．
【详解】∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和．
卷Ⅱ（非选择题，共58分）
二、填空题（4个小题，每题3分，共12分）
17. “与的和小于”用不等式表示为________．
【答案】x+4＜10##4+x＜10
【解析】
【分析】首先表示x与4的和，再表示小于10即可．
【详解】解：根据题意得：x+4＜10．
故答案为：x+4＜10．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
18. 如图，点D，E分别在线段，上，连接，．若，，，则的大小为_______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】由三角形的内角和定理，可得∠1＝∠2=180 （∠B＋∠ADB），∠ADB＝∠A＋∠C，所以∠1＝180° （∠B＋∠A＋∠C），由此解答即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2=180° （∠B＋∠ADB），∠ADB＝∠A＋∠C，
又∵，，，
∴∠1＝180° （∠B＋∠A＋∠C）
＝180° （25°＋35°＋50°）
＝180° 110°
＝70°
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，根据题意结合图形得出∠1＝180° （∠B＋∠A＋∠C），是解题的关键．
19. 已知，用含的代数式表示可得_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
20. 当三角形中一个内角β是另外一个内角a的时，我们称此三角形为“友好三角形”． 如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为______________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是理解友好角的定义．根据题目所给“友好角”的定义，进行分类讨论：①当时，②当时，③当，时．
【详解】解：根据题意可得：，
①当时，，
解得：，
②当时，“友好角a”的度数为，
③当，时，
，
即，
解得：
综上：“友好角a”的度数为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（6个小题，共46分）
21. 解方程组：
（1）；
（2）
解下列不等式：
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式：
（1）先整理原方程，然后利用代入消元法解方程组即可得到答案；
（2）利用加减消元法解方程组即可得到答案；
（3）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案．
【详解】解：（1）
整理得，
把①代入②得：，解得，
把代入①得：，
∴方程组的解为0；
（2），
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
（3）
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
22. 某校举行了“喜迎二十大”知识竞赛，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了件奖品，其中二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少，各种奖品的单价如表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（单位：元） 8
数量（单位：件） 　　 　　
（1）请把表格填写完整（化成最简）；
（2）用含的代数式表示件奖品所需总费用 　　（化成最简）；
（3）若奖品费用不高于元，则一等奖奖品最多买多少件？
【答案】（1），
（2）元
（3）一等奖奖品最多买9件
【解析】
【分析】（1）根据购买奖品的总数及一、二等奖奖品数量间的关系，即可用含x的代数式表示出购买二、三等奖奖品的数量；
（2）利用总费用＝一等奖奖品的单价×购买一等奖奖品的数量＋二等奖奖品的单价×购买二等奖奖品的数量＋三等奖奖品的单价×购买三等奖奖品的数量，即可用含x的代数式表示出购买件奖品所需总费用；
（3）根据购买件奖品所需总费用不高于元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵学校共买件奖品，其中购买一等奖奖品件，二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少，
∴购买二等奖奖品的件数为，三等奖奖品的件数为．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：根据题意得，
（元），
用含的代数式表示件奖品所需总费用为元；
【小问3详解】
解：根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为9．
所以一等奖奖品最多买9件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，难度不大，注意计算．
23. 补全下列推理过程：
如图，已知，求．
解：（已知）
（_______）
又（已知）
（_______）
（_______）
（_______）
（已知）
【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质和判定条件结合已知推理过程进行推理求解即可．
【详解】解：解：（已知）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
．
故答案为；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
24. 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成．
（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________；
（2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
【答案】（1）甲队修路的天数；乙队修路的天数；；
（2）乙队修建了8天
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
（1）根据方程组等式的意义进行判断即可；
（2）依题意得，，计算求解可得，然后根据乙队修建的天数，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是，
故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；；
【小问2详解】
解：依题意得，，
解得，，
∴乙队修建的天数（天）．
答：乙队修建了8天．
25. 课本拓展
旧知新意：
我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：
（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）
【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A，理由见解析；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA =360°-2∠P，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；
（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
【详解】（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2-∠C=50°；
（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；
即∠P=90°-∠A；
故答案为50°，∠P=90°-∠A；
（4）延长BA、CD于Q，
则∠P=90°- ∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，
=180°+180°-2∠P，
=360°-2∠P．
【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题关键在于作辅助线

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