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高中数学三轮复习（直击痛点）：专题12用“不动点法”求数列的通项公式
一、选择题
1．（2018高一下·南平期末）已知数列 中，若 ，则该数列的通项公式 （　　）
A． B． C． D．
2．数列中，若，则该数列的通项（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2018高二上·兰州月考）在数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 (n≥1)，则该数列的通项an=　 　 ．
4．（2018高二上·镇原期中）在数列 中，若 ， ， （n∈N*），则该数列的通项 =　 　．
5．（2023高二上·永年月考）若数列的首项，且．令，则　 　．
6．（2023高三上·长春期中）已知数列的前n项和为，则=　 　.
7．（2023高三上·彭州期中）已知数列满足，且，则　 　.
三、解答题
8．（2023高二上·永年月考）已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，．
（1）证明是等比数列．
（2）令，求数列的前n项和．
9．（2023高二上·鸡泽月考）已知数列满足，．
（1）记，证明：是等比数列，并求的通顶公式
（2）求数列的前项和．
10．（2023高二上·浙江月考）已知为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，若关于m的不等式恒成立，求m的取值范围.
11．（2023高一上·天津市月考）已知为数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，若，求的最小值．
12．（2023高二上·达州月考）已知数列 的前项和满足.
（1）求 的通项公式：
（2）已知数列 ， 求的前项和.
13．（2023高三上·香坊期中）已知数列的前项和为满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数，使都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
14．（2023高三上·福州期中）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
15．（2023高三上·南京期中）已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和．
16．（2023高三上·五华期中）记为数列的前项和，已知．
（1）求；
（2）若，记为的前项和，且满足，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：
∵a1=2，an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），∴数列{an+1}是等比数列，公比为3，∴an+1=3×3n﹣1，即an= ．
故答案为：B.
【分析】将式子进行变形，由等比数列定义可求出公比，再用得解。
2．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】∵，∴，∴，∴是以-2为首项，以2为公比的等比数列，
∴，∴.选C.
3．【答案】an=
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：递推公式an＋1＝2an＋3转化为 为等比数列，首项为4，公比为2
【分析】先把递推公式整理转化，得到{an+3} 为等比数列，再利用等比数列的通项公式，即可求出数列的通项an.
4．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】∵ ，（n∈N*），
∴数列{ }为等差数列，
又∵ ， ，
∴ =1， = ，
即数列{ }是以1为首项、 为公差的等差数列，
∴ =1+（n﹣1）= ，
∴an= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据题意得出数列{ }为等差数列，进而得出数列{ }的通项公式，由此得出an= 。
5．【答案】5050
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：可转化为，
所以数列为首项a1+1=3，公比为3的等比数列，所以 ，
所以.
故答案为：5050.
【分析】由变形得数列为首项a1+1=3，公比为3的等比数列，根据等比数列通项公式得出an，进而得出bn，利用等差数列求和公式求和即可.
6．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为：①，所以：②， ①-②得：，又因为时，则，化简得：，
所以：当时，是以为首项，2为公比等比数列。由得：。故时，
，又当n=1时，不满足题意。故：；
故答案为：：
【分析】：根据，结合，递推出：，然后得到，在化简，最后检验当n=1时，即可.
7．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an=a1qn-1=2n-1.
故答案为：．
【分析】根据等比数列的定义判断直接求解通项公式即可.
8．【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，又．
∴数列是首项为，公比为3的等比数列．
（2）解：由（1）知，
∴，，
设等差数列的公差为d，∴，
∴，∴．
∴
．
令，①，
∴，②，
①-②得
，
∴，
∴
．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】(1)将转化为，即可吊新数列.
（2）根据等比、等差数列通项公式分别求得，，进而得，
然后利用等差、等比数列求和公式，用分组求和、错位相减法求和即可.
9．【答案】（1）解：由题得：，又，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2）解：由可知，，所以，
所以．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【分析】(1)先利用等比数列的定义证明为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可；
(2)由（1）得，利用分组求和即可.
10．【答案】（1）解：∵，∴.
两式相减得
，符合上式，∴.
，，∴是以5为首项，公比为2的等比数列，
∴，从而
（2）解：
.
.
易得为递增数列，当时，有最小值.
