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高中数学二轮复习（直击痛点）：专题13数列中的奇、偶项问题
一、选择题
1．（2024高三上·重庆月考）数列、满足：，，，则数列的最大项是（　　）
A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：因为数列满足：，，
所以
(1)+(2)+...+(n-1)，得出，
所以
当n=1时，，所以数列的通项公式为：
因为数列满足，
所以数列的通项公式为：
令，则，所以
所以k=9，则数列的最大项是第九项.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合累加法得出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再结合数列的单调性，进而得出数列的最大项.
2．（2023高三上·黄冈）数列满足，，，，设，则数列的前10项和为（　　）
A．1 B．0 C．5 D．
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列满足，，，，
则数列中，奇数项构成首项为1公比为-1的等比数列，
偶数项构成首项为-1公比为-1的等比数列，
∴，，
∴，，
∵，∴为奇数时，；为偶数时，，
∴数列的前10项和为0.
故答案为：B.
【分析】根据条件，求出数列求出通项，再求出的通项，最后求出10项和即可.
二、解答题
3．（2023高三上·广州月考）已知数列满足
（1）判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
（2）若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）数列成等比数列.
根据得
，即数列成等比数列.
（2）由(1)得，，
由，得.
显然单调递增，且，
故.
当时，
综上，知.
当时，
当时，
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等比数列的定义运算求解；
(2) 根据题意可得 ，构建函数，结合单调性可得，进而可得 ，利用放缩法结合裂项相消法分析证明.
4．（2024·巴南模拟）已知数列的首项，且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，即，
则，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）知，所以.
所以
，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得；
综上所述：.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等比数列的定义，分组求和的应用.
（1）根据题意先将变形为：再代入，可得出其结果为常数，进而证明结果；
（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.
5．（2024·荆州市模拟） 已知数列满足，，且数列是等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为数列是等差数列，记其公差为，
则有，
所以，
所以；
（2）解：，
则，
则
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列是等差数列，记其公差为，根据等差数列性质计算即可求解；
（2）由（1）先表示，再利用错位相减法求和即可.
6．（2024高三上·辽源期末） 设数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前的项和．
【答案】（1）解：由，可得，
两式相减得，
令时，，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2）解：
由题意，可得，
所以奇数项的和为，
偶数项的和为，
则，
两式相减得：，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由，得到，得到是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求解；
（2）由（1）得，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项与偶数项的和，即可求解.
7．（2023高三上·和平月考）已知数列满足，记.
（1）求的值；
（2）证明，并求数列的通项公式；
（3）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
，
（2）a2=2a1-3(-1)=5，b1=a2-1=4，因为
所以，所以是等比数列，所以
所以，即.
（3）由(2)，所以
则
为奇数时，
为偶数时，
所以为奇数时即恒成立，易证递增，时取最小值，所以
为偶数时，即，
易证递增，时取最小值，所以
综上可得.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合递推公式，进而得出的值.
（2）利用已知条件和（1）得出的的值以及，再结合等比数列的定义，进而得出数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式.
（3）由(2)得出，再利用错位相减的方法和分类讨论的方法，进而得出数列的和，再结合函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围.
8．（2023高三上·黄冈）数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值．
【答案】（1）解：
（2）解：
当n为奇数时，，
此时Sn为单调递减数列，
当n为偶数时，
，
∴此时=S2≤Sn＜
综上①②的最小值为，最大值为.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列是公差为的等差数列求出，再由时，求解即可；
（2）数列是等比数列，根据前项和的单调性求最大值与最小值即可．
9．（2023高三上·普宁月考） 已知等差数列的前项和为，且满足，数列满足.
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）已知数列满足求数列的前项和.
【答案】（1）证明：依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，
所以，即.
所以，所以，
又，所以，故数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，所以.
（2）解：由（1）得所以
.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而等差数列的通项公式，从而结合等比数列的定义证出数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式得出的通项公式.
（2）因为数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式得出数列的前项和.
10．（2023高二上·酒泉期末）已知数列是等差数列，记为数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求，.
【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为，则.
，
由，故
因为，所以
解得，，故
（2）解：当，时，
，所以
当，时，，
，
所以
由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数.
当为奇数，为偶数时，则，
所以，，；
当为偶数，为奇数时，则，所以，.
因为，所以，
【知识点】等差数列的通项公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式、分类讨论思想的运用.
（1）设数列的首项为，公差为，则，然后根据与的关系及进行求解即可；
（2）分当，时，和当，时，，两种情况结合及等差数列的求和公式进行求解即可.