若关于m的不等式恒成立，
则恒成立，解得
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据，可得：，然后两式相减得利用构造法求通项公式得方法进行求解即可；
（2）由（1）知，然后对化简得到：，利用列式相消法可求得 数列的前n项和为 ，并判定为递增数列，找到最小值，建立不等式，解出不等式即可求解.
11．【答案】（1）解：当时，，解得，
又，所以
所以，即，
又因为，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）解：由可得，
所以
，
因为，即，
所以，因为，所以，
所以的最小值为．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题干中的递推式可得： 及 ，再根据可算得；然后利用等比数列的通项公式即可求解；
（2） 由可得然后运用裂项相消法即可求得：然后代入解不等式即可.
12．【答案】（1）解：当 时，，
当 时，，
故 ，故数列是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，
故
（2）解：由（1）得 ， 所以由题意，
故 ，
则 ，
故 ，
则
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先根据求出，在利用递推式 当 时进行求解即可；
（2）由（1）知故，然后利用错位相减法进行求和即可求解.
13．【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即，
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列.
（2）解：由（1）知，，
所以，
则，
由对任意都成立，得，
即对任意都成立，又，所以的值为1，2，3.
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）首先令n=1求出a1的值，当时，根据可得，
两式作差可，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出，进而求出的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
14．【答案】（1）解：解：∵，
∴当时，，两式相减得，.
∵，，所以，∴，
∵，∴，
∴数列是以首项，公比为的等比数列．
∴
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵对任意恒成立，
∴，
∴，
∴恒成立，
∵，∴，
∴的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式和分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，进而判断出数列是以首项，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用数列满足，进而结合（1）中数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列前项和，再由对任意恒成立，从而由不等式恒成立问题求解方法得出实数的取值范围。
15．【答案】（1）解：因为，所以，两式相减得，即，又当时，，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）解：由（1）可知，，所以是首项为
，公比为的等比数列，共有项，所以
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【分析】（1）由，得到，两式相减得得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求求解；
（2）由（1）推得是首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
16．【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，，
因为，所以，即，
所以，
所以，是首项为3，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为；
（2）解：由题意知：，
所以，
易知在上单调递增，
而，
所以满足的的最大值为12．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】 (1) 根据 与 之间的关系，结合等比数列分析求解；
(2) 由（1）可得，利用分组求和法可得，结合数列单调性解不等式.
1 / 1高中数学三轮复习（直击痛点）：专题12用“不动点法”求数列的通项公式
一、选择题
1．（2018高一下·南平期末）已知数列 中，若 ，则该数列的通项公式 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：
∵a1=2，an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），∴数列{an+1}是等比数列，公比为3，∴an+1=3×3n﹣1，即an= ．
故答案为：B.
【分析】将式子进行变形，由等比数列定义可求出公比，再用得解。
2．数列中，若，则该数列的通项（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】∵，∴，∴，∴是以-2为首项，以2为公比的等比数列，
∴，∴.选C.
二、填空题
3．（2018高二上·兰州月考）在数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 (n≥1)，则该数列的通项an=　 　 ．
【答案】an=
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：递推公式an＋1＝2an＋3转化为 为等比数列，首项为4，公比为2
【分析】先把递推公式整理转化，得到{an+3} 为等比数列，再利用等比数列的通项公式，即可求出数列的通项an.
4．（2018高二上·镇原期中）在数列 中，若 ， ， （n∈N*），则该数列的通项 =　 　．
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】∵ ，（n∈N*），
∴数列{ }为等差数列，
又∵ ， ，
∴ =1， = ，
即数列{ }是以1为首项、 为公差的等差数列，
∴ =1+（n﹣1）= ，
∴an= ，
故答案为： ．
【分析】首先根据题意得出数列{ }为等差数列，进而得出数列{ }的通项公式，由此得出an= 。
5．（2023高二上·永年月考）若数列的首项，且．令，则　 　．
【答案】5050
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：可转化为，
所以数列为首项a1+1=3，公比为3的等比数列，所以 ，
所以.
故答案为：5050.
【分析】由变形得数列为首项a1+1=3，公比为3的等比数列，根据等比数列通项公式得出an，进而得出bn，利用等差数列求和公式求和即可.