三、多项选择题
11．（2024·潍坊期末）已知复数 则（　　）
A．
B．z ，z ，z 的实部依次成等比数列
C．
D．的虚部依次成等差数列
【答案】A,B,C
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定；复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】
对于A，，所以A对；
对于B，z ，z ，z 的实部分别为1，3，9，
因为，所以1，3，9依次成等比数列，所以B对；
对于C，，，所以，所以C对；
对于D，的虚部分别为-3，-4，1，
因为，所以-3，-4，1依次不成等差数列，所以D错.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数，再结合复数的加法运算法则判断出选项A；利用复数的实部和等比中项公式，进而判断出选项B；利用复数求模公式判断出选项C；利用复数的虚部和等差中项公式，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高三上·香坊期末） 已知数列，则（　　）
A．当时，数列是公差为2的等差数列
B．当时，数列的前16项和为160
C．当时，数列前16项和等于72
D．当时，数列的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得，，
A、当时，，所以，数列是以4为公差的等差数列，故A错误；
B、当时，，所以数列前16项中奇数项有8项，其和为8，
偶数项有8项，其和为，故数列的前16项和为160，故B正确；
C、当时，，令，得①，
令，得②，令，得③，
①②，得，①③，得，所以，所以数列前16项和为，故C正确；
D、由选项C可知，当数列的项数为偶数时，令项数为2k（），
即偶数项和大于奇数项和，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得，进而得，根据等差数列的通项公式即可判断A；分别求出数列前16项和中奇数项和与偶数项和，即可判断B；由得、、，进而得，计算即可判断C；由选项C知，利用累加法求出数列前2k项和中偶数项和与奇数项和之差，即可判断D.
13．（2024高三上·台州模拟）已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由数列为等差数列，，公差为，则，
，，
A、当时，，故A错误；
B、当为偶数时，；
当为奇数时，，故，故B正确；
C、，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
所以， 故C正确；
D、，
，
所以
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由数列为等差数列，结合已知条件求出，由即可判断A；分为奇数和偶数分别求的前项和，从而判断B； 根据已知条件先求得，从而得出，再分为奇数和偶数分别求的前项和，判断C即可；由，求出，从而可求出的前项的和，判断D.
14．（2024·昌乐模拟）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】A,B,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为 ，，
设等比数列的公比为，
因为，可得，
且，可知，
又因为，等价于，则有：
若，则，可得，这与矛盾；
若，则，
对于A：因为，所以，故A正确；
对于C：因为等比数列中，，，
所以数列单调递减，可得，
所以是数列中的最大项，故C正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于D：由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意分析可知，进而根据等比数列的性质以及前n项积为 的性质逐项分析判断.
四、填空题
15．（2023高二下·天河期末）已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】设等比数列的公比为q，
由已知可得：，解得，
所以，
所以，
所以，
所以，
由对勾函数的性质可得：
当n=3时，取得最小值，
此时取得最大值，
所以，
故答案为：
【分析】根据已知先求得的首项和公比，进而求得通项公式，然后求得，最后利用对勾函数的性质求得的最小值。
16．（2023高三上·东莞月考），为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【解答】解： 因为，依题意得，A2=(-1，0，0，1)，A3=(-1，0，-1，1，-1，1，0，1)，
显然，A1中有2项，其中1项为-1，1项为1，
A2中有4项，其中1项为-1，1项为1，2项为0，
A3中有8项，其中3项为-1，3项为1，2项为0，
由此可得An中共有2n项，其中1和-1的项数相同，
设An中有cn项为0，
所以，，
从而()①，
因为f(A)表示把A中每个-1都变为-1，0，每个0都变为-1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序
实数组，
则②，
①+②得，③，
所以④，
④-③得，，
所以当n为奇数且时，
，
经检验n=1时符合，
所以(n为奇数)，
当n为偶数时，则n-1为奇数，
又因为，
所以，
所以，
当n为奇数时，，
所以的前2n项和为
.
故答案为：.
【分析】 设中有项为0，其中1和-1的项数相同都为，由已知条件可得，，
进而可得，再结合可得，分别研究n为奇数与n为偶数时的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.
17．（2023高三上·闵行月考）已知数列满足，，则的前10项和　 　
【答案】75
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在 数列满足，，则，
所以，所以的奇数项、偶数项分别为等差数列，
所以.
故答案为：75.
【分析】由求出前几项，推出数列奇数项、偶数项分别为等差数列，利用等差数列求和公式计算即可.
1 / 1高中数学二轮复习（直击痛点）：专题13数列中的奇、偶项问题
一、选择题
1．（2024高三上·重庆月考）数列、满足：，，，则数列的最大项是（　　）
A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项
2．（2023高三上·黄冈）数列满足，，，，设，则数列的前10项和为（　　）
A．1 B．0 C．5 D．
二、解答题
3．（2023高三上·广州月考）已知数列满足
（1）判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
（2）若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
4．（2024·巴南模拟）已知数列的首项，且满足.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的前项和.
5．（2024·荆州市模拟） 已知数列满足，，且数列是等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
6．（2024高三上·辽源期末） 设数列的前项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前的项和．
7．（2023高三上·和平月考）已知数列满足，记.
（1）求的值；
（2）证明，并求数列的通项公式；
（3）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
8．（2023高三上·黄冈）数列的前项积为，，数列是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列的前项和为，求的最大值与最小值．
9．（2023高三上·普宁月考） 已知等差数列的前项和为，且满足，数列满足.
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）已知数列满足求数列的前项和.
10．（2023高二上·酒泉期末）已知数列是等差数列，记为数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求，.
三、多项选择题
11．（2024·潍坊期末）已知复数 则（　　）
A．
B．z ，z ，z 的实部依次成等比数列
C．
D．的虚部依次成等差数列
12．（2024高三上·香坊期末） 已知数列，则（　　）
A．当时，数列是公差为2的等差数列
B．当时，数列的前16项和为160
C．当时，数列前16项和等于72
D．当时，数列的项数为偶数时，偶数项的和大于奇数项的和
13．（2024高三上·台州模拟）已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
14．（2024·昌乐模拟）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
四、填空题
15．（2023高二下·天河期末）已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为　 　.
16．（2023高三上·东莞月考），为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为　 　．
17．（2023高三上·闵行月考）已知数列满足，，则的前10项和　 　
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：因为数列满足：，，
所以
(1)+(2)+...+(n-1)，得出，
所以
当n=1时，，所以数列的通项公式为：
因为数列满足，
所以数列的通项公式为：
令，则，所以
所以k=9，则数列的最大项是第九项.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合累加法得出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再结合数列的单调性，进而得出数列的最大项.
2．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列满足，，，，
则数列中，奇数项构成首项为1公比为-1的等比数列，
偶数项构成首项为-1公比为-1的等比数列，
∴，，
∴，，
∵，∴为奇数时，；为偶数时，，
∴数列的前10项和为0.
故答案为：B.
【分析】根据条件，求出数列求出通项，再求出的通项，最后求出10项和即可.
3．【答案】（1）数列成等比数列.
根据得
，即数列成等比数列.
（2）由(1)得，，
由，得.
显然单调递增，且，
故.
当时，
综上，知.
当时，
当时，
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等比数列的定义运算求解；
(2) 根据题意可得 ，构建函数，结合单调性可得，进而可得 ，利用放缩法结合裂项相消法分析证明.
4．【答案】（1）解：因为，即，
则，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）知，所以.
所以
，
当为偶数时，可得；
当为奇数时，可得；
综上所述：.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等比数列的定义，分组求和的应用.
（1）根据题意先将变形为：再代入，可得出其结果为常数，进而证明结果；
（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.
5．【答案】（1）解：因为数列是等差数列，记其公差为，
则有，
所以，
所以；
（2）解：，
则，
则
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列是等差数列，记其公差为，根据等差数列性质计算即可求解；
（2）由（1）先表示，再利用错位相减法求和即可.
6．【答案】（1）解：由，可得，
两式相减得，
令时，，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2）解：
由题意，可得，
所以奇数项的和为，
偶数项的和为，
则，
两式相减得：，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由，得到，得到是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求解；
（2）由（1）得，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项与偶数项的和，即可求解.
7．【答案】（1）
，
（2）a2=2a1-3(-1)=5，b1=a2-1=4，因为
所以，所以是等比数列，所以
所以，即.
（3）由(2)，所以
则
为奇数时，
为偶数时，
所以为奇数时即恒成立，易证递增，时取最小值，所以
为偶数时，即，
易证递增，时取最小值，所以
综上可得.
【知识点】函数恒成立问题；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合递推公式，进而得出的值.
（2）利用已知条件和（1）得出的的值以及，再结合等比数列的定义，进而得出数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式和，进而得出数列的通项公式.
（3）由(2)得出，再利用错位相减的方法和分类讨论的方法，进而得出数列的和，再结合函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围.
8．【答案】（1）解：
（2）解：
当n为奇数时，，
此时Sn为单调递减数列，
当n为偶数时，
，
∴此时=S2≤Sn＜
综上①②的最小值为，最大值为.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由数列是公差为的等差数列求出，再由时，求解即可；
（2）数列是等比数列，根据前项和的单调性求最大值与最小值即可．
9．【答案】（1）证明：依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，
所以，即.