6．（2023高三上·长春期中）已知数列的前n项和为，则=　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为：①，所以：②， ①-②得：，又因为时，则，化简得：，
所以：当时，是以为首项，2为公比等比数列。由得：。故时，
，又当n=1时，不满足题意。故：；
故答案为：：
【分析】：根据，结合，递推出：，然后得到，在化简，最后检验当n=1时，即可.
7．（2023高三上·彭州期中）已知数列满足，且，则　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an=a1qn-1=2n-1.
故答案为：．
【分析】根据等比数列的定义判断直接求解通项公式即可.
三、解答题
8．（2023高二上·永年月考）已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，．
（1）证明是等比数列．
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，又．
∴数列是首项为，公比为3的等比数列．
（2）解：由（1）知，
∴，，
设等差数列的公差为d，∴，
∴，∴．
∴
．
令，①，
∴，②，
①-②得
，
∴，
∴
．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】(1)将转化为，即可吊新数列.
（2）根据等比、等差数列通项公式分别求得，，进而得，
然后利用等差、等比数列求和公式，用分组求和、错位相减法求和即可.
9．（2023高二上·鸡泽月考）已知数列满足，．
（1）记，证明：是等比数列，并求的通顶公式
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：由题得：，又，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2）解：由可知，，所以，
所以．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【分析】(1)先利用等比数列的定义证明为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可；
(2)由（1）得，利用分组求和即可.
10．（2023高二上·浙江月考）已知为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前n项和为，若关于m的不等式恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）解：∵，∴.
两式相减得
，符合上式，∴.
，，∴是以5为首项，公比为2的等比数列，
∴，从而
（2）解：
.
.
易得为递增数列，当时，有最小值.
若关于m的不等式恒成立，
则恒成立，解得
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据，可得：，然后两式相减得利用构造法求通项公式得方法进行求解即可；
（2）由（1）知，然后对化简得到：，利用列式相消法可求得 数列的前n项和为 ，并判定为递增数列，找到最小值，建立不等式，解出不等式即可求解.
11．（2023高一上·天津市月考）已知为数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，若，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，，解得，
又，所以
所以，即，
又因为，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）解：由可得，
所以
，
因为，即，
所以，因为，所以，
所以的最小值为．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题干中的递推式可得： 及 ，再根据可算得；然后利用等比数列的通项公式即可求解；
（2） 由可得然后运用裂项相消法即可求得：然后代入解不等式即可.
12．（2023高二上·达州月考）已知数列 的前项和满足.
（1）求 的通项公式：
（2）已知数列 ， 求的前项和.
【答案】（1）解：当 时，，
当 时，，
故 ，故数列是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，
故
（2）解：由（1）得 ， 所以由题意，
故 ，
则 ，
故 ，
则
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）先根据求出，在利用递推式 当 时进行求解即可；
（2）由（1）知故，然后利用错位相减法进行求和即可求解.
13．（2023高三上·香坊期中）已知数列的前项和为满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数，使都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即，
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列.
（2）解：由（1）知，，
所以，
则，
由对任意都成立，得，
即对任意都成立，又，所以的值为1，2，3.
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）首先令n=1求出a1的值，当时，根据可得，
两式作差可，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出，进而求出的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
14．（2023高三上·福州期中）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：解：∵，
∴当时，，两式相减得，.
∵，，所以，∴，
∵，∴，
∴数列是以首项，公比为的等比数列．
∴
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵对任意恒成立，
∴，
∴，
∴恒成立，
∵，∴，
∴的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式和分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，进而判断出数列是以首项，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用数列满足，进而结合（1）中数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列前项和，再由对任意恒成立，从而由不等式恒成立问题求解方法得出实数的取值范围。
15．（2023高三上·南京期中）已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和．
【答案】（1）解：因为，所以，两式相减得，即，又当时，，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）解：由（1）可知，，所以是首项为
，公比为的等比数列，共有项，所以
.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【分析】（1）由，得到，两式相减得得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求求解；
（2）由（1）推得是首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
16．（2023高三上·五华期中）记为数列的前项和，已知．
（1）求；
（2）若，记为的前项和，且满足，求的最大值．
【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，，
因为，所以，即，
所以，
所以，是首项为3，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为；
（2）解：由题意知：，
所以，
易知在上单调递增，
而，
所以满足的的最大值为12．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】 (1) 根据 与 之间的关系，结合等比数列分析求解；
(2) 由（1）可得，利用分组求和法可得，结合数列单调性解不等式.
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