所以，所以，
又，所以，故数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，所以.
（2）解：由（1）得所以
.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而等差数列的通项公式，从而结合等比数列的定义证出数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式得出的通项公式.
（2）因为数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式得出数列的前项和.
10．【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为，则.
，
由，故
因为，所以
解得，，故
（2）解：当，时，
，所以
当，时，，
，
所以
由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数.
当为奇数，为偶数时，则，
所以，，；
当为偶数，为奇数时，则，所以，.
因为，所以，
【知识点】等差数列的通项公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式、分类讨论思想的运用.
（1）设数列的首项为，公差为，则，然后根据与的关系及进行求解即可；
（2）分当，时，和当，时，，两种情况结合及等差数列的求和公式进行求解即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定；复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】
对于A，，所以A对；
对于B，z ，z ，z 的实部分别为1，3，9，
因为，所以1，3，9依次成等比数列，所以B对；
对于C，，，所以，所以C对；
对于D，的虚部分别为-3，-4，1，
因为，所以-3，-4，1依次不成等差数列，所以D错.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，进而得出复数，再结合复数的加法运算法则判断出选项A；利用复数的实部和等比中项公式，进而判断出选项B；利用复数求模公式判断出选项C；利用复数的虚部和等差中项公式，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得，，
A、当时，，所以，数列是以4为公差的等差数列，故A错误；
B、当时，，所以数列前16项中奇数项有8项，其和为8，
偶数项有8项，其和为，故数列的前16项和为160，故B正确；
C、当时，，令，得①，
令，得②，令，得③，
①②，得，①③，得，所以，所以数列前16项和为，故C正确；
D、由选项C可知，当数列的项数为偶数时，令项数为2k（），
即偶数项和大于奇数项和，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得，进而得，根据等差数列的通项公式即可判断A；分别求出数列前16项和中奇数项和与偶数项和，即可判断B；由得、、，进而得，计算即可判断C；由选项C知，利用累加法求出数列前2k项和中偶数项和与奇数项和之差，即可判断D.
13．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由数列为等差数列，，公差为，则，
，，
A、当时，，故A错误；
B、当为偶数时，；
当为奇数时，，故，故B正确；
C、，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
所以， 故C正确；
D、，
，
所以
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由数列为等差数列，结合已知条件求出，由即可判断A；分为奇数和偶数分别求的前项和，从而判断B； 根据已知条件先求得，从而得出，再分为奇数和偶数分别求的前项和，判断C即可；由，求出，从而可求出的前项的和，判断D.
14．【答案】A,B,C
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为 ，，
设等比数列的公比为，
因为，可得，
且，可知，
又因为，等价于，则有：
若，则，可得，这与矛盾；
若，则，
对于A：因为，所以，故A正确；
对于C：因为等比数列中，，，
所以数列单调递减，可得，
所以是数列中的最大项，故C正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于D：由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意分析可知，进而根据等比数列的性质以及前n项积为 的性质逐项分析判断.
15．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】设等比数列的公比为q，
由已知可得：，解得，
所以，
所以，
所以，
所以，
由对勾函数的性质可得：
当n=3时，取得最小值，
此时取得最大值，
所以，
故答案为：
【分析】根据已知先求得的首项和公比，进而求得通项公式，然后求得，最后利用对勾函数的性质求得的最小值。
16．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【解答】解： 因为，依题意得，A2=(-1，0，0，1)，A3=(-1，0，-1，1，-1，1，0，1)，
显然，A1中有2项，其中1项为-1，1项为1，
A2中有4项，其中1项为-1，1项为1，2项为0，
A3中有8项，其中3项为-1，3项为1，2项为0，
由此可得An中共有2n项，其中1和-1的项数相同，
设An中有cn项为0，
所以，，
从而()①，
因为f(A)表示把A中每个-1都变为-1，0，每个0都变为-1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序
实数组，
则②，
①+②得，③，
所以④，
④-③得，，
所以当n为奇数且时，
，
经检验n=1时符合，
所以(n为奇数)，
当n为偶数时，则n-1为奇数，
又因为，
所以，
所以，
当n为奇数时，，
所以的前2n项和为
.
故答案为：.
【分析】 设中有项为0，其中1和-1的项数相同都为，由已知条件可得，，
进而可得，再结合可得，分别研究n为奇数与n为偶数时的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.
17．【答案】75
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在 数列满足，，则，
所以，所以的奇数项、偶数项分别为等差数列，
所以.
故答案为：75.
【分析】由求出前几项，推出数列奇数项、偶数项分别为等差数列，利用等差数列求和公式计算即可.
